Файл: Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf

ди

, / д2и

.

—

—

(

Л дг2

Математически

задача

сводится

к

г

интегрированию

неоднородного

линейного

дг

)

урав­

дифференциального

нения

ди

= с

д2и

ди

«о Тв

(ІѴ.3.10')

dt

дг2

~~д7

при граничных

и начальных условиях:

«

М

=

0;

(а)

г

=

л

т . е .

( ди \

уі0;

(б)

(ІѴ.3.11)

« U

0;

{ —

и (гО) = ы„а ч

=

q-~p,СТр-

(в)

торого расположена

дрена, меньше /?ф ,

где # ф =

_ £—Рстр_ ^ т о и с х о д я

и з положения, что на

расстоянии

~

0, т. е.

ди

~дТ = Тв h-

Это объясняется

тем, что поверхность цилиндра яв­

логичное

допущение

было сделано Л. Рендулликом

и Р. Барроном в своих

работах.

Если радиус грунтового цилиндра R

больше

і?ф ,

фильтрации на расстоянии, равном или большем R§

от

поверхности дрены, не

будет. В этом

случае граничные

условия следует определять на границе /?ф ,

т. е. на этой

границе

скорость фильтрации

равна

нулю:

п

du \

I

„ =

Тв h-

= 0.

т. е. —

дг

13*

195

При

этом оказывается, что

в

грунтовом цилиндре,

в зоне,

где R>R$

фильтрация

в

грунтах отсутствует,

лагать

в

плане

на

таком расстоянии одна

от другой,

чтобы

R -КЯф

u(rt) в виде

Будем

искать

суммы

двух функций

u{rt) = U(r) + W(ri),

(ІѴ.3.12)

причем функцию U(г) подберем

так, чтобы она удовлет­

воряла

обыкновенному

дифференциальному

уравнению

dW

J_

dU

ув t„ = 0

(IV.3.13)

dr2

r

dr

и граничным

условиям:

U(r0)

= 0;

(a)

(IV.3.14)

dU )

yi0.

(6)

dr

)r=R

Функцию

W(rt)

подберем

так, чтобы она

удовлетво­

ряла дифференциальному уравнению

=

с

. 1

dW\

(ІѴ.3.15)

dt

г

dr J

и граничным

и начальным условиям

(а)

(б)

(ІѴ.3.16)

W(r0)

= um4-U(r)

=

f(r).

(в)

ir(w + u) =

ÔW

dU

dW

^

1

dW

dt

dt

dr*

r

dr

= С

dt

dW

1

dU

TB t'n

+

с

-t-

dr2

r

dr

r

U(rot)

=

U(ro)+W(r0t)

=

0,

dU

\

=

Y . » o ; U(r0)

= U(r) + W(r0)

=

uM

dr

)r=

V(r) = VBio(r-r0).

(ІѴ.3.17)

ях

(IV.3.16, а)

решаем

методом разделения переменных

Фурье.

Ищем решение этого уравнения в виде произведения

W(rt)

=

ç> (r)

Q (t),

из

которых

р зависит

только от

r,

a

Ѳ

только от t. Подставляя

последнее

равенство

в

(ІѴ.3.15), находим

рѲ' =

с(р"Ѳ +

— р'Ѳ);

r

—

= —

— - .

(ІѴ.3.18)

зависит

от

t, то равенство левой и правой частей этого

уравнения

возможно лишь тогда, когда они обе равны

одному

и

тому же постоянному числу. Из физических

цательному постоянному

числу — сп2,

получаем первое

уравнение

— = — сп\

Ѳ = De~mH

(ІѴ.3.19)

ѳ

и второе уравнение

р = AJ0 (пг) + BY о (nr).

(ІѴ.3.20.)

Уравнение (ІѴ.3.20) имеет решение

W

= De~cnH

\AJ0

(nr) +

BY0

(nr)\,

(IV.3.21)

где

J0 (nr) и Y0

(nr) — есть

функции Бесселя

и

Неймана

нулевого порядка.

Дифференцируя

(IV.3.21) по г, находим

~

=

— De~mH

п \AJ1

(nr) - f BY1

(nr)],

(IV.3.22)

or

где

J1(nr)Yl(nr)

— функции Бесселя и Неймана

пер­

вого

порядка.

Уравнение (ІѴ.3.22) получено из следующих свойств

бесселевых

функций:

dJ0

(nr)

dJ0

(nr)

d (nr)

= nJo (nr) — — nJt

(nr);

dr

d (nr)

dr

d Y

o ( n r )

=

nYo (nr) = -

nYx

(nr).

dr

Подставляя

в

(IV.3.21)

r=r0

и в

(IV.3.22)

r=R, а так­

же используя граничные условия (ІѴ.3.16,а и

б),

полу­

чим

AJ0(nra)

+ BY0(nrQ)

= 0, I

Л (л/о)

Y0(nr0)

0.

Jt(nR)

Y1 (nR)

Отсюда для

определения

собственных чисел щ

получа­

ем следующее характеристическое

уравнение:

J,

(nR) Y0 (nr0) -

J0 (nr0)

Y, (nR) = 0.

(IV.3.24)

W(r,t) = Dfi-*«4 \А, J0 (ntr) + В, Y0(n,r)]

(IV.3.25)

—cn.i

W^rO-C.e

U0(ntr),

(IV.3.26)

где введены

обозначения

Di Aj

=

c

-

Y0

(n{r0)

U0 (ntr) =

J0 (n,r) Y0

(щг0)

-

J0

(щ r0) Y0

(ntr).

(IV.3.27)

Решение

уравнения

(IV.3.15)

будем

искать

в виде

W(rt) = S W,(rt) =

S С, e

и0(піГ).

(IV.3.28)

г=і

1=1

в уравнении

(IV.3.28) t =

0, получим

І {r) = "нач -

U(r) =

* Ct

UQ (щ r).

(IV.3.29)

Умножая

левую и правую

части

уравнения

(ІѴ.3.29)

на rUo(tikr)

и интегрируя в пределах

от Го до R, получа­

вания

ряда)

1 rf (r) Uo (nkr)

dr =

І Ct

J rU0 (ntr) U0 (nkr)

dr.

(IV.3.30)

Покажем,

что

система

бесселевых

функций

Vç)(nt r)

на

интервале

[r0 ,

R]

ортогональна

с

весом г,

т. е. что

R

^ги0(п{г)и0

(nkr)dr=

0,

при

щ

i=nk,

так

как

R

Г rU0

(ntr) U0

(nkr)

dr =

1

[nk RU0

(ntR)

U,

(nkR)-

J

4-"l

— n, RU0

(nkR)

U±

(riß)

— nk

r0 U0

(n,r0) Ux

(nkrQ)

+

+ ¥ , y . ( V . ) î / 1 ( « / i ) ] ,

(IV.3.30

где

Uo (nr)

=

JQ (nr) Y0

(nr0) + J0 (nr0)

Y0

(nr);

(IV.3.32

Ui (nr)

=

A (nr) Y0

(nr0)

-

/„ (nr0)

Y1

(nr).

(IV.3.33)