Файл: Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf

Если nt

и nk

являются корнями характеристического

уравнения

(ІѴ.3.24),то

U1(niR)

=

0; f/i(nf t /?)

=

0.

(IV.3.34)

Непосредственной

подстановкой r=r0

в

(IV.3.33)

по­

лучаем

тождества:

£/о(л/о)

=

0; UQ(nkr0)

=

0.

Таким

образом,

при

всех

i=f=k, формула

(ІѴ.3.30)

дает

jrU0{nir)U0(nkr)dr

=

0,

(ІѴ.3.35)

что и выражает

ортогональность

системы функций

и0(Піг);

U0(n2r);

U0(n3r)...,

с весом г в промежутке

[/о/?].

Так как все члены ряда

(IV.3.30)

обращаются

в

ну­

ли,

кроме

одного, соответствующего

значению

i=k,

то

это

равенство

можно

записать

в

виде

J

rf (г) U0 (nkr)

dr =

c j

rUl (nkr) dr.

(IV.3.36)

Согласно теории бесселевых

функций

J

xUo {ах) dx =

-j

[Ul {ax) +

U\ {ax)] +

С,

(IV.3.37)

и, применяя

соотношения

(IV.3.36)

и

(IV.3.37),

получим

J rf (r) U0

{nkr)

dr=^-

[R* Ul (nkR)

-

r\ U\ (nk

r0)}.

(IV.3.38)

Преобразуем

правую

часть

последнего

равенства

к бесселевым

функциям

первого

рода. Для

вычисления

Ui(nkr0)

положим в

выражении

(ІѴ.3.32) r = r0 и

вос­

пользуемся

формулой

для

вронскиана

функций

Jo{x)

h (X) Y0 {X) - J0 (x) Yx (*) =

— .

(IV.3.39)

Тогда

ЯХ

ѴіЫ

= Ji{nkr0)Y0{nkr0)~J,{nkr<))HY{nkr0)

= -J—. (IV.3.40)

nrik

r0

Д ля нахождения U0(nkR)

заметим,

что

по характе­

ристическому уравнению

(ІѴ.3.20)

Y0(nr0)=

Jo(nro)yAnR)

(iv.3.41)

и поэтому

Ji

(nR)

U о (nkR) = J о (nkR) YQ

(nkrQ) — J 0 (nkr0) Y0

(nkR) =

= T T ^ S r

M> (nkR)

Y,

(nkR)

-

J x (nkR)

Y0

(nkR)\.

Применяя

формулу

(IV.3.40),

находим

U0 (nkR) =

— J°(ПкГо)

• — — .

(IV.3.42)

J г (n/,,R)

nnkR

Х « " Я ' ' ( / » М .

(IV.3.44)

Согласно

(ІѴ.3.16, в) и

(ІѴ.3.17)

/

(r)

= "нач —

U(r)

= Инач — YB 'В

™ Г0).

Для нахождения

интеграла

в выражении

(IV.3.43)

R

Fi = J г [«„„, —

Uо (ntr)

dr

применим

формулу

интегрирования по

частям,

полагая

W =

U, ач

YB f'o ^ —/"о)!

откуда

dV =

/-Ѵ0 (П;г) dr,

dW =

— Y B

i'o dr;

V =

— M

M

201

и, следовательно,

Fi =

(Инач — Ѵв ''о

{Г —

Г 0

) } — иг

(ПіГ)

m

Ѵв 'о

R

rUl

(nj)dr.

(IV.3.45)

m

Для вычисления

J rU1

{ntr)dr

применим также фор-

<•»'

мулу интегрирования

по частям и найдем, что

R

R

Г rU1 (я,- r)dr =

-

—

U0 fa

R) +

— Г UQ (я, г) dr. (IV.3. 46)

*

Пі

ГЦ ,)

r«

Подставляя

в

(ІѴ.3.45)

это

выражение,

получим

R

Fi = [Инач — YB t'o (Г — Го)J — иг

(П[

Г)

= YB

f f / o ( Я * rfr — "нач — Ui (tlt Га)

—

lit

-ЩРи0(п{Ю.

(IV.3.47)

10

| ф ( г )

Ф(г0) ; Ф(/?)

+ Ф ( Г і )

+ Ф ( г 2 ) . . . Ф ( г 9 )

Подставляя

найденное

значение

выражения (ІѴ.3.47)

и (rt) =

U(r) + W (rt) =

TB »"o (r -

r0)

+

Я 2

со

n2J2(n.R)F.

2,

+

V

V

2

' 1 1

' ;

'

e~cn<'U0(nir).

(IV.3.48)

г=і

^ o C V o W .

M

Введем

обозначения:

Тогда

характеристическое

уравнение

принимает

вид:

J0

(х) Y г (Кх) -

Л (Кх) Y0 (X) =

О,

(ІѴ.3.49)

в котором через xt

обозначены

корни

этого уравнения.

Для

практического

использования решений (ІѴ.3.44)

и (ІѴ.3.48) надо знать корни

уравнения

(IV.3.49)

при

различных

значениях

К.

Корни этого уравнения были выражены рядами и по­

лучены

Сасахи

(1914 г.), а затем Л. И. Динником.

Сейчас опубликовано много таблиц

и номограмм

для

корни

уравнения

(ІѴ.3.49) подсчитаны

для

небольшой

области значений К (близких единице).

Так как нас интересует значение порового давления

u(rt) в течение длительного промежутка

времени после

начала

фильтрационной консолидации (более

одного го­

да)

и так как экспоненциальная функция

быстро убыва­

ет

при

больших

значениях показателя,

то в

соответст­

ном ряда. При этом решение уравнения

(IV.3.10) может

быть записано в следующем виде:

" И = Тв h (г — г0) +

2

X

X —

^

l-F^e

Л1'°и0

— X

l ) ,

(IV.3.50)

где

ft

f

1 =

Ѵвіо Ç y (J_

x \ f r _ u

І2.Ц

{ x j _