Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

показано, что эти операции вновь приводят к

гауссов-

ским

случайным векторам.

Предположим,

что х — гауссовский

случайный п-век-

тор с математическим ожиданием х

и

корреляционной

матрицей

Рхх,

а А — матрица размера

тХп.

Тогда

слу­

чайный m-вектор

у=Ах

является гауссовским

вектором

с математическим

ожиданием у=Ах

и корреляционной

матрицей РѴУ=АРХХА'.

Доказательство

этого утвержде­

ния

легко получить

с

помощью

характеристических

функций.

Согласно уравнению

(3-32)

характеристиче­

ская

функция

X имеет вид:

ІР, (s) =?Е (e'x's)

=

ехр ( jx's

-

s'Ps^.

(3-44)

Характеристическая

функция

у по определению

где г — m-вектор.

Ь(г)

=

Е(е'у'г),

(3-45)

Так как у —Ах,

то

(г) =

Е [ехр / {Ах)'

г) =

Е [ехр jx'

{А'г)} =

<?х

(А'г)

=

=

ехр

jx'A'r

•

г'АРА'г

=

ехр

j (Ах)'

г

\г-г' (АРА') г

и исходное утверждение доказано.

Теперь допустим, что х и у—гауссовские

случайные

n-вектор и m-вектор соответственно

с совместной харак­

теристической функцией (3-34). Пусть

А и В — действи­

тельные матрицы

размера

рХп

и рХт.

Покажем,

что

случайный

р-вектор

z=Ax+By

является

гауссовским

вектором с математическим ожиданием z=Ax

+ By и

корреляционной матрицей

Рzz=АРХХА

-\-АРХѴВ'-\-ВРѴХА

-\-ВРл1уВ'.

Пусть, кроме того, q означает

(п + т)-мерный

вектор,

а С

обозначает матрицу \\АВ\\

размера

рХ(п+т).

Тогда

z = C\.

матрица А = Рм, т. е. такая матрица, что А2

= Р (см.

[Л. 3-6]).

Теперь рассмотрим случайный я-вектор

у = Р-Ч2(х-х),

(3-48)

Е (У) =

0; Руу = Е (уу') = P-Wppr-W

=

; .

Следовательно,

?ѵ (s) =

exp ( Y s's\ = exp I - - i

-

s2 J.

4

1=1

'

00

00

— 0 0 — 0 0

X

Так как

»=1

j "

exp {—'msi

Ys2j

dsi

=

—00

00

exp ( — d s *

=

J exp (r-iyiSi)

=

—00

00

-

-yiß

I

cos (t/t-s,-) exp ( —

Y

d s

=

V2ve

i = V%

то отсюда

следует, что

1

exp

î(y)

= Ѵ{2к)п

--ТУ'У)-

Из уравнения (3-48)

у'у = (je

-

je)' р-'12р-1'2

(Х-х)

=

(х-

х)' Р'1 (х— X)

8—85

113

Свойства

гауссовского условного

математического

ожидания

В заключение параграфа получим некоторые свой­

ства условного

математического ожидания

гауссовских

случайных векторов. Эти свойства имеют

фундаменталь­

ное значение для задач оценки.

1. Е(х\у)—случайный

вектор, компоненты

которого

являются линейной комбинацией компонент у.

Это

свойство следует

непосредственно

из

уравнения

(3-41)

и п. 2 теоремы 3-2.

2. Разность

x—Е(х\у)

не зависит от случайного век­

разования

вектора

у.

что х — п-вектор,

Чтобы

показать

это, предположим,

у — г-вектор,

а

А — произвольная

матрица

размера

mXr.

Случайные

векторы £ = х—Е(х\у)

и t, = Ay

явля­

ются

гауссовскими. Очевидно,

1 = Е®

= х-Е[Ех(х\у)]

=

0;

Z=

E®

=

Ay.

Отсюда

ясно, что

Р К = Я [ ( 5 - Г ) ( С - Q ' ] =

— Е{[х — Е (х\у)} (у -

у)' А'} =

Е {[(x - х)

-

-

Р*уР^

ІУ -

П

(У-Т>'}А'

= (р*у -

Л , ) Л ' = О,

и искомый

результат

сразу

следует

из п. 1

теоремы

3-2.

у

и z

где z — m-мерный,

ay —

3.

Если

независимы,

r-мерный случайные

векторы, то

Е(х\у,

z)=E(x\y)+E(x\z)—x.

(3-49)