Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

3-14. Какой физический смысл имеют результаты решения задач 3-11 и 3-13, если функция плотности распределения f(x, у) —гауссов- ская?

Г л а в а ч е т в е р т а я

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Целью настоящей главы является построение мо­ делей систем, для которых впоследствии будут сформу­ лированы и решены задачи оценки и управления. Основ­ ной метод главы заключается в объединении результа­ тов гл. 2 и 3. Здесь используется вероятностное описа­ ние векторов начальных условий, возмущений системы и ошибок измерения в дискретной и непрерывной моде­ лях линейных систем из гл. 2. Такое описание можно было ввести непосредственно в начале главы. Однако предварительное изложение некоторых идей теории слу­ чайных процессов способствует лучшему пониманию ко­ нечных результатов.

Теория случайных или стохастических процессов изу­

теории выходит за рамки данной книги, поэтому здесь формально рассмотрены только аспекты теории, сущест­ венные для наших целей. Читатель, интересующийся более подробным изложением теории случайных процес­ сов примерно на том же уровне, на каком она рассма­ тривается в этой главе, найдет более полезными учебни­ ки Парзена [Л. 4-1] и Папулиса [Л. 4-2]. Более тради-

120

После изложения в § 4-1 теории случайных процес­ сов в § 4-2 и 4-3 вводятся две модели систем. Эти моде­ ли, так называемые гауссовская марковская последова­ тельность для дискретных линейных систем и гауссовский марковский процесс для непрерывных линейных систем, с успехом используются в инженерной практике моделирования систем, подверженных влиянию случай­ ных начальных условий, возмущений и ошибок измере­ ния. Причина заключается в том, что эти модели оказа­ лись достаточно простыми для аналитических и вычис­ лительных целей и в то же время настолько содержа­ тельными, что с их помощью удалось получить сущест­ венные результаты.

4-1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Случайный процесс

Рассмотрим явления, развитие которых во времени подчиняется вероятностным законам, например движе­ ние заряженной частицы в случайно флуктуирующем магнитном поле или отклонение межпланетного космиче­ ского аппарата от расчетной траектории в результате случайных ошибок в его двигательной и управляющей системах. В обоих указанных случаях шестимерный век­ тор состояния включает три координаты положения и три координаты скорости в соответственно выбранной системе координат. Множество вариантов развития во времени любого такого явления называется случайным процессом. Короче говоря, случайный процесс представ­ ляет собой множество случайных векторов, упорядочен­ ных по времени. Для большей строгости введем следую­ щее определение.

Определение не исключает случая, когда х является скаляром. Однако в общем случае будет рассматривать­ ся векторный случайный процесс.

121

Множество индексов / может быть абстрактным. Однако выше уже говорилось о времени как о параме­ тре случайного процесса. В дальнейшем будут исполь­ зоваться только два множества индексов времени. Пер­ вое является множеством дискретных моментов времени l={tk: k = 0, 1, . . . } , где th<tk+u и моменты времени не обязательно равно удалены друг от друга. Для упро­

Понятие «семейство случайных векторов» в определе­ нии случайного процесса особенно важно. Оно означает, что случайный процесс состоит из множества или из ансамбля случайных векторов, определенных на множе­ стве индексов. Ансамбль может включать в себя как счетное, так и несчетное множество элементов. Для на­ ших целей представляет интерес только последняя си­ туация.

Комбинация понятий времени и ансамбля подразу­ мевает, что случайный процесс фактически является

му можно говорить о случайной цепи с дискретным вре­ менем и о случайной цепи с непрерывным временем. Подчеркнем, что о цепи говорят, если ансамбль случай­ ного процесса содержит счетное множество элементов. Поскольку случайные цепи в дальнейшем не встречают­ ся, их теория здесь не рассматривается.

Теперь приведем несколько примеров случайных про­ цессов.

122

Пример 4-1. Рассмотрим скалярный случайный процесс [x(t), t^3?0}, где x(t) = Vo sin t и V0—непрерывная случайная величина, рав­ номерно распределенная на интервале [—1, lj, т. е.

123

«чисто случайный» указывает на статистическую независимость во времени элементов во всех выборочных функциях. Термин «последо­ вательность» возникает в силу того, что любая выборочная функция представляет собой просто последовательность случайных перемен­ ных, определенных в дискретные моменты времени.

В дальнейшем процесс этого типа подробно исследуется при опи­ сании возмущений системы и ошибок измерения в дискретных линей­ ных системах.

Описание случайного процесса

Из приведенных рассуждений ясно, что описание случайного процесса включает истинное (или вообра­ жаемое) изображение ансамбля и вероятностный закон, управляющий ансамблем. Здесь исследуются возможные способы описания такого вероятностного закона.

Рассмотрим случайный процесс с дискретным време­ нем {x(k), kŒ\}, где / = {&:&=1, ..., N}, a N— некото­ рое постоянное положительное целое число. В этом слу­ чае естественным описанием процесса будет совместная

частных производных существуют, или через совместную характеристическую функцию

124