Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

ния

события

А; эти два

события

являются «несвязан­

ными».

множеств Аи Л2 , .. .

Конечное

или счетное

семейство

...,

Ап, .. . из Q называется независимым, если

F{x) = f[Fi{Xi),

(3-25)

1=1}

где

Fi(Xi)

=Р(ХІ^ХІ).

Семейство

(Xi, ..., ХП)

назы­

вается системой независимых случайных величин.

Из уравнения (3-25) следует, что соответствующая

плотность

распределения имеет вид:

где

tel

для

і = 1 , ..., я в предположении,

что указанные

произ­

водные существуют.

Соответствующая характеристическая функция

М « ) = = П

( 3 " 2 7 )

где

tel

00 .

Vi (Si) =

j е*%х% (xi) dxi\

i = 1,..., п.

— 0 0

где

F(x,

y)=Fx(x)Fr(y),

(3-28)

Fx(x)=P(X<X);

FY(y)=P(Y^y).

Отсюда следует,

что

где

f(x,

y)=fx(x)fY(y),

(3-29)

dnF

у

c W v

' * ѵ

'

Лс,...сЬгп

ду1...дут

если указанные частные производные существуют.

Соответствующая

характеристическая

функция имеет

вид:

ф(5, Г)=ф*(5)фу(г),

(3-30)

где

00

00

?x(s)=

J...

§eix'sfx{x)dx1...dxn;

—со

—оо

?,(/•)=

J . . .

^ew%{y)dy,...dym.

—00

—00

Здесь s — я-вектор;

r — m-вектор.

Для независимых

X и У имеем:

/

(

^

) =

fy (у)

=

f * { x ) '

так что

00

00

Е(Х\У)=

J^/(x|y)rfx, ...Й?Л;П =

—00

—00

СО

00

=

I" xfx{x)dx1...

dxn

— E

(Х)~х,

—оо

—оо

• /

і

/

— для х 2 +

і/!

f I

V

О в

:

в

остальных точках.

4х,хг<?

1

2

для

X,,

х 2 ^ 0 ;

О в остальных точках

можно представить в виде

f (Xi. x2)

= fXi

(х г ),

где

f

~ * i

fX i

(x,)

= < 2

j c

' e

д л

я

точках;

{.

О в

остальных

аналогично для fx

(х 2 ) .

Легко

убедиться,

что

00

fx,

( * i ) ^ o ;

j

f*,

( * i ) « f c i

=

i ;

0

аналогично для fx

(x2 ).

К о р р е л я ц и я

Две

случайные

величины

Х{

И Ул-

называются не­

коррелированными,

если

(Хг)Еу{У5)

£

( Х , У , ) = £ ,

( 3 - 3 1 )

и коррелированными

в

противном

случае.

Если

X — случайный

n-вектор,

компоненты которого

некоррелированы,

то

Е [{ХІ -

Xi) (Xj]-

ХІ)] =

Е

(XtXi)

-[XiXs

=

Xtxf-ІХіХіЩО

Если X и У— случайные

векторы с компонентами X,,

t =

l , ..., п и

У,-, / = 1 , ...,

т,

причем соотношение (3-31)

справедливо для всех і и /, то X и Y называются

взаим­

но

некоррелированными

случайными

векторами.

В этом

случае

EXY(XY')=E(X)E{Y')=xy'.

Из уравнения (3-16)

PXY

= E[(X-x)(Y-y)']

= E(XY')-xy'

= 0.

Взаимная корреляционная матрица двух некоррели­

рованных

случайных векторов является нулевой.

Две матрицы

Ѵ Х Х

=

Е(ХХ')

и W X Y

=

E(XY')

называются

соответственно

ковариационной

матрицей

X

и взаимной

ковариационной

матрицей

X и У.

Коэффициент

корреляции

двух случайных величин ХІ

и

Yj определяется

соотношением

р . . =

£ Г ( * І - * І )

Vi-Ч\

Yj

Этот коэффициент, очевидно, равен нулю,

если ХІ

и

взаимно

некоррелированы.

но

Докажем

неравенство

| р г 3 | ^ ' -

Д л я этого

достаточ­

рассмотреть

случай

Xi = jjj = 0-

Тогда,

если

с — ска­

лярная постоянная величина, то можно заметить, что

Е [(сХг -

Yjf] =

Е (X]) с2

-

2Е ( В Д ) с +

Е (У*) > 0.

Однако,

так

как выражение Е (X^)£s

— 2Е ( Х ^ ) с -f-

-+-£(У^) является квадоатным

трехчленом относительно с,

необходимые

и достаточные

условия

его

неотрицатель­

ности имеют вид:

Е(Х2)>0

и E(Y2\~

' £

™ 1 2

> 0 .

ОО

00

ExY(XY')=

^xy'fx{x)}y(y)dx1...dxndy,...dym

=

— 0 0

— 00

00

00

СО

00

=

1'*'

\ x f x ( x ) d x t - d x *

J---

J y'fY{y)dy1...dym

=

— 0 0

— 0 0

=

— 0 0

—CO

E(X)E(Y').

достаточно считать

X и

У скалярами.

Пусть функция

fx(x) симметрична

относительно х = 0

и

пусть Y=X2.

Тогда

E(XY) =

E(X3)=

Jx3f(x)dx

=

0,

—со