Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

откуда следует

равенство

E[x(\)]E[x(Q)]=0 = W{\, 0).

Аналогично

получим ^'(О, 1) =Е[х(0)]Е[х(Щ

и поэтому рассмо­

тренный

процесс является некоррелированным,

но не чисто слу­

чайным.

xVXy{t,x)=E{x{t)y'{x)\

(4-15)

Если выражение

(4-15) обладает свойством

Vxy(t,

x)=E[x{t)\E[y'{x)}

(4-16)

для всех

t и т из /, то эти два случайных процесса на­

зывают

взаимно

некоррелированными.

Отметим,

что

здесь отсутствует

ограничение іфх,

используемое

при

определении некоррелированного случайного процесса.

Заметим

также, что следует различать эти два вида не­

коррелированности.

Читателю в качестве упражнения предлагается до­

казать, что два взаимно независимых

случайных процес­

дение не обязательно

справедливо.

Стационарные

и не стационарные

процессы

Часто оказывается удобным разделить случайные

процессы на два класса по признаку,

основанному на

природе механизма,

вызывающего случайный

процесс.

Случайный

процесс

называют

стационарным,

если ве­

роятностные

законы, которые

управляют механизмом,

ционарным.

{x(t),

tŒl}

стационар­

Случайный

процесс

называют

ным в узком

смысле,

если для любых

двух

наборов из

m моментов

времени

вида

(*і+т, ..., tm+x)

и

[h, ...

.... tm), принадлежащих

/, где m — произвольное

целое

число и г —const, справедливо

соотношение

F(xl;

4-х;...;

хт,

tm-\-z)

=

= F{x\

t

х

т ,

tm),

(4-17)

рактеристической функции

очевидны.

f(x,

t)=f(x,

Если равенство

(4-17)

выполняется,

то

0 ) = / ( х ) и

оо

со

x (t) — Е[х(t)]=

^ xf (х)сіх =

x =• const;

—ОО

— 0 0

Р (t) =Е{[х

(t) -

x (t)} [x (t) - x

(t)}'}

=

—оо

— 0 0

,

Кроме

того, /(x1 ,

ti,

x2,

t2)=f(xi,

0;

x2 ,

t2—/і),

так что

00

00

Pit,,

g =

J...

j V -

*

)

( ^ -

*

) X

— 00

— 0 0

X / ( - * ' . 0;

x \

tt

— tùdxldxt

=

P(0,

t2

—

tt).

P(tu

ti)=P(k—U).

В случае, если 5J(/)=const и P{t\,

h)

= P{i2—ti),

слу­

чайный процесс {x(t),

Î Œ I }

называют

стационарным

в широком

смысле.

Ясно,

что стационарный в

узком

смысле

процесс

W(t, x)=P{t,

x)+x(t)x'(x).

Для стационарного в широком смысле процесса

справедливы соотношения x(t)

= х(х) —х и

9*

131

Пример

4-6. Пусть (x(i),

r^O}—скалярный случайный процесс,

описываемый

дифференциальным

уравнением х ——ax + w, где

а — по­

ложительная

постоянная, a

w — случайная величина с нулевым

сред­

ним и

постоянной

дисперсией

гг2 ю>0, независимая от

начального

условия

х(0).

Для

простоты

положим

х(0)=0.

Любая выборочная функция

процесса для г^О имеет

вид

ские марковские случайные

процессы.

Вначале введем определение гауссовского или нор­

мального случайного

процесса.

Случайный

процесс

{x(t),

É Œ I } называется

гауссов­

ским

или

нормальным,

если

для

m

любых

моментов

вре­

мени

tu

..., tm

из I,

где

m — произвольное

целое

число,

m случайных

п-векторов

x(ti),

...,

x(tm)

имеют

совмест­

ное

гауссовское

распределение.

Для

совместной

характеристической

функции

это

определение требует, чтобы

(

m

m m

\

132

/

xi's1—Y

S I ' P I K S K J - ( 4 - 1 8 )

где s1, ..., sm — произвольные я-векторьі;

x'' = £|[x(/i)], і= 1,

...,

m;

(4-19)

Р^ = Е{[х (U) —xifx

(/ft)

—xk]'}.

(4-20)

Х е хр

Y{X*~X*)'

Р*-1(х*-х*)

(4-21)

Р* = \\РЩ;

I, Ä = l ,

., яг,

— матрица

размера птхпт,

a Pih

определяется

из

уравнения (4-20).

Описание процесса с помощью плотности распреде­

ления (4-21),

разумеется,

имеет

смысл, только если

ма­

матическим

ожиданием x(t)

для любого tŒl

и корреля­

ционной функцией P(t,

х) для любых t и т из /.

Частным

видом

гауссовского

случайного

процесса,

с которым

мы

будем

постоянно

встречаться

впоследст­

вии, является гауссовский белый шум.

,

Случайный

процесс

{х(і),

/с=/}

называется

гауссов-

ским

белым

шумом,

если для

любых

m

моментов

време­

ни ti,

..., tm

из

I, где

m — любое

целое

число,

m

случай­

ных п-векторов x(ti),

..., x(tm)

являются

независимыми

гауссовскими

случайными

векторами.