Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 250

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

рассматривать как гауссовский марковский процесс, для которого f[x(t) \x(%)] — f[x(t)] при любых і и т из /, / > т .

Пример 4-7. Рассмотрим скалярный процесс {x(t), t^O}, описы­ ваемый дифференциальным уравнением

 

t

+

где х(0)—гауссовская

случайная

величина с нулевым средним и

дисперсией о 2 0 > 0 .

 

 

Интегрируя уравнение процесса, получаем:

 

 

 

 

 

 

*

( 0 =

Т+1

 

 

 

 

 

 

для любого

<^0. Так как х(0)

имеет гауссовское распределение, для

любых m

моментов

времени

tt,

...,

tm

из

/=(0,

оо)

функция

f(xl,

..., xm)

является

гауссовской

плотностью

распределения

вероят­

ностей.

 

 

 

 

 

t2>ti^0

 

 

 

 

 

 

 

Легко показать, что для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (^2) — / 2

-|-

1 *

 

 

 

 

 

В результате для любого упорядоченного

набора моментов време­

ни tm,

• • -, ti^[0,

0 0 )

справедливо

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

j(xm\xm-1

 

 

 

 

xl)=f(xm\xm-i).

 

 

 

Следовательно,

процесс — гауссовский

марковский.

 

 

 

Известно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

_ _ïL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

f[x(0)] =

/[jc, 0] =

-

_

«

24Q

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 2л <з0

 

 

 

 

 

Определим

 

плотность

распределения

вероятностей

перехода

![x(t)

\x(x)]=f(x,

 

t; x, т). Так как процесс

{x(t),

t^Q}

является гаус­

совский марковским, известно, что f(x,

t\x,

т)—гауссовская

плот­

ность распределения и поэтому она полностью определяется

своими

условными математическим ожиданием и дисперсией.

 

 

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для />т, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е[х

( 0 I * W ] = 7 ^ t *

W ;

 

 

 

£

[{x ( 0 -

£

[x (О

I x (x)]}2 ] =

E J [x

 

 

( Х )

Г }=

°-

139

Это просто означает, что f(x, t\x, x)—дельта-функция Дирака. Полученный результат не является неожиданным, поскольку знание

х(х) позволяет точно определить х(1)

для всех

t^x^O.

Так

как x(t)—гауссовская

'Случайная величина,

ее можно пол­

ностью

характеризовать

математическим

сжиданием

и дисперсией.

В частности,

 

 

 

 

 

 

 

*(/) = £

 

J =

0.

 

 

Р (t) = Ё {[x (t) -

x (t)]2}

= Е у

Г х2(0)

И

2

{t_^

()2

=

 

откуда

следует, что

 

 

 

 

 

 

Пример 4-8. Предположим, что {xi(t), г^гО}—скалярный про­ цесс и х\=0, причем Хі(0) и хі(0) имеют совместное гауссовское рас­ пределение. Заметим, что

xl(l)=xl(0)+£i(0)f.

Поэтому {ХІ(І), t^O}, очевидно, является гауссовским процессом.

Рассмотрим три момента времени ^ з > ^ 2 > ^ і ^ 0 и покажем, что рассматриваемый процесс является марковским второго порядка:

х, ( < , ) = х , (0) + і , (0) t3;

x, (f,) = x, (0) + х, (0)

x, (*,) = х, (0) + х, (0) U.

Вычитая второе соотношение из первого, получаем:

x, ( / , ) - х , (*,) = (*, - *, ) x, (О)

или

Хг (/,) = Х, (*,) + (*, - *, ) X, (0).

Аналогично

Хі(*2 ) —xl(t1) = (tz~ h)xi(Q).

Из последнего соотношения имеем:

 

• , m

x, (fa ) — x.

(^)

,

 

 

 

X! (0) =

г — t

 

 

 

откуда следует, что

 

 

 

 

 

 

X, (М =

x, (fs ) +

г т г г І Х і С") ~

Х і

 

Величина Хі(^з)

определена, если

известны

xi(h) и хі(^і).

В общем случае

 

 

 

 

 

 

({хт\хт-^

 

^ ) = f ( x « l x « l - i ,

x m

= 2 )

и процесс является марковским второго порядка.

140

Тот факт,

что процесс {лч(/),

1^0} не просто марковский, сле­

дует из того,

что он определяется

соотношением .ïi = 0, т. е. диффе­

ренциальным уравнением второго порядка, для решения которого не­ обходимо знание двух постоянных интегрирования. Иными словами,

для того чтобы определить будущие значения

величины x(t), требует­

ся знать ее значения в два предшествующих

момента

времени.

Рассмотрим теперь случайный

процесс {x(t), t^O},

где

X,

(t)

х,

(t)

 

x(t)-

(0

— М О

 

X ,

 

Случайный процесс является теперь двумерным и состоит из координат «положения» и «скорости» исходного процесса. Ясно, что

x(t)

= Xi (0

I X , (0) + X , (0) t\

 

 

Так как x(t),

 

 

*2

(t)

\

 

X , ( 0 )

I

 

 

очевидно, гауссовский

двумерный

вектор, то рас­

сматриваемый процесс — гауссовский.

Кроме того,

для

І2>іі^0

X (f,)

=

X ,

(0) +

X ,

(0)

t t

— хх

Vi)

 

 

 

X ,

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*2

('s )

 

 

X(t,)

 

 

X,

(0) : +

X ,

(0) /,

 

 

 

 

 

 

 

 

(0)

 

 

M ' i )

 

 

 

 

 

 

X ,

 

 

 

 

Следовательно,

при известном

x(ti)

 

отсюда

можно

получить:

X

(/,)

 

=

 

 

х 2

(<і)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иными словами, х(<2 ) можно определить, зная х(<і), а это зна­ чит, что {x(t), t^0} является не только гауссовский, но и марков­ ским процессом. Здесь показано, как гауссовский марковский про­ цесс второго порядка можно «свести» к гауссовскому марковскому процессу, «расширяя» размерность вектора состояния. Эта процедура окажется полезной в дальнейшем.

4-2. МОДЕЛЬ С Г А У С С О В С К О Й М А Р К О В С К О Й ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ СОСТОЯНИЯ

На основании изложенного можно перейти к рас* смотрению первой модели системы. Рассмотрим отдель­ но описание динамики системы и схемы измерения. При построении каждой из двух частей модели будет обсу­ ждаться, насколько эта часть модели подходит к кон­ кретный физическим ситуациям. В заключение парагра* фа приводится краткое исследование модели с гауссов-

ской марковской последовательностью второго порядка.

141

Динамика системы

 

Пусть {w(k), k^I), где / =

= О, 1, . . . } , есть

р-мерная гауссовская белая последовательность с мате­ матическим ожиданием

 

 

E[w(k)]

=

w(k)

 

 

и матричной корреляционной

функцией

 

 

 

Е {[w (/) -w (/)] [w (k) -w

(k)]'} = Q(k)

öjk,

(4-26)

заданными для всех /, k = 0,

1,

где о д — символ Кро-

некера;

Q(k)—неотрицательно

 

определенная

матрица

размера

рХр.

Далее, пусть

х(0)—гауссовский

 

случай­

ный /г-вектор

с известными

математическим

ожиданием

Е[х(0)]=х(0)

и неотрицательно определенной корреляционной мат­ рицей

 

 

 

Е {[x (0) - x (0) ] [x (0) - x

(0) ]'} = Р (0)

 

 

 

размера

пХп.

Предполагается,

что {w(k),

k^I}

не зави­

сит от х(0), так что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е {[х (0) —x (0)][w

(k) —w (k)]'} = 0

 

(4-27)

для

всех

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве модели динамики рассмотрим систему

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(k+\)=0(k+\,

k)x(k)

+ Г ( Л + 1 ,

k)w{k)

 

(4-28)

для

kŒÎ,

где

x — n-вектор состояния;

Ф ( & + 1 ,

k)—пе­

реходная

матрица

состояния

 

размера

пХп;

w —

 

р-век-

тор

возмущения системы; T(k+l,

k) — переходная

мат­

рица

возмущения

размера

пХр,

причем

{w(k)~

 

k = 0,

1, . . . } и х{0)

имеют свойства,

перечисленные

выше.

г Д л я простоты

пока не учитывается

возможное

 

вход­

ное управляющее воздействие, т. е. слагаемое W\k+1,

kx

Xu(k),

где и — г-вектор управления, a W(k + l,

k)—пе­

реходная матрица

управления

размера

пХг. Этот вопрос

подробно исследуется позднее в связи с уточнением модели.

Структурная схема модели показана на рис. 4-4, где подразумевается, что в каждом «цикле» работы системы 142;

Смотрите также файлы