Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

является гауссовским и для его описания требуется мат­ ричная корреляционная функция P(k, / ) , а не P{k). Чтобы обосновать приведенное здесь описание, покажем,

Заменяя в уравнении (4-36) k на /, транспонируя обе части полученного уравнения, умножая их слева на wii—1) и усредняя, получаем:

для рассматриваемых значений г и /. Поэтому £ [ й ? ( » - 1 ) Г ( / ) ] = 0.

Это значит, что выражение для Pik, j) сводится к

Pik, j)=Oik, })РЦ),

откуда ясно видно, что для описания случайной после' довательности достаточно знать ее корреляционную матрицу.

148

Уравнение (4-37) можно интерпретировать как опи­ сание изменения во времени степени неопределенности системы, поскольку корреляционная матрица характе­ ризует меру отклонения распределения случайного со­

из приведенных описаний гауссовской марковской после­

Это следует из того, что присутствие известного управ­ ляющего воздействия просто добавляет детерминирован­ ную составляющую ко входному сигналу системы и,

откуда ясно, что корреляционная матрица последова­ тельности остается той же вне зависимости от того, имеется ли на входе системы известное управляющее воздействие.

При определении условного математического ожида­ ния, используя знание управляющего воздействия, по­ лучаем:

где k — 0, 1 . . . Условная корреляционная матрица имеет тот же вид, что и раньше.

149

Уравнение (4-28) представляет собой модель линей­ ной дискретной системы с возмущающей функцией в ви­ де гауссовской белой последовательности, независимой от начального состояния системы. Эти допущения заслу­ живают некоторого комментария.

Во-первых, предполагается, что модель линейна. Это оправдывается тем, что использование линейных моде­ лей в инженерных исследованиях оказалось достаточно плодотворным и методы анализа линейных систем хо­ рошо изучены, в то время как для нелинейных систем таких методов в общем случае нет.

Во-вторых, возмущающая функция, а точнее, случай­ ный векторный возмущающий процесс предполагается независимым от начального состояния. Это допущение является разумным для многих систем, если из физи­ ческих соображений понятно, что механизмы, форми­

и высоты), подаваемых на вход навигационной системы непосредственно перед взлетом. Однако на практике встречаются ситуации, в которых это предположение не­ допустимо.

В качестве примера рассмотрим связь между случайными порывами ветра, воздействующими на кос­ мический корабль во время запуска и подъема в атмо­ сфере, и начальными условиями, т. е. координатами пусковой установки. Очевидно, роза ветров зависит от расположения пусковой установки. Тем не менее здесь

основанона центральной предельной теореме (теоре­ ма 3-1). Здесь неявно допускается, что макроскопический случайный процесс возмущения системы является сум­ мой большого числа, независимо действующих микроско­ пических случайных процессов. Это же справедливо и для модели начального состояния х(0). Можно также обосновать такое допущение тем, что, оно оказалось

150

полезной идеализацией при Моделировании многих фи­ зических явлений.

Наконец, четвертое предположение заключается в том, что случайный векторный возмущающий процесс счита­ ется белым, т. е. чисто случайным. Это допущение обыч­ но используется на практике при отсутствии каких-либо аналитических или экспериментальных данных, которые бы ему противоречили. Случай, когда процесс возмуще­ ния является коррелированным, будет рассмотрен в гл.5 после того, как задача фильтрации будет решена в пред­ положении чистой случайности возмущения. Задача построения модели системы при коррелированном про­ цессе возмущения будет рассмотрена ниже при обсу­ ждении гауссовской марковской последовательности вто­ рого порядка.

Измерение

Обратимся к построению модели измерения. Пред­ полагается, что она имеет вид

измерения; ѵ — m-вектор ошибки измерения. Предполагается, что случайный процесс ошибки из­

мерения является m-мерной гауссовской белой после­

151