Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Частным

случаем

предсказания,

заслуживающим

особого внимания, является

одношаговое

оптимальное

предсказание,

в котором рассматривается оптимальная

оценка вида

x(k+\\k),

k = 0,

1 .. . Как будет видно из

Следствие

5-2. Если

оптимальная

текущая

оценка

x(k\k)

и корреляционная

матрица

P(k\k)

соответствую­

щей

ошибки

фильтрации

x(k\k)=x(k)—x(k\k)

известны

для

некоторого

k = 0,

1, ...,

то:

1)

одношаговое

оптимальное

предсказание

для

лю­

бой

допустимой

функции

потерь

описывается

соотноше­

нием

£ ( А + 1 | А ) =

Ф ( £ + 1 ,

k)x{k\k);

(5 - 41)

2)

случайный

процесс

{x(k-\-\\k),

k — 0,

1

. . . } ,

где

x (k +

11 k) — x (k - f - 1 ) — x (k -f- 1, k) — ошибка

одношаго-

вого

предсказания,

является

гауссовской

марковской

по­

следовательностью

с

нулевым

математическим

ожида­

нием

и корреляционной

матрицей

вида

Я ( & + 1 | £ ) = Ф ( £ + 1,

k)P{k\k)0'(k+\,

k)

+

+

T(k + l, k)Q(k)r(k+l,

k).

(5 - 42)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Доказательство

сразу

следует

из теоремы 5-4, если

заменить

в ее утверждении

индекс

k на k+1, а индекс / на k.

Как и теорему 5-4, следствие

из нее едва

ли

можно

непосредственно

использовать

для

предсказания,

по­

скольку пока

известны только % ( 0 | 0 )

и Р (010).

Поэтому

видно из уравнений (5-33) и

( 5 - 4 1 ) .

Теорема 5-4 и следствие

5-2 принадлежат Калману

[ Л . 5-6, 5-7].

î{k

- f 1 I k) =

E [H (k + 1 ) X {k+1

) + o (k+1 ) 12(1 ),..., z(£)]=

= H {k + 1) E [X {k + 1 ) I z (1),..., z {k)}

+

+

E [V {k +

1) I 2 (1 ) , . . . , z (k)]=H

(k + 1 ) X (k +

1 I k) +

Из уравнения

(5-28) следует,

что

случайный вектор

v(k

+ l)

некоррелирован со всеми измерениями

2(1), . . .

...,

z(k).

Так

как

эти

случайные

векторы

гауссовские,

то

из п.

1 теоремы

3-2

следует,

что

v(k+\)

не

зависит

от

множества

измерений

{ z ( l ) ,

...,

z(k)}.

Следователь­

но,

z(k-\-l\k)

=

H(k

+

l)x(k

+ l\

k)-r-

+

E [V {k +

1 )] =

H {k - f 1 ) X (k +

1 j k)

(5-47)

для & = 0,

1

...,

поскольку процесс

{v(k

+ \ ) , k = 0, 1 . . . }

имеет нулевое

математическое

ожидание.

После этих предварительных замечаний можно сфор­

мулировать и доказать основную теорему

оптимальной

фильтрации

в дискретных линейных системах.

Теорема

5-5.

1. Оптимальная

текущая

оценка

x(k+\\k+\)

опи­

сывается

рекуррентным

соотношением

x(k+l

|*4-1) =

Ф(£ +

1,

k)x(k\k)

+

+

K{k-\-

0И&4-\) — H{k+

1)Ф(М-1.

k)x(k\k)]

(5-48)

для

& =

0,

1,...,где

*(0|0) = 0.

2. /С(* + 1)—матрица

размера

пХпг,

определяемая

с помощью

следующих

соотношений:

K(k+l)=P(k+\\k)H'(k+\)[H{k+\)X

ХР

{k+\\k)H'

{k + \)

(5-49)

P{k

+ \\ k) =Q>(k+\,

k)P(k\k)Q>'{k+\,

k)

+

+ T(k

+ l,

k)Q(k)T'(k

+ \,

k);

(5-50)

P(fe +

l | / e + l )

= [ / —

K{k+])H(k

+ \)]P{k+\\k)

(5-51)

для

k = 0,

1, ...,

где

1 — единичная

матрица

размера

ПХ

Хп,

а

начальное

условие

для уравнения

(5-50)

имеет

вид

Я(0|0)

=/>(<)).

3. Случайный

процесс

{x(k-\-\\k-\-\),

ß =

0,

1,...},

где

x(k

-f-11 k-\-

[) =

x(k + 1) -~^x(k

-f-1 | k -f-1). при k—

= 0,

1,

... — ошибка

фильтрации,

является

гауссовской

марковской

последовательностью

с

нулевым

математи­

ческим

ожиданием

и корреляционной

матрицей

(5-51).

x(k + 1 \k

+ l) = x(k + 1 \k) +

E[x(k+

1)| z(k+ 1 I*)].

(5-52)

Но, согласно уравнению (5-41)

следствия

5-2

j c ( f c + l

|6) =

Ф ( £ + 1 ,

k)x(k\k).

(5-53)

Далее,

так как

x(k+\)

и

z(& + 1 |&) —

гауссовские

E\x[k

+

\)\z{k

+ \\k)\

=

P

JPZlJ.

xz

z z

В правой части последнего соотношения для просто­

ты опущены аргументы. Заметим, что

P „ = E[x(k

+

l)z'(k+l\k)];

хг

Я

=

fî[z(At+l |A)z'(ft+l|fe)].

z z

Обозначая

К (k -f- 1 ) =

P ^P~]

,

можно

записать:

E[x(k

+ l) \ z(k+l\k)]=K(k+l)z(k

+

l\k).

Однако из

уравнений

(5-46),

(5-47)

и

(5-53) ясно,

что

z(fe-f-l \k) = z(k+l)—'z(k

+ l\k)

=

= z(k+l)-H{k

+

l)x(k+l\k)=z(k+l)

—

— Я ( £ + 1)Ф(£ +

1, k)x(k\k).

(5-54)