Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Следовательно,

E [x {k - f 1) I z(k

- f 1 I k)] = K{k-r-

1) [z (k +

1) -

- Я ( £ + 1 ) Ф ( £ + 1 , ^ ) 2 ( £ | & ) ] .

Подставляя

этот

результат

и

уравнение

(5-53)

в (5-52), получаем:

J C ( Ä + 1

| А

+

1) = Ф(£ +

1,

/fe)*(/fe|/fe)-f-

+

Л ' ( Л +

1) [г (fe +

1) - Я ( Ä -f- 1) Ф {k - f - 1 , Ä)JC {k \ k)]

для

/е = 0,

1,

Это

соотношение совпадает с

уравне­

нием (5-48).

В силу уравнения (5-31) соответствующее начальное

условие имеет вид: х(0|0) =0.

2.

Определим

матрицу K(k+i).

Из ©торой

строки

z(k+l\k)

=

z(k-{-l)

— H(kArl)x(kArl\k)

=

=

H {k + 1) x (k +

1) + и {k +

1) - H {k +

1) x (k - f 1 I k)

=

= H(k+\)x{k4rl\k)-\-v(kAr\).

(5-55)

Следовательно,

P^E{{H{k-\-\)x{k+\\k)+v(k4r\)]X

г г

XlH(k+l)x(k+l\k)-T-v(k-\-l)}'}

=

s= H {k +

1) E [x (k + 11 k)2 {k - f 1 I k)] H' {k +

1) +

-f-

tf

-f- 1) E [x (k +

11 k) V (k + 1)] +

- f

E [V (k - f 1) x'

(k + 11 k)) H' ( A + l ) + £ [y (jfe+1) t / ( 6 + l ) ]

=

=

Я ( е +

1 ) Я ( * +

1

(Jfe +

1) +

+ H(k

+

l)E[x'{k

+

l\k)v'{k+l)]

+

- f £ [о (Л + 1) j? (Ä + 11 k)] H' (k -f- 1) - f Л (Ä -f-1). (5-56)

Покажем, что математические ожидания в двух сред­

них слагаемых

в

правой

части равны

нулю. Так как

одно из них

получено

транспонированием второго, до­

статочно рассмотреть только первое слагаемое

E [x (k +

11 k) V' {k - f 1)] =

E [x {k + 1) V (k +

1 ) ] -

— E(x{k +

l\

k)v'{k+l)].

Согласно

уравнению

(5-27) E[x(k + l)v'(k

+1)] = 0

для любого k = 0, 1 .. .

Вспоминая,

что x(k

-f-1 | k)

мо кно представить в виде

k

x(k +

l\k)

=

%A(i)z{i),

1=1

для любого k= 1,2... Для k = 0 имеем:

E [x (110) V' (1)] =

E [Ф (1, 0) x (010) V' (1)]

=

=

Ф(1, 0)£[JC(0|0)O'(1)] =

0,

так

как л:(0|0) = 0.

Следовательно,

E\x{k

+ l\k)ü'{k

+

l)] =

0

(5-57)

для

всех k = 0,

1 .. .

Отсюда сразу следует, что

E[x(k

+ l\k)v'(k

+ l)]=0

(5-58)

для

всех k — 0,

1 .. .

и уравнение

(5-56)

принимает вид:

P„^H(k+\)P{k

+ \\k)H'{k+\)+R{k

+ \)

(5-59)

ZZ

для

всех & = 0,

1 . . .

Обращаясь к Р

получаем:

хг

P„

= E[x(k

+ l)z'(k+l\k)]

=

E{[x{k+l\k)

+

XZ

л +

x (k + 11 k)\ [H {k +

1 )x

{k +

1 \k)

+ y (fe +

1 )]'}.

Это равенство следует

из уравнения (5-55) и того, что

соотношение

x (k +

1 | k) =

х (k - j -

1) —x

(k-{-l

| k)

можно

также

представить

в виде

x(k

-f-1) — x (k - j -

1 ] k) -f-

+ х(/г+ i

\k).

Рполучаем:

Раскрывая

скобки в выражении

для

XZ

Р„ =

Е[х (6 +

1 \k)x'

(k + l\k)]H'

(k +

l)

+

+ £ [ * ( £ + 1 1 6 ) ü' ( 6 + 1 ] +

- f

E [x {k +

11 k) x' {k +

11 k)] H' {k + 1) - f

+ £ [ J C ( A - И І

Ol­

l i

силу

уравнений (5-58),

(5-10) и

(5-57)

ясно, что

второе — четвертое

слагаемые

в правой

части

получен­

тельно,

Р „ = P(k+\\k)H'(k

+ \ ) .

(5-60)

xz

Подставляя уравнения (5-59) и (5-60) в соотношение

для К, получаем искомое уравнение:

Г

K{k + l)=P{k+l\k)H'(k+l)X

~ Л

^ Х | Я ( А + 1 ) / 5 ( А + 1 | А ) Я / ( А + 1 ) + / ? ( А + 1 ) ] - Л

при k = 0,

1 .. . Если предположить, что матрица R(k + l)

P{k+\\k)=Q>(k

+ \,

k)P(k\k)(J/-{k

+ \, k) +

+ Г(* + 1, k)Q{k)T'(k

+ l,

k).

Теперь требуется получить выражение для корреля­

ционной матрицы ошибки

фильтрации

x(k+\\k

+

l) = x(k+l)-x(k

+

l\ k + \ ) .

Замечая,

что

оценку x(k + 1

| k +

1)

можно пред­

ставить

в виде

x{k +

l\(k+l)

=

x(k+l\k)

+

K(k

+

\)z(k+l\k),

x{k+l\k+l)

=

x{k+l)

— (x{k

+

l\

k) +

+

K{k

+

\)z(k+l\k)]-=x(k

+

l\k)-

— K{k

+

l)[H(k

+

l)x{k

+

l \k)

+

o(k

+ l)]

=

= [I -

К {k - f

1) H {k +

1)] x (k +

11 k) -

К (k +

1) и (k - f l ) ,

где / — единичная

матрица размера

пХп.

(5-61)

Заметим,

что

в

выражение для

P(k+\\k+l)

=

= E[x(k

+ 1 \k+\)x'(k

+ \\k+

1)] войдет

матрица

E[x(k +

+ 1 \k)v'(k + \)]

и

соответствующая

транспонированная

P(k+\\k+\)=iI—K(k+\)H{k+\)]E[x(k

+

+

\\k)x'{k

+ \\k)\I—K{k+\)H{k+\)Y

+

+

K{k+\)E[v{k+\)v'{k+\)]K'(k+\)

=

=[I—K{k+l)H(k+\)]P(k

+ l\k)

X

X{I—K(k+ï)H(k

+ l)Y + K(k+\)R(k

+

+

l)K'{k

+ l).

(5-62)

Опуская для удобства индексы в правой

части

(5-62),

раскрывая скобки и группируя члены, получаем:

P(k+l\k+l)

= {P—KHP)

(І—КНУ+

+ KRK'=P—KHP—PH'K'

+

КНРН'К'+

+

KRK'={I-KH)P~PH'K'+K{HPH,+R)K'.

Однако,

из уравнения (5-49)

можно

видеть, что

K{HPH'+R)*=PH'.

Следовательно,

— .

Г

P(k

+ \\k+\)

=

(l—KH)P—PH,K,+PH'K,=

={I-K(k+\)H(k+\))P(k

+

[\k)

'для

& = 0,

1 . . .

Полученное

соотношение

совпадает

с уравнением (5-51).

k

k + l и

3. Заменяя в уравнении (5-39) индекс

на

индекс / на

k, получаем:

г(А + 1 | £ ) = Ф ( А + 1 ,

k)x(k\k)

+

+ T(k+l,

k)w(k).

(5-63)

S(k+l\k+l)=[I—K(k+l)H(k+l)]0(k+\,

k)X

Xx(k\k)+{I—K(k+\)H(k+\)]T(k

+ \,

k)w(k)

—

—K(k+\)v(k+\).

(5-64)

Вводя обозначения A{k+\)

=[I—K{k+\)H

{k+\)}

и

Ф * ( £ + 1 , k)=A(k+-\)Q)(k+\,

k),

можно

представить

уравнение (5-64) в виде

x(k+\\k+\)

=

<km(k+\t

k)x(k\k)

+

+

ЦЛ(Й + 1 ) Г ( * + 1 , k)\-K(k

+

l)

W

(k)

Далее, полагая

Г * ( А + 1, k):

A(k+l)V(k

+

l,

k)\-K(k+\)\\;

w [k)

v(k+l)

где Г* — матрица

размера

n X ( p + m ) .

а

w * -

(р +

т ) -

мерный вектор, получаем:

ж(Л + 1|/г + 1 ) = Ф * ( / г + 1 , k)x(k\k)

+

(5-65)

+ Г*(Л+1,

Из

определения

до*(.&)

ясно,

что {w*(k),

k — 0,

1,

. . .}

левым математическим

ожиданием

и

корреляционной

матрицей

Q (k) J

о,

Е [w* (/) w*'

(k)}

02

\R(k

+

l)

где Oi и Ог — нулевые

матрицы

размера

рХт и т Х р

со­

ответственно.

Напомним, что для

k = 0

х (010)—х (0) — х (0 j 0)

=