Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 261
Скачиваний: 1
условная функция распределения вероятностей уже не обязательно должна быть симметричной или выпуклой.
Теорема 5-3 относится к ситуации, когда известны только первые и вторые моменты рассматриваемых слу чайных процессов. Она дает оценку, оптимальную для любой допустимой функции потерь. Простота оценки, а точнее ее линейность, делает этот результат особенно привлекательным с вычислительной точки зрения.
Теорема 5-1, как отмечалось ранее, принадлежит Шерману (5-1). Следствие 5-1 и теорема 5-2 доказаны Дубом (Л. 5-5], а теорема 5-3 представляет собой интер претацию некоторых результатов Калмана [Л. 5-6].
5-2. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРЕДСКАЗАНИЕ В ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Хотя результаты предыдущего параграфа достаточ но фундаментальны, они имеют ограниченное практи ческое применение. Это можно видеть, рассматривая га уссовский случай, когда
x (к \ j) =Гх (к) + PxWz*U)P-\i)z,U) |
[z* (/) - z* (/)]. |
Для каждого мно сества измерений здесь необходимо вычислить матрицу, обратную матрице •Р,.( / -) 2 ,( ; -) размера jmxjtn. Напомним, что / — число измерений, a m — чис ло компонент в векторе измерения. Если m равно едини це или двум и проделано 40 измерений, то потребуется обращать матрицу размера 40x40 или 80X80.
Если как k, так и / могут изменяться, и требуется проводить последовательную оценку, т. е. обрабатывать
новые измерения по мере их поступления, |
применение |
|||
полученного соотношения |
для вычисления |
оптимальной |
||
оценки становится |
практически |
нецелесообразным. |
||
С инженерной |
точки зрения |
требуются эффективные |
||
и практичные, алгоритмы |
последовательной |
обработки |
||
измерений для получения |
текущей оценки, |
желательно |
||
в реальном масштабе времени. Оказывается, что такие алгоритмы легко получить для гауссовских марковских процессов с дискретным временем, модель которых была, описана в § 4-2.
В настоящем и следующем параграфах будут полу чены алгоритмы оптимального предсказания и оптималь ной фильтрации для указанного класса случайных про-
180
цессов. Алгоритмы оптимального сглаживания, требую щие рассмотрения трех отдельных случаев, исследуются в гл. 6.
Модель системы
Начнем с исследования модели рассматриваемого класса процессов.
Рассмотрим систему
|
x(k+l)=0(k |
|
+ l, |
k)x(k)+T(k+l, |
k)w(k); |
(5-14) |
||||
|
z(k+\)=H{k+\)x{k+\)+v{k+\), |
|
|
(5-15) |
||||||
где |
x—п-вектор |
состояния; |
w—р-вектор |
возмущения; |
||||||
z—m-вектор измерения |
(выхода |
системы); |
ѵ—m-вектор |
|||||||
ошибки измерения; /г = 0, 1 .. . — дискретное |
время; Ф—• |
|||||||||
переходная матрица состояния размера пХЩ |
Г — пере |
|||||||||
ходная матрица |
возмущения |
размера пХр; H— |
матрица |
|||||||
измерения размера |
тХп- |
|
|
|
|
|
||||
|
Процесс {w(k), |
k = 0, 1 . . . } является р-мерной гаус |
||||||||
совской белой последовательностью, для которой |
||||||||||
|
|
|
|
E[w(k)] |
= 0 |
|
|
(5-16) |
||
при любом & = 0, 1 .. . и |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
E[w{i)w'(k)] |
= Q{k)bik |
|
|
(5-17) |
|||
при |
любых |
/, |
& = 0, 1 |
..., |
где |
Q(k)—неотрицательно |
||||
определенная |
матрица |
размера |
рХр . Процесс |
[v(k+l), |
||||||
k = 0, 1 . . . } представляет собой |
m-мерную |
гауссовскую |
||||||||
белую последовательность, для которой |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
E[v(k+l)] |
= 0 |
|
|
(5-18) |
||
при любом k = 0, 1 . . . и |
|
|
|
|
|
|
||||
|
E{u(j+l)v'{k+[)] |
= R(k+\)àjh |
|
|
(5-19) |
|||||
при |
любых у, k = 0, |
1 ..., где R (k+1) — неотрицательно |
||||||||
определенная |
матрица |
размера |
mXm. |
Здесь |
рассматри |
|||||
вается случай, когда эти два случайных |
процесса взаим |
|||||||||
но независимы, так что |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
E[v(j)w'(k)]=0 |
|
|
|
(5-20) |
||
при любых / = 1, 2 |
. . . и / г = 0, 1 |
|
|
|
|
|||||
190
Начальное состояние х(0) |
есть гауссовский |
случай |
ный л-вектор с математическим ожиданием |
|
|
Е[х(0)] |
= 0 |
(5-21) |
и неотрицательно определенной корреляционной матри
цей |
|
Е[х(0)х'(0)] |
= Р(0) |
|
|
(5-22) |
|||
|
|
|
|
||||||
размера пХп. |
Предполагается, |
что х(0) |
не |
зависит |
от |
||||
\w(k), |
k = 0, 1 |
. . . } и {v(k+l), |
|
k = 0, 1 . . . } , |
так |
что |
|
||
и |
|
E[x(0)w'(k)] |
= 0 |
|
|
(5-23) |
|||
|
E[x(0)v'(k+l)] |
= 0 |
|
|
(5-24) |
||||
|
|
|
|
||||||
для любого k = 0, 1 .. . |
|
|
|
|
|
|
|
||
Модель (5-14), (5-15) |
имеет |
следующие |
свойства: |
|
|||||
1. |
Случайные процессы {x(k), |
& = 0, 1, . . . } и {z(i), |
і = |
||||||
= 1, ..., /} — гауссовские |
с тождественно |
равными нулю |
|||||||
математическими ожиданиями. |
|
|
|
|
|
||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E'[x(j)w'{k)] |
= 0 для любых |
kp>j, / = 0, |
1 .. . |
(5-25) |
|||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E[z(j)w'(k)] |
= 0 для любых |
/ = 1 , 2 . . . |
(5-26) |
||||||
4. |
E[x(j)v'(k)] |
= 0 |
для любых / и k, |
(5-27) |
|||||
|
|||||||||
где / = |
0, 1 ..., |
a k = 1, 2 .. . |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
£[z(/)j/(fc)] = 0 для любых А>/, |
|
(5-28) |
||||||
|
|
||||||||
где /, Ä= 1, 2 — |
|
|
|
|
|
|
|
||
Первое свойство следует из § 4-2 и уравнений |
(5-16), |
||||||||
(5-18) |
и (5-21). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим здесь второе и третье свойства, оставляя проверку четвертого и пятого свойств читателю в каче
стве упражнения. |
|
Из уравнения (4-31) |
следует, что |
X (j) = Ф (/, 0) X ( 0 ) |
+ J Ф (/, 0 Г (i, i - 1 ) w(i-1 ) (5-29) |
|
f - i |
191
для |
/ = 1 , 2 . . . |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Е [x (/) w' (k)} = Ф (/, 0) Е [x (0) w' (k)} + |
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ |
S |
Ф 0 " . 0 Г ( і , і - |
l)E[w(i- |
|
l)w'(k)}. |
|
|
||||||||
В силу уравнения (5-23) первое |
слагаемое |
в |
правой |
||||||||||||||
части |
этого |
выражения |
равно |
нулю |
для любого |
k = 0, |
|||||||||||
1 ... Так как процесс {w(k), |
|
& = 0, |
1, ... } является |
белой |
|||||||||||||
последовательностью, то E[w(i—l)w'(k)] |
= 0 |
для |
всех |
||||||||||||||
кфі—1, |
а |
поскольку |
і = 1 , 2, |
..., |
/, |
то |
последнее |
слагае |
|||||||||
мое, очевидно, также равно нулю для |
всех £ > / — 1 |
или |
|||||||||||||||
для k~p*l. Второе свойство доказано. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Чтобы |
доказать |
третье |
|
свойство, |
заметим, |
что из |
|||||||||||
уравнения |
(5-15) следует |
соотношение |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
z(j)=H(j)x(j)+v(j) |
|
|
|
|
|
|
|||||
для |
/ = 1 , 2 , . . . , откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
E[z(i)w'(k)] |
= H(j)E[x(i)w'(k)] |
|
+ |
E[v(j)w'(k)}. |
|
||||||||||
|
В |
силу свойства |
(5-25) |
|
Пересе |
слагаемое |
в |
правой |
|||||||||
части |
полученного уравнения |
равно |
нулю для всех |
k^j, |
|||||||||||||
/ = 0, |
1, . . . Так как процессы |
{w(k), |
& = 0, 1 . . . } и {v(k + |
||||||||||||||
+ 1), |
k = 0, 1 . . . } независимы, второе |
слагаемое |
также |
||||||||||||||
равно нулю |
для |
всех |
/ = 1 , 2 |
... и & = 0, 1 ..., |
чем |
дока |
|||||||||||
зывается |
третье |
свойство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Оптимальное |
предсказание |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Здесь |
|
будет |
получен |
алгоритм |
оптимального |
|
пред |
|||||||||
сказания |
|
x(k\j), |
k^>/, |
/ = |
0,1 ... |
и |
установлены |
некото |
|||||||||
рые |
ва кные |
свойства |
соответствую цей ошибки |
|
пред |
||||||||||||
сказания |
|
x(k\j) |
= x(k) — x(k\i). |
|
В |
частности, |
|
здесь |
|||||||||
рассматривается |
характер |
случайного |
процесса |
|
{x(k\j)\ |
||||||||||||
& = |
/ - j - |
1, / -j-2 ...} |
и |
поведение |
его корреляционной мат |
||||||||||||
рицы |
Е[ЩJ/)x'(k |
I/)] = |
|
P(k\j). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Предположим, что оптимальная текущая оценка (оцен- |
||||||||||||||||
ка |
фильтрации) |
x{fr\j) |
|
|
и |
корреляционная |
матрица |
||||||||||
E[x(j\j)x'(j\j)] |
|
= P(/[/) |
|
размера |
п |
\ п |
соответствующей |
||||||||||
ошибки |
фильтрации |
|
х (/ \і) = х (/) — х (/1 /) известны для |
||||||||||||||
192