Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

x(k*f

l|fe-f ,!) =

(— l ) 2 h + , . x > | Ä ) +

+ K(k+

l ) [ z ( * +

1 ) - ( - 1 ) ^ + ' х ( О Д ]

f - r ) 2 * + '

S3

P(k+\\k)

= (— 1)2 *+Ф(/г|/г)(— \)mi

= P(k\k).

(5-66)

Коэффициент

передачи

оптимального

фильтра

составляет

Р (k\k)

K{k+l)

= P (k\k) [Р (k\k) +

R(k +

l)]-« = p

m

+

R

\ k + [ y

(5-67)

Подставляя

эти два

результата

в

уравнение

(5-51), получаем

уравнение

1 —

Р (k\k) +

R(k+l)\и

( R ] R

)

~

R(k+\)P(k\k)

" />(*/*) +

/?(*+!)•

V~W>

для 6=0,

1

с начальным условием Р(0 JO) = Р ( 0 ) .

Вычисления в этом случае чрезвычайно просты. Рассмотрим вна­

чале дисперсию

P(k\k),

равную

Р(0)

при k—0. Дисперсия ошибки

предсказания согласно уравнению (5-66) равна P(k\k).

Коэффициент

передачи легко определить с использованием уравнения

(5-67). Из

уравнений

(5-67) и (5-68)

имеем:

P(k+l\k+[)=R(k+\)K(k+\).

(5-69)

Очевидно,

для

вычислений

можно

ограничиться

уравнениями

(5-67) и (5-69).

Дисперсия

ошибки

фильтрации,

удовлетворяющая

уравнению

(5-68), имеет следующее

свойство:

P(k+l\k+l)^mm[P(k\k),

R(k+\)].

Этот

результат

следует

из правой части уравнения (5-68)

и того,

что величины R(k+l)

и P(k\k)

представляют собой дисперсии и по­

этому неотрицательны

для всех

й=0,1 .

. .

Приведенное здесь

нера­

венство

означает,

что

P(k-\-\\k+\)—монотонно

невозрастающая

функция

k. Если

дисперсия

Р(010)

строго

положительна, a

R(k+l)

положительна и конечна для всех k, то

P{k+ 1

1) < m ï n [P(ft|Ä),

R(k+\)]

и поэтому P(k+\\k

+ \)—монотонно

убывающая

функция k.

Если

величина R(k-\-\)

бесконечно

велика

для некоторого зна­

чения k,

то P(k+

l\k+

\) =

P(k\k),

K(k

+

1) =

0 и

x(k

+

l\k+

1) = (—

\y*+lx{k\k).

x(k+

1) = (_1)<Ä + I >'x(0),

k =

0, 1...,

получаем, что если

значение

x(k+l)

известно

точно

для некоторого

k, то значение х(0)

также

может

быть

определено

точно, и, таким

,

R(k+\)P

F -

P + R(k+\)

•

Очевидное решение этого

уравнения Р=--0.

Так как

P(k+\\k+\)

монотонно невозрастающая функция k, то Р=0

в этом примере явля­

Пример 5-3. Рассмотрим скалярную систему вида

x(k+l)=<ùx(k)+w{k);

z(k+\)=x{k+\)-\-v(k+l)

для &=0, 1

где {w(k), k = 0, 1 ...} —гауссовская белая

последо­

вательность с нулевым средним и постоянной дисперсией Q,

{v{k+l),

k=0, 1 . ..} гауссовская белая последовательность с нулевым

средним

и постоянной дисперсией R, х(0)—гауссодская

случайная

величина

с нулевым средним и дисперсией

Р(0), a <D=const. Предполагается,

что обе белые гауссовские последовательности

и х(0) независимы.

Уравнение оптимального фильтра имеет вид:

x(k + \\k+ 1) =

Фх (k\k) + К {k +

1) [z(k+

\)—tôc(k\k)].

(5-70)

Из уравнений (5-50) и (5-49) получаем:

Р(Ь+Цк)

=

Ф*Р(Щ

+

Я;

(5-71)

K(k+l)

= [ф»р (Щ

+ Q] [Ф*Р (k\k) + Q + R] - •

=

-

VP№ + Q

( 5

m

Ф2Р(Щ

+ <2 + Я

V-IZ>

принимает вид:

Ф 2 Р (k\k) +

Q

P(k+l\k+l)

1 —

X

Ф 2 Р (k\k) + Q + R

X [Ф*Р №)

R [Ф2Р (klk) + Q]

(5-73)

+ Q] = ф ^ ^ У о ^ к

при начальном условии

Р ( 0 | 0 ) = Р ( 0 ) .

Из уравнения (5-71)

ясно, что P(k+1

\k) 5sQ, так как

P(k\k)^0.

Это означает, что предельная точность

предсказания

определяется

дисперсией возмущения.

Из уравнения (5-72) следует, что коэффициент передачи фильтра

изменяется в пределах 0^K(k+1)

^ 1, если не учитывать

тривиаль­

ный случай P(k\k)=Q=R

= Q. Если объединить

уравнения

(5-72) и

(5-73):

P(k+l\k+\)=RK(k+l),

то становится

очевидным,

что 0^.Р(к+1

\k+1)

для k=0,

1 . . .

В результате

получим, что если Р ( 0 ) » р ,

то первое измерение

приве­

В

частном

случае, когда

Q » P , из

уравнений

(5-72) и (5-73)

можно

видеть,

что К(к+\)л1

и P(k+1|£ + 1) « Р

для всех k—

=0, 1 .. . В этом случае, предел точности

фильтрации, очевидно, опре­

деляется дисперсией ошибки измерения.

(5-73)

в предположении Q=0. Полагая Р(/г+1 \k+1) =P(k\k) =Р и

Q=0,

получаем уравнение

-

_

#Ф2 іР

Р

~

Ф 2 Р + R '

Обозначая

àP(k

+

1 \k + 1) =

P(k

+

1 \k +

1) — P и t>P(k\k) =

= Я(£|й) -P, получаем:

Ol

(R-f-

i|« - f

i ) -

ф г р ( О Д +

А

Ф2 Р

+

#

=

ДФ2 Я (k\k) (Ф2 Р + /?) — №

f

[Ф^Р (fe|fe) -f /?]

_

[ф"-Р

(fe|fe) +

flj ( ф 2 р +

^

ф 2 р +

£

ф2Р

(Щ -\-

R

Ô P

№>'

При Ф 2 < 1 коэффициент при àP{k\k)

в правой части

полученно­

го соотношения

меньше единицы для всех «, так что всегда справед­

ливо

неравенство

ÔP(k +

1 \k +

1) <

6P(k\k).

В

случае

Р = О,

Р ( £ + 1 \k+ 1) <Я(й|&),

так что Р=0

— точка

устойчивого

равновесия

дисперсии ошибки фильтрации при любом_Ф2 <1.

_

При Ф 2 > 1 следует

рассмотреть как Р—0, так и

Р=(Ф2—1)І?/Ф2.

Для

Р=0

Полагая

P(k\k)=0

для некоторого

k,

получаем

öP(k+

1 \k+ 1) =

=Ф2 оР(&|/г). Так как Ф 2 > 1 , то даже если дисперсия ошибки

филь­

Р=0 — точка неустойчивого равновесия

решения уравнения (5-73).

Для второго решения

àP (k + l\k +

1) =

ф , р щ к )

+ ц

SP (k\k).

а это означает, что 6P{k+11k+1)<öP{k\k),

так как Ф 2 > 1 . Следова­

тельно, Р=(Ф2—1)/?/Ф2—

точка устойчивого равновесия

при Ф 2 > 1 .

Итак,

дисперсия ошибки

фильтрации

стремится

к

нулю,

если

Ф 2 < 1 и к

(Ф2 —1)І?/Ф2 ,

если

Ф 2 > 1 . Следовательно,

в случае

Q=0

уравнения (5-71) — (5-73)

принимают вид:

P(k+

l\k) = P {k\k) +

25;

irtk+n

- P ( f e l f e ) + 2 5 -

P(k+l\k+l)

15 [P (k\k) + 25]

-•1БК (k+l).

: P(k\k) + 40