Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 268
Скачиваний: 1
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
5-1 |
|
|
k |
P(k\k-\) |
KW |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
100 |
|
|
1 |
125 |
0,893 |
|
13,40 |
|
|
2 |
38,4 |
0.720 |
|
10,80 |
|
|
3 |
35,8 |
0,704 |
|
10,57 |
|
|
4 |
35,6 |
0,703 |
|
10,55 |
|
Установившееся |
значение |
P(k\k) можно получить, |
подставляя |
|||
значение |
P{k+ 1 \k+ 1) =P(k\k) |
—Р в последнее из трех |
приведенных |
|||
соотношений: |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
Рг + 2ЪР—375-0. |
|
|
|
|
Так |
как Р — дисперсия, |
она должна |
быть |
неотрицательной, |
||
а это означает, что допустимым является |
только |
решение Р= 10,55. |
||||
Сравнивая Р и Р(4|4), можно |
видеть, что фильтр |
находится в уста |
||||
новившемся состоянии в пределах имеющейся точности уже после
'Обработки четырех измерений. С учетом уравнения (5-70) |
это озна |
||||
чает, что уравнение |
фильтра |
|
|
|
|
x(k + |
\\k+ |
\) = x(k\k) + 0,703 [г (k+ |
1)—x (k\k)} |
= |
|
|
= |
0,297x (k\k) + 0,703z (k + |
1) |
|
|
находится в установившемся |
состоянии для А = 4, 5 .. . |
|
|||
Новое |
выражение |
для матрицы |
передачи |
|
|
С помощью различных зекторно-матричных преоб |
|||||
разований уравнения фильтра Калмана можно |
предста |
||||
вить во многих эквивалентных видах. Однако, как пока
зывает |
опыт, формулировка (5-48) — (5-51) в общем слу |
||||||
чае наиболее удобна. Тем не менее приведем |
здесь в ка |
||||||
честве |
иллюстрации |
одну |
из эквивалентных |
формули |
|||
ровок фильтра, |
вводя новое выражение для матрицы пе |
||||||
редачи |
фильтра |
K(k+\). |
Для этого |
потребуются |
два |
||
матричных тождества, доказываемых |
ниже. |
|
|
||||
Пусть Р и R — несингулярные матрицы размера |
пХп |
||||||
и mXm |
соответственно, а H — матрица размера |
тХп. |
|||||
Докажем следующие два тождества: |
|
|
|
||||
РН' (НРН' + R) -» = (Р-1 + H'R-Ш) |
|
(5-74) |
|||||
( Р - 1 + H'R-Щ |
- i = Р—РН' (НРН' + R)-4iP. |
(5-75) |
|||||
216
Тождество (5-74) доказывается сравнительно просто:
РН'{НРН' |
+ R) -1 = ( Р-1 + Я ' Р ^ Я ) - 1 ( Р - 1 + |
|
+ H'R-УН) РН' [НРН' +R) -1 = ( Р - 1 + |
|
|
+ H'R-W) |
-* (Я' + H'R-WPH') {НРН' + R)-l |
= |
= (Р~1 + Я ' Р - * Я ) - W R - 1 (P + Я Р Я ' ) (HPH' + |
R)-^ |
|
|
= (Р-і + Я ' р - і Я ) - і Я ' Р - і . |
|
При доказательстве тождества (5-75) будем действо вать в основном тем же способом:
( Р ^ + Я ' Р ^ Я ) = ( Р ^ + Я ' Р - ' Я И Р —
— Р Я ' ( Я Р Я ' + R)-lHP][P—PH'(HPH' +
+ P)-WPJ-i.
Подставляя во второй сомножитель в правой части тождество (5-74), получаем:
|
(Р-і + H'R~lH) |
= (P-i + H'R-iH) |
[P— (P-1 + |
||||
|
+ H'R-iH) |
-iH'R-iHP] |
[P—PH'(HPH'+ |
||||
|
+ i ? ) - W ] - ' = (I + H'R-iHP—H'R-iHP) |
X |
|||||
|
X [P—PH' |
(HPH'+P |
) - і Я Р ] - і = |
|
|||
|
=[P—PH' |
|
(HPH' + P ) -*ЯР]-і. |
|
|||
Обращая матрицы в обеих частях равенства, получа |
|||||||
ем тождество (5-75). |
|
|
|
|
|
||
Из уравнений (5-49) и (5-74) ясно, |
что матрица пе |
||||||
редачи оптимального фильтра может быть |
представлена |
||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
K{k+\)={P-i(k+\\k)+H'{k |
+ |
|||||
+ 1 ) р - і (k + 1 ) Я (k +1 ) J-itf' (£ + 1 ) Я-» (А +1 ). (5-76) |
|||||||
С |
другой стороны, |
из уравнений |
(5-49), (5-51) и |
||||
(5-75) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
P(k |
+ \\k |
+ \)~P{k+\\k) |
— |
|
||
|
—K(k+l)H(k+\)P{k+\\k) |
|
= |
|
|||
|
= Р ( £ + 1 | 6 ) — |
P{k+\\k)H'{k+\)X |
|||||
|
X{H(k+l)P(k+l]k)H'(k+l)+R(k+l)]-'X |
|
|
||||
|
XH(k+l)P(k |
+ l\k)=[P-i(k+l\k) |
|
+ |
|||
|
+ H' (k+l)R~l(k |
+ \)H |
(k+\) |
H |
(5-77) |
||
Подстановка уравнения (5-77) в (5-76) |
позволяет по |
||||||
лучить новое выражение для матрицы передачи: |
|||||||
K(k + l)=P(k+ï\k+l)H'(k+i)R-4k+\). |
|
(5-78) |
|||||
217
Если в исходной формулировке фильтра Калмана (теорема 5-5) приведена последовательность вычислений
P(k+l\k)-+K(k+l)-+P{k+l\k |
+ l), |
то при использовании уравнения (5-78) последователь ность вычислений становится следующей:
P(k+l\k)-+P(k+l\k+l)-*K(k+l).
В этой последней формулировке уравнение (5-51) следует представить в виде
P{k+l\k+l)=P(k+l\k)—P(k+l\k)X |
|
|
XH,(k+\)[H(k+l)P(k+\\k)H'(k+\) |
+ |
|
+ R(k+\)]-W{k |
+ \)P(k + \\k), |
(5-79) |
подставляя в него соотношение (5-49). При |
вычислениях |
|
в новой формулировке фильтра следует использовать по следовательно уравнения (5-50), (5-79) и (5-78).
Новая формулировка не дает каких-либо вычисли тельных преимуществ. Ее основным недостатком являе-
ется то, что матрицу K(à+\) |
фактически приходится вы |
|
числять дважды, один раз при вычислении |
P(k+l\k+l) |
|
в уравнении (5-79) и второй раз в уравнении (5-78). С другой стороны, если анализируются только корреля ционные матрицы ошибок, безотносительно к поведению
K(k+\), |
то можно |
без участия уравнения (5-78) попе |
||
ременно |
использовать уравнения |
(5-50) и (5-79) |
для по |
|
лучения |
P(k+l \k) |
и P(k+ 1 \k+\), |
k = 0, \, ... |
Наконец, |
если исследуется поведение одной корреляционной ма трицы ошибки фильтрации, возможно дополнительное упрощение. Уравнение (5-50) можно подставить в урав нение (5-79) и получить матричное соотношение первого порядка между Р(k+ I \k+ I) и P(k\k).
В заключение заметим, что уравнение (5-77), которое является новым представлением уравнения (5-51), слу жащего для определения матрицы P(k+l\k+\), не слишком привлекательно с вычислительной точки зре
ния, |
поскольку |
оно требует обращения |
матриц P(k + |
+ l\k) |
и [P-4k |
+ l\k)+H'(k+l)R-l(k+l)H(k+l)l |
Обе |
эти матрицы имеют размер пХп, где п — число перемен ных состояния системы. На первый взгляд, может пока заться, что уравнение (5-77) все же будет удобным для п = 2, 3 или 4. Тем не менее в уравнении (5-77) имеются 216
три |
обратные |
матрицы, |
а в |
вычислительном цикле |
(5-49) — (5-51) |
требуется обратить только одну. Посколь |
|||
ку, |
кроме того, m обычно |
меньше п, вычислительные |
||
преимущества |
первоначальной |
формулировки становятся |
||
очевидными. |
|
|
|
|
5-4. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ВОЗМУЩЕНИИ И ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЯ
При рассмотрении системы (5-14), (5-15)
х{1г+\) = Ф ( Л + 1 , |
k)x(k) |
+ |
Y(k+\,k)w(k); |
z{k+\)=H{k |
+ \)x(k |
+ \)-\-v{k + \) |
|
не всегда допустимо предположение, что случайные про цессы {w (к), к = 0, 1 . . . } и {v (k +1 ), к = 0, 1 . . . } являются белыми.
Например, рассмотрим задачу слежения за спутни ком, пролетающим над территорией Соединенных Шта тов, станциями в Калифорнии и Флориде. Предположим, что пока спутник пролетает над каждой станцией, про изводится большое число измерений дальности (расстоя ния от РЛС до спутника). Если две РЛС не абсолютно идентичны, то следует ожидать, что ошибки измерений дальности станцией во Флориде будут независимы от аналогичных ошибок станции в Калифорнии. С другой стороны, маловероятно, чтобы ошибка какого-либо из мерения дальности одной станцией была независимой от ошибки другого измерения дальности той же станцией. Таким образом, по-видимому, существуют ситуации, ког да ошибки измерения коррелированы во времени.
Из тех же соображений нельзя считать взаимно неза висимыми случайные порывы ветра, воздействующие на самолет, например, при прохождении через грозовой фронт.
Наиболее простой подход в случае, когда случайные процессы {w(k), k = 0, 1 . . . } и {v(k+ 1), k=0, 1 . . . } кор релированы, заключается в моделировании их гауосовскими марковскими последовательностями. Для иллю страции рассмотрим два следующих примера.
Пример 5-5. Предположим, что монтажник ошибся при установке датчика угла. Это привело к тому, что показания датчика оказались существенно «завышены» или «занижены» в зависимости от знака
219