Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

v{k+l)

=v(k)

для k=Q, 1 ...,

где

ѵ — скаляр. Если рассмотреть

множество таких датчиков, то можно

ввести вероятностное описание

величины и(0)

и

предположить,

что она является гауссовской слу­

чайной

.величиной

с

нулевым

средним и известной дисперсией о2 .

Процесс {v(k+l),

k=0,

1, ... } при этом, очевидно, является гауссов­

ской

марковской последовательностью с нулевым средним и диспер­

сией

P(k+l) = а 2 ; k=0, 1 . . .

сией

(k). Процесс {v(k+l)}

k = 0, 1 . . .

} , очевидно, является гаус­

-3

-2

- I

w(k+\)=a>(k+l,

k)w(k)+r)(k),

(5-80)

E[w(k+l)w(k)]=0>(k+l,

k)E[w*(k)]

+

+Е[ц(£)ш(й)]

= ф ( й + 1,

k)E{w2(k)].

Согласно условиям

задачи

E[w(k+l)w(k)]

= P(k+l,

ft)=ae-';

Следовательно,

E[w2(k)]=P{k,

k)=a.

а е - '

= Ф(/г+1,

k)a

или

•

Ф(£+1, ft)=e-»

и уравнение процесса принимает вид

w{k+{)=e-lw(k)+T\(k).

(5-81)

Соответствующее уравнение для дисперсии

P(k+\)=e-*P(k)+Q(k),

где

Q{k)—дисперсия

случайного

процесса {r\(k),

k=0, 1, . . . } .

Однако

P(k+\)=P(k+l,

k+l)=a; P{k)=P(k,

Ä)=a .

Следовательно,

а это означает, что

{г| (А) ; k=0,

1 ...}—скалярная

гауссовская по­

следовательность с нулевым средним и дисперсией

Q(k)=a(l—е~г)

для

всех k.

Очевидно, Р(0,

0}—а. Следовательно, w(0)—гауссовская случай­

Для проверки модели покажем, что гауссовская марковская по­

следовательность {w{k)\

k—0, 1 ... } имеет заданную корреляцион­

ную

функцию. Так как процесс должен быть стационарным в широ­

ком

смысле, достаточно

вычислить E[w(j)w(Q)]=P(j,

0) для /=1, 2 ...

В силу уравнения

(4-31)

имеем:

Ч

го(/)

= е - ' к і ( ° ) + Е <?-('-*Ь)(< — 1).

Поэтому

Е [w (j) w (0)]

с - 'E [w (0)

w (0)]

-f-

i

+ Ц е-0-')Е[уі(і—

1) w (0)]

= o e - J .

Последняя

сумма

в правой

части

обращается

в нуль,

так

как

по предположению

г)(і—1),

і = І , 2 . . . не зависит

от ш(0).

Коэффициент

корреляции

между

w(k+\)

и

=

P(k+Uk)

=

0 . 3 _ 6 8 а _ _ о

Р

+ 1, 6 + 1) і Л ° ( & , A)

Va Va

' 3

Заметим,

что

процесс

имеет

постоянную

дисперсию P(k)

=

-P(k,

k)=a

для

всех

k = 0

1

. . .,

т. е.

является установившимся.

г/(/г + 1 ) = Ф і ( А + 1 ,

k)y(k)+l\(k

+ l,

k)wi(k);

(5-82)

Ш І ( А + 1 ) = Ф 2

( А + 1,

k)wi(k)+l\(k

+ l,

k)m(k);

(5-83)

z(k+l)=Hl(k+l)y(k+l)

+v(k+l);

(5-84)

v(k+l)=<ba(k+l,

k)v(k)+Ts(k+\,

к)цф)

(5-85)

для k = 0, 1 .. ., где у—n-вектор;

wi—р-вектор;

rji—q-

вектор; z и ѵ—га-векторы;

т)2 —r-вектор. Матрица

Ф4 име­

ет размер пХп,

Гі—пХр,

Фі—рХр,

W—pXq,

#i — mXn,

Фз—mXtn, а Гз—mXr.

Предположим,

что {щ{к)\

k =

= 0,1 .. .} и {т)г(А); k = 0,

1 . ..} — гауссовские

белые

по­

Далее предполагается, что у(0),

Wi(0)

и ѵ(0)

—гаус-

совские

случайные векторы

с нулевыми

математически­

ми ожиданиями и корреляционными матрицами

Рѵѵ(0),

Pww(O)

и

Рѵѵ(0).

Допускается,

что

эти

три

вектора

мо­

гут

быть

коррелированы со

взаимными

корреляционны­

ми

матрицами:

£{у(0)ш'і (0)1 =

^ ^ ( 0 ) ;

ЩУ(0)Ѵ(0)]

=

РѴѴ(0);

£ И

(0)^(0)1 =

^ ( 0 ) .

Обе

гауссовские

марковские

последовательности

{Wi(k+\)

\ k = 0,

1, . . . } и {v(k+l);

k = 0,

1,

. . . }

«присут­

ствуют»

в измерении

z(k+l):

первая косвенно,

как

воз­

мущающий член в уравнении для

у (k + l),

а вторая

не­

посредственно, что видно из

уравнения

(5-84). Следова­

стояния. Определим

x(k+l)

как

(п + р + т)-мерный

век­

тор

вида

y(k+\)~

J C ( Ä + 1 ) =

» . ( * + ! )

v(k+ 1)

Тогда уравнения (5-82), (5-83) и (5-85) можно объ­

единить

в

виде

|Ф,(*+

1, k) Tt(k

+

k)

о

x(k

+

l)

=

о

ф2 (k + i

k)

о

x(k)

+

о

0

Фз

(k + 1,

*)

+ г2

о

0

ъ

(*)

(5-86)

(k +

k)

0

k)

V)2

(k)

о

r 3

(k +

Далее

пусть

Ф ( £ +

IФ, (k +

1,

k)

Г,

(k +

1,

k)

0

1, £) =

0

Ф2

[k +

1,

k)

0

0

0

Ф3

(k +

1, k) I

обозначает

матрицу

размера

(n - j - р-\-

от)Х(га

+

Р + м), а

0

0

Г2

(Ä +

1,

А)

0

0

Г3 (/г + 1,

*)

— матрицу

размера

(n -f- р +

m) X (<7 +

О-