Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 282
Скачиваний: 1
(7-1), (7-2), предельный переход в решении сформули рованной здесь задачи позволяет получить требуемые алгоритмы оптимальной оценки.
7-3. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ПРЕДСКАЗАНИЕ
Вначале рассмотрим задачу оптимальной фильтра ции, для которой докажем следующую теорему.
Теорема 7-1.
1) |
Оптимальная |
оценка |
для |
системы |
(7-1), |
(7-2) |
|||||||||||
удовлетворяет |
|
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x = |
F(t)x |
|
+ K(t)[z(t)-H(t)x] |
|
|
|
(7-7) |
||||||
для |
|
t -J*t0, где х~x(t |
|
\ t), x |
(ta \ t0) — 0, a |
К (t) — мат |
|||||||||||
рица |
|
передачи |
|
фильтра |
размера |
|
пХ.т. |
|
|
|
|||||||
2) |
Матрица |
K(t) |
определяется |
с помощью |
|
соотноше |
|||||||||||
ния |
|
|
|
|
|
K(t)=P(t\t)H'(t)R-4t) |
|
|
|
|
|
(7-8) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
для |
t^t 0 , |
|
где |
P(t\t)—корреляционная |
|
|
матрица |
ошиб |
|||||||||
ки |
фильтрации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x(t\t) |
= |
x{t) |
|
|
~x{t\t) |
|
|
|
|
||
размера |
пхп. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
Случайный |
процесс |
{x{t\t), |
|
t^U} |
— |
|
гауссовский |
|||||||||
марковский |
с нулевым |
средним |
|
и корреляционной |
|
матри |
|||||||||||
цей, |
удовлетворяющей |
|
матричному |
|
дифференциальному |
||||||||||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P = F(t) |
P + PF'{t) —PH' |
(t) R-i |
(t) H(t)P + G{t)Q |
(t) G' (t) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7-9) |
для |
V^to, |
где P = P(t\t), |
a |
P(t0\tQ) |
= P(t0) |
= |
|
E[x(tQ)x'{t0)]. |
|||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
уравнению |
(5-48) |
||||||||||||||
теоремы 5-5 оптимальный |
фильтр |
для |
системы |
(7-3), |
|||||||||||||
(7-6) |
имеет |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
х ( / + |
А/|/ + |
А/) = |
Ф(/ + Д/, |
|
t)x(t\t)-j- |
|
||||||||
|
|
|
-f- К (t - f At) [z {t - f |
At) |
- |
H (t - f At) Ф {t |
+ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
- |
f |
|
t)x(t\t)\, |
|
|
|
|
|
|||
где |
x ( f 0 |
| g |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
286
Используя уравнение (7-4), получаем:
|
|
Ф(г + |
At, |
f)x{t\t) |
= |
|
|
|
= |
[/ - f F (О |
|
+ |
о (ДО] je (r I f). |
|
|
Тогда уравнение фильтра можно записать |
в виде |
||||||
x{t + |
M\t-\-At)-x(t\t) |
|
|
= |
F(t)x{t\1)At |
+ |
|
+ |
К (t |
At)[z(t |
+ |
At) - H (t + At) Ф(і |
+ |
||
|
|
- f At, t)x{t}t)] |
+ |
О (At2). |
(7-10) |
||
Разделив обе части уравнения (7-10) на At и пере ходя к пределу при At—И), получаем:
x = F(t)x + Um К { t + à t ) [ z Ѵ+Щ-н W > ф ^+A / ' *> *
(7-11)
где Ü£ = x ( / | / ) и t7&t0.
Предел в правой части уравнения (7-11) можно рас сматривать как произведение пределов
l i r a [К (t + At)!At]
м-*о
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lira [г (t + Ar) — Я (f + |
ДО Ф {t + |
Д*, |
0 |
JC] |
|||||||
при условии, что эти пределы |
существуют. |
|
|
|||||||||
Вначале рассмотрим второй предел. Используя урав |
||||||||||||
нение |
(7-4), сразу получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
l i m [ z ( * |
+ |
A0 |
— Я ( * + |
Д Г ) Ф ( * + |
Д Г . |
t)x] |
= |
||||
|
|
|
|
= |
z(t) — H{t)x{t\t). |
|
|
|
(7-12) |
|||
Возвращаясь |
к первому пределу, из уравнений (5-49) |
|||||||||||
и (5-50) теоремы 5-5 получаем: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
K.{t |
+ |
At).= P{t + |
àt\t)H'(t |
+ |
M)X |
|
||||
X |
H{t-\-At)P{t-\-At\t) |
|
Я ' |
( / |
+ Д 0 + / г ( д " І " А ° ] " 1 = |
|||||||
|
= |
Р(г + |
Д г | 0 Я ' ( ^ + |
Д 0 [ я |
( ^ + Д 0 р ( ^ |
+ |
||||||
|
+ |
At 10 Я ' (* -f- ДО Д^ + |
R (t + |
At)}-1 |
At; |
(7-13) |
||||||
/ , ( г - Г - д * | 9 = ф ( * + ДЛ о ^ С Ю Ф ' С + Д'- 0 + |
||||||||||||
|
|
+ |
Г (f + |
Af, 0 4 г ~ |
Г" (* + |
àt, |
t). |
(7-14) |
||||
287
Подставляя |
в |
уравнение |
(7-14) |
уравнения |
(7-4) |
и |
||||||||||
(7-5) и группируя |
члены, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P (t - f At )t) = |
[/ - f F (t) At + О {Af )] P (f I 0 [/ |
+ |
F (t) At + |
|
||||||||||||
+ О (ДОГ + \G (t) At + O (Af)} |
Ш- |
[G (t) At |
+ |
|
||||||||||||
+ |
0(Ms)Y |
= |
|
P(t\f) |
+ [F(f)P{t\f) |
+ |
P(t\f)F'(f) |
|
+ |
|
||||||
|
|
-}-G(t)Q(t)G'(t)}At-^0(Ar-). |
|
|
|
|
|
(7-15) |
||||||||
Отсюда |
ясно, |
что для любого |
t ^ t 0 |
и |
At>0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
UmP(t-r-M\f) |
= |
P{t\t). |
|
|
|
|
(7-16) |
|||||
|
|
|
|
м-»о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
непрерывности |
матриц |
H (t) |
и |
Р ( 0 |
с |
|
учетом |
||||||||
уравнения |
(7-16) следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
lim |
КѴ + Ы)= |
p(t\t)H' |
(0 lim [//(/ |
+ |
|
|
|
|
|||||||
-f д о P (t + |
д^ | o |
H' |
(t -f д о д* + я (* -f- ДО] -1 |
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
= P{t\t)H'{t)R-l(t). |
|
|
|
|
|
|
(7-17) |
|
|||
Учитывая (7-12) и (7-17), из уравнения (7-11) по |
||||||||||||||||
лучаем следующий результат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x = |
|
F{f)x |
+ |
K(f)[z{f)-H{t)x] |
|
|
|
|
||||||
для t>t0 |
при |
x(t0\to) |
= |
0, где |
по |
определению |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
K(t)=P(t\t)H'(t)R-i(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эти |
соотношения |
аналогичны |
уравнениям |
(7-7) |
и |
|||||||||||
(7-8) в утверждении теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теперь рассмотрим ошибку фильтрации. Для рассма |
||||||||||||||||
триваемого |
случая из уравнения (5-64) получаем: |
|
||||||||||||||
|
x(t |
+ At\t+At) |
= [I—K(t |
+ At)H(t |
+ |
At)]X |
|
|
|
|||||||
XO(t |
+ At, |
|
t)x(l\t) |
+[l—K(t+M)H(t |
|
+ |
àt)]x |
|
||||||||
|
XT(t |
+ At, t)w(t)—K(t |
+ At)v(t |
+ At). |
|
|
(7-18) |
|||||||||
Подставляя уравнения (7-4) |
и |
(7-5) |
в |
уравнение |
||||||||||||
(7-18), |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x(t+At\t+At) |
|
= [I—K(t |
+ At)H(t |
+ |
|
|
|
|
||||||
|
|
+ At)][I+F(t)M |
+ 0(At2)]x(t\t) |
|
+ |
|
|
|
|
|||||||
|
+[I—K(t |
+ At)H(t |
+ At)][G{t)At |
+ |
0(AP)]X |
|
|
|
||||||||
|
|
Xw(t)—K(t |
+ At)v(t |
+ At)=x(t\t) |
+ |
|
|
|
|
|||||||
|
+{F(t)At—K(t+At)H(t |
|
+ At)]x(t\t) |
+ |
|
|
|
|||||||||
+ G(t)w(t)At—K(l |
|
+ At)v(t |
+ At) + 0 ( A / 2 ) , |
|
(7-19) |
|||||||||||
288 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где использовано отсутствие в разложении матрицы K(t+At) в ряд по степеням At членов нулевого поряд ка, что можно видеть из уравнений (7-13) и (7-15).
Перенося x(t\t) в левую часть уравнения (7-19),раз делив обе части на At и переходя к пределу при At—>-0, получаем:
x = |
[F(f)-K(f) |
Ч (t)] x - f G (t) w (t) — K(l)o (0 |
(7-20) |
||
для t^to, |
где использован предел (7-17) и определение |
||||
матрицы |
K(t). |
|
|
||
Так |
как |
случайный процесс {x(t + At\t + At), |
t = t0 + |
||
+ jAt; |
/ = 0, |
1 . . . } является гауссовской марковской по |
|||
следовательностью с нулевым средним, то из § 4-3 сле дует, что соответствующий предельный процесс, описы ваемый уравнением (7-20), есть гауссовский марковский процесс с нулевым средним.
В заключение получим дифференциальное уравнение для P(t\t). Из уравнения (5-51) теоремы 5-5 имеем:
|
P(t + At\t + At)=P(t |
+ At\t)—K(t |
+ AL)X |
|
|||||||
|
|
XH(t |
+ At)P(t |
|
+ |
At\t). |
|
|
|
||
Подставляя в последнее выражение уравнение |
(7-15) |
||||||||||
и вспоминая, что матрица |
K(t + At) |
не имеет |
членов раз |
||||||||
ложения нулевого порядка по At, получаем: |
|
|
|||||||||
|
P(t + At\t + At)=P(t\t)+[F |
|
(t)P(t\t) + |
|
|||||||
|
+ |
P(t\t)F'(t) |
|
+ |
|
|
G(t)Q(t)G'(t)]At- |
|
|
||
|
—K(t+At)H(t |
|
+ |
|
At)P(t\t)+0(AV), |
|
|
||||
откуда |
ясно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(t\t) |
= F(t)P(t\t) |
+ |
P(t\t)F'{t) |
|
+ |
G(t)Q(t)G'(t)~ |
|||||
|
|
_ UmK { t |
+ |
à t ) H { t + |
& t ) P { t l t ) |
|
|
|
|||
|
|
nui |
|
|
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
д<-»о |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
С учетом |
уравнения |
(7-17) |
|
это |
означает, |
что |
|
||||
Р = F (t) Р - f PF' (t) - |
PH' (t) R'1 (t) H (t) P - f |
|
|||||||||
|
|
+ |
G (/)<?(/) G'(0, |
|
|
(7-21) |
|||||
где P = |
P(t]t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из теоремы 5-5 следует, что соответствующее |
урав |
||||||||||
нению |
(7-21) |
начальное |
условие |
имеет |
вид |
P{to\t0)=- |
|||||
= P(t0). |
Теорема доказана, |
|
|
|
|
|
|
||||
19—85 |
289 |