Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

го

фильтра,

U(k+\),

описываемой уравнением (6-86),

достаточно просто. Этот расчет не является

рекуррент­

ным, он проводится отдельно для каждого k.

При

вычислении

обеих

матриц

передачи

приходится

в

каждый

момент

времени

обращать

корреляционные

матрицы. В

уравнении

(6-86)

для

каждого

k

требуется

вычислять матрицу Р-1(к\1г),

а в уравнении

(6-97) при

определении

Л- 1 (&)

и

A(k + N)

необходимы матрицы

P-*{k\k)

и P-i(k+l+N\k

+

N).

Аналогичная трудность возникает и в уравнении для

корреляционной матрицы

ошибки

сглаживания (6-87),

где нужно определять

матрицы A~l(k)

и

\А'{к)]-1-

ное условие Р(0\М)

для уравнения (6-87)

нужно

полу­

чить,

последовательно

решая уравнения

(6-79) или

(6-80)

для

Р ( 0 | 1 ) ,

Я(0|2) . . .

и,

наконец,

для

P(0\N).

Кроме

того,

в уравнение

(6-87) входят матрицы

P(k\k)

и

P(k+\+N\k+N),

получаемые

в результате

решения

задачи

оптимальной

фильтрации

для

k = 0, 1 . . .

Пример

6-4.

Применим

теорему

6-3

для получения уравнений

исследованной в примерах

6-1 и 6-3. Напомним еще раз,

что

для

рассматриваемой системы

Ф ( £ + 1 , k)=T(k+\,

k)=H(k+l)

= \,

a

Q(k)=25.

Однако C(k+l)=A(k),

так что C(ft + 2) =А(ft+1).

Значения Л (ft+1)

приведены в табл. 6-1. Два искомых коэф­

фициента передачи сглаживающего

фильтра даны в табл. 6-3.

Т а б л и ц а

6-3

k

C(ê + 2)

U(k +

l)

0

0,349

0,250

1

0,302

1,865

2

0,324

2,135

х

(ft + 1 I ft+ 2) = х (ft I ft+

1) + С (ft + 2)

(ft + 2) X

X

7(ft + 21 ft+ l) - f у (ft +;i)

[X (ft I ft+ 1 ) -

X (ft I ft)]

(рис. 6-15).

•

x(k+l\k+2)

к(к+г)

*z(k+z\k+1)

БЗ

\-,x(k\k+1)

C(k+Z)

U(k+1)

Xv(k\k)

-X

+

Рис. 6-15. Оптимальный сглаживающий фильтр с по­

стоянным запаздыванием из примера 6-4.

Дисперсия ошибки оптимального сглаживания с единичным за­

паздыванием определяется с помощью уравнения

Р (ft + 1 I ft+ 2) = Р (ft +

1 Ift)— C 2

(ft + 2) К (ft + 2) X

X P ( f t + 2 I ft+ 1). A»(k) \P(k \

k)-P(k)k+\))

ХК

(ft + 2) Я (k + 2 I * +

I)—3i\fef

[/> (* I A) - P.(* I * -LOI-

В

табл. 6-4 приведены

значения

дисперсии ошибки оптималь­

Для

сравнения здесь

же приведены

соответствующие значения дис-

Та б л и ц а

6-4

/

Предсказание

Фильтрация

Сглаживание на за­

Сглаживание с

еди­

РІІІІ-П

Р{№

крепленном интер­

ничным запазды­

вале Р(Ц4)

ванием

0

100

26,25

28,60

1

125

13,40

9,84

10,04

2

38,4

10,80

8,30

8,51

3

35,8

10,57

8,37

8,37

живания согласно классификации §

6-1

относится этот результат?

6-3. Получить

соотношения для

математических

ожиданий и

корреляционных

матриц, необходимых

при описании

следующих

мального сглаживания на закрепленном

интервале:

f[S(N—l\N),

x(N\N)] а }[х(к\Щ\x(k+1

]N),

S(k+2\N)}

(для k^N—2,

N—l,

0).

6-4. Показать, что в задаче

оптимального

сглаживания на за­

крепленном интервале случайный

процесс

{у(к),

&=JV, N—1, ... , 0},

где

» (ft

I N)

fr (ft I

ft)

трицы

P(k)=E[x(k\N)x'(k\k)]

через матрицы P(k\N) и

P(k\k).

6-5.

Составить блок-схему

программы

ЭВМ для

алгоритма

оптимального сглаживания на

закрепленном

интервале,

включаю­

x(k\k)y

x(k+l\k),

P(k\k)

и P(k+l,

k) можно получить из

памяти

ЭВМ при А=0, 1

N.

6-6.

Можно

ли изменить формулировку теоремы 6-1 для слу­

чая, когда в модель системы

включен

сигнал

управления,

т. е.

x(k + \)=.t$(k+l,

k)x(k)+T(k+ï,

k)w(k)+W(k+\,

k)u(k),

и

если

можно, то каким

образом?

Р(0|0) = 10 и R(k+\)

= \Q

6-7. Пусть в

системе из примера 5-2

для

всех £ = 0 , 1 . . . Полагая,

что

оптимальное

сглаживание

для

этой

задачи проводится

на закрепленном

интервале [0, 4],

опреде­

этого интервала и сравнить результаты

с точностью

оптимальной

фильтрации. Составить структурную схему

сглаживающего

фильтра.

6-8. Полагая оценку

x (k \ N)

известной для некоторого

&= k* на

интервале [0, N] вместе

с ее

корреляционной матрицей

ошибки

P(k*\N)=E{S(k*\N)x(k*\N)],

получить

рекуррентный

в

прямом

тервале для k—k*, k* + l,

...,

N. Составить

структурную

схему

по­

лученного сглаживающего

фильтра.

6-9. Доказать следствие 6-1.

6-10. Для задачи оптимального сглаживания в закрепленной

точке

без возмущения,

т. е. при Q(i)=0 для всех »=0,

1,

.... пока­

зать, что

»

(А | / ) =

ф (*./') * (/"!/);

IP (k i /) = Ф (*./)/>(/1

/ ) Ф ' ( М

при І ='ß'e+A,

£ +

2 ...

6-11. Всегда ли при оптимальном сглаживании в закрепленной

точке

необходимо

выполнение

неравенств

Sp P(k\j) ^ S p

P(k\j—1)

или Sp P(k\j)

^ S p P(k\k)f

Объяснить

ответ.

6-12. Рассмотреть задачу оптимального сглаживания на закреп­

ленном интервале для скалярной системы

x(k+1) =ax(k)•

z(k+l)

=

= bx(k+l)+v(A+l);

k=0,

1, .... где a и

b — постоянные.

При ка­

ких

условиях,

наложенных

на a, b и (или) любые другие

парамет­

ры

задачи, выполняется

неравенство

P(0\j)<P(0\j—1)?

6-13. Рассмотреть скалярную систему

x{k+l)=2-bx(k)+w(k);

z(k+l)=x(k+l);

£ = 0 ,

1, . . . .

где х[(0) имеет нулевое среднее и {дисперсию

Og=LconstJ>[0;

{w(k),

fe =

0,

1,"...}

— гауссовская

белая

последовательность с

нулевым

средним, независимая от х(0).

Дисперсия

последовательности

=