Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 283
Скачиваний: 1
Теорема 7-1 принадлежит Калману (Л. 7-1], доказав шему ее для более общего случая коррелированных про цессов {w(t), t^to} и {v (t), t~^t0). Доказательство в этом случае отличается от приведенного здесь только некото-
Рис. 7-1. Структурная схема оптимального линейного фильтра для непрерывных линейных систем.
рыми деталями и предоставляется читателю в качестве упражнения.
Структурная схема оптимального фильтра (7-7) по казана на рис. 7-1.
Вместо предсказанного |
измерения z(k -\- |
\ \k), |
фигу |
||
рирую него в дискретном |
|
фильтре, |
здесь |
используется |
|
текущая оценка измерэния |
z(t \ t) = |
H (t) x(t |
\ t), |
так что |
|
невязка измерения, являющаяся входным сигналом цепи обратной связи, умножаемым на матрицу передачи филь тра, имеет вид:
|
|
ï{t\t) |
= |
Z{f)-z(t\t). |
|
|
|
Как можно видеть, фильтр представляет собой мо |
|||||||
дель |
динамики |
системы |
x=F(t)x, |
возбуждаемую |
сигна |
||
лом |
коррекции |
от цепи |
обратной связи |
K(t)z(t\t). |
|||
Так как в |
фильтре |
не присутствует в |
явном |
виде |
|||
предсказание, |
здесь |
не |
нужно |
вычислять |
корреляцион |
||
ную матрицу ошибки предсказания. Необходимо опре делить только корреляционную матрицу ошибки филь
трации, которая |
является |
решением |
уравнения (7-9). |
|
Это |
уравнение представляет собой систему обыкновен |
|||
ных |
дифференциальных |
уравнений |
первого порядка. |
|
Оно |
называется |
матричным уравнением Риккати, |
||
Хотя |
матрица P(t\t) |
имеет |
п2 |
элементов, |
достаточно |
|||||||
рассматривать |
только |
п ( « + 1 ) / 2 |
|
уравнений |
системы |
|||||||
(7-9), поскольку P{i\t) |
|
является |
корреляционной |
и |
по |
|||||||
этому симметрической |
|
матрицей. |
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
матрица P{t\t) |
известна, |
|
то случайный |
процесс |
|||||||
{x(t\t), |
t^t0} |
|
полностью описывается своей |
характери |
||||||||
стической функцией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M s ; 9 = |
ехр |
~~~s'P{t\t)s |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
где s — «-вектор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Как и в дискретном случае, |
нет |
необходимости |
моде |
|||||||||
лировать фильтр или хотя бы |
определять матрицу |
|
K(t) |
|||||||||
для того, чтобы оценить качество оптимального |
фильтра. |
|||||||||||
Для этой цели достаточно решить уравнение |
|
(7-9) |
от |
|||||||||
носительно |
P(t\t). |
|
|
R(i) |
|
|
|
|
|
|
||
Причина |
того что |
матрица |
|
выбирается |
положи |
|||||||
тельно |
определенной |
для всех |
t^t0, |
очевидна |
из |
урав |
||||||
нений (7-8) |
и |
(7-9). Физически |
это |
предположение |
озна |
|||||||
чает, что во всех компонентах вектора измерений всегда
присутствует |
«некоторая |
ошибка». |
|
|
Оптимальный фильтр, описываемый уравнением |
(7-7) |
|||
является, очевидно, линейной системой, в |
которой |
z(t) |
||
играет роль |
входного, |
a x(t\t)—выходного |
сигнала. |
|
Если переписать уравнение (7-7) в виде |
|
|
||
x = [F{t)-K |
(О H (/)] x + K(t)z |
(t) |
|
|
и обозначить через 4f(t, т) переходную матрицу этой си стемы, то решение дифференциального уравнения можно представить в виде
x(t\t) |
= W(t, |
t0)x*{t0\t0) |
+ $V(t, |
x)K(t)z{x)dx. |
|
|
|
(о |
|
Так как |
x(to\to) |
= 0, то |
|
|
|
JC(t\t)= |
t |
x)K(x)z{x)dx. |
|
|
|
|
to
Обозначая через A(t, %) весовую матрицу Мг(/, х)К{х) размера лХт, можно представить оптимальную оценку в виде
|
t |
|
x(t\t) |
= ^A(t, |
x)z(x)dx. |
|
to |
|
І9* |
291 |
Тогда оптимальный фильтр принимает вид некоторого линейного преобразования измерения. Такой подход бу дет исследован подробнее в гл. 8.
В заключение заметим, что оценка x(t\t) |
однозначна, |
что следует из однозначности оценки x(k -f- 1 | k -J- 1).
Пример 7-1. Предположим, что сообщения, передаваемые по
каналу связи, являются выборочными функциями скалярного слу чайного процесса, который описывается дифференциальным урав нением
x=—ax+w(t)
для t^O, где а = const > 0, х (0)—-гауссовская случайная величина
с нулевым средним и дисперсией а2, = const > 0 , a {w(t), |
t^O} — |
||||||
—гауссовский |
белый шум, независимый от х (0), с нулевым |
средним |
|||||
и дисперсией |
а2 |
= const > 0. |
|
|
|
||
Предположим, что принимаемый сигнал имеет вид: |
|
||||||
|
|
|
|
z(t)=x(t)+u(t), |
|
|
|
где {»(<), t? |
0} —гауссовский |
белый шум с нулевым |
средним и дис |
||||
персией |
o2 =const>0, |
независимый от х (0) и {w (t), |
t^-Q). |
Физи |
|||
чески |
процесс |
[v(t), |
t^O) |
вызывается ошибками и |
шумами |
||
в передатчике и атмосферными |
возмущениями. |
|
|
||||
Задача заключается в определении характеристик приемника, который обеспечит наилучшее выделение сигнала из шума. Полагая, что под наилучшим здесь подразумевается способ, минимизирующий математическое ожидание любой допустимой функции потерь от
ошибки |
x(t\t)=x(t)—x(t\t), |
получаем |
решение задачи |
в виде |
тео |
||
ремы 7-1. |
|
|
|
|
|
|
|
Для |
этой задачи |
F(t) = |
—a, |
G (i) = H {t) = 1, |
Р (0) = |
о 2 , |
|
Q(t) = |
о 2 , R (0 а2 для всех |
t > |
t, |
= 0. |
|
|
|
Уравнение (7-9) для дисперсии ошибки фильтрации здесь примет
вид
при начальном условии о2, . Это уравнение можно решить методом
разделения |
переменных: |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dP |
|
|
|
|
|
|
|
Я2 + 2 7 а 2 р _ 0 2 а 2w |
уравнения Р2 + |
||||
Обозначая |
|
через |
р, |
и р2 |
корни квадратного |
||||
2 |
|
2 |
0 |
22 |
получаем: |
|
|
||
+ 2 а а |
Р — о Vа w = 0, |
|
|
||||||
|
|
dP |
|
|
rfP rfP Р -, |
|
.2 Л , |
||
(/ : > — |
Рі) |
(Р— Ps) |
Pi — Рг |
• Рг |
~ |
||||
292
где
Рі.г =
Так как
|
|
Pi — Рг |
|
|
|
W |
о |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dP |
|
|
dP |
= — |
2 | / |
а 2 |
-1 |
~ dt. |
|
|
|
|
|
|||||
Обозначая |
fj. = |
у |
а2 |
+ |
о^/о^, |
получаом: |
|
||
|
|
|
P(f І О - Р : |
|
|
|
|
||
|
|
|
Я |
(M |
О - і |
|
|
|
|
где а — постоянная |
интегрирования. |
|
|
|
|||||
Используя |
устовие |
Я |
(0 |
] 0) = |
Я ( 0 ) |
= |
з2 ,, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
°о |
—Рі |
|
|
|
|
|
|
|
|
° 0 |
— Ра |
|
|
|
Тогда дисперсия ошизки фильтрации имет вид:
я (t |о = Pl — P2«g"-2ц<
для ? Зг 0.
Из уравнений (7-7) и (7-8) имеем:
А( 0 = - Т / > ( М 0 ;
Я= — діс + Л; (0 [г (0 — х].
ДЛЯ достаточно больших t
P(t I о-р,= |
, 2 . |
|
/
Следовательно, в установившемся состояний оптимальный при» емник является стационарной линейной системой вида
-ах + z ( 0 + |
]/«2 + |
x = — jj-x + — |
z (t). |
Структурная схема этого фильтра изображена на рис. 7-2. Оптимальный приемник здесь имеет внутреннее ограничение по
точности, которое определяется значением рі.
z(t)
|
Рис. |
7-2. |
Оптимальный фильтр |
из примера |
7-1. |
|
|
||||||
В частных случаях можно показать: |
|
|
|
|
|||||||||
1) |
если |
я 2 > < з 2 / а 2 |
, |
то |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
а V1 |
|
|
а 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
• а + |
+ |
|
|
|
|
|
|||
2) |
если |
а 2 ^ а ^ / 0 2 , |
|
то |
р , ^ |
0 , 4 1 4 а 2 ; |
|
|
|
|
|||
3) |
если |
а2 < |
а 2 ' а 2 |
, |
то |
р, =Ï= О Л . |
|
|
|
|
|
||
|
Оптимальное |
|
предсказание |
|
|
|
|
|
|||||
Для |
некоторого фиксированного U^t0 |
|
рассмотрим |
||||||||||
задачу определения оптимального предсказания |
x(t\t{), |
||||||||||||
l^ti |
состояния x(t). |
|
Решение |
этой |
задачи |
приводится |
|||||||
ниже. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
7-2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
При |
известной |
текущей оценке |
x(tt\ti) |
для |
неко |
|||||||
торого ti^t0 |
|
оптимальное |
предсказание |
удовлетворяет |
|||||||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* С1'.) = |
^ |
К ) |
|
|
(7-22) |
||||
для всех |
ts^t1 |
с начальным |
условием |
х(^| £ , ) . |
|
||||||||
294