шение уравнения можно записать в виде
л (ф) = ЧГ (t, tQ) x (t01 Q+ f 47 (t, x) [G (x) a, (x) -
h
- / Ç ( x ) o ( x ) ] d T .
Далее
|
P(t\t) |
= E [x(t\t)x'{t\t)} |
= |
|
= |
¥('. t0)E[x(t0\ta)x'(t0\t0)]W'(t, |
g |
+ |
+ |
£ J Ç ЧГ (f, |
x) [G (x) ш (x) - К (x) о (x)] |
dxX |
|
u0 |
|
|
|
где взаимная корреляция элементов случайного вектора
x(t0\t0) |
|
и случайных |
процессов {w(i), |
t^O} |
и |
{v(t), |
t^U) |
отсутствует, |
поскольку x(t0\l0) |
=x(t0) |
не |
зависит |
от этих двух процессов. |
|
|
|
|
|
|
Вспоминая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
E[x(to\to)x'(to\to)] |
= P(to); |
E[w(t)w'(x)] |
|
= Q(t)à{t |
|
т); |
E [v (t) v'(x)] = R(t) |
ô (t-x) |
; E [w (t) v' (x)] = S(t) ô |
(t—x), |
можно привести уравнение (8-47) к виду |
|
|
|
|
|
|
P(t\t) |
= |
w(t, |
t0)P(t0)W(t, |
о |
+ |
|
|
|
|
+ |
f W (t, x) [G (x) Q (x) G' (x) - f К (x) /? (x) /С' (x) |
- |
|
- |
G (x) S (x) |
(x) - К (x) S' (x) G' (x)] 47' (f, |
x) G?X |
(8-48) |
для г1 |
г? г0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (8-48) |
описывает корреляционную |
матри |
цу ошибки фильтрации для фильтра с произвольной матрицей передачи. Однако для матрицы передачи опти мального фильтра К{х)=[Р{х\х)Н'(х) + 0(х)8{х)№-*(г)
оно является интегральным уравнением относительно
матрицы |
P{t\t) и поэтому применять |
его для вычисле |
ния P(t\t) |
нецелесообразно. |
уравнение (8-48) |
Более |
логично попытаться свести |
к дифференциальному уравнению, дифференцируя ег о
Решение уравнения (8-50) при начальном условии P{to\to)=P{to) представляет собой корреляционную матрицу ошибки фильтрации для фильтра (8-35). Под черкнем, что уравнение (8-50) справедливо для матрицы передачи любого фильтра. Если же используется опти мальная матрица К ( 1 ) , то уравнение (8-50) можно упро стить следующим образом. Раскрывая скобки и группи руя члены, можно записать уравнение в виде
|
|
|
|
|
|
|
P—F |
(t) P—K(t) |
H (t) P + PF' (t) —PH' (t) К' (t) + |
+ K(t)R(t)K/{t)-G(t)S(t)K'(t)-K(t)S'{t)G'(t) |
|
+ |
+ G(t)Q(t) |
G'(t)=F{t)P |
+ PF'{t)-K(t){PH'{t) |
+ |
+ |
G(t)S(t)]'-{PH'(t)+G(t)S(t)]K'(t) |
+ |
|
|
+ |
|
K(t)R(t)K'(t)+G(t)Q(t)G'{t). |
|
Подставляя |
в |
это уравнение |
K{t) —[P(t\t)H'(t) |
+ |
+ G{t)S{t)]R-i{t), |
|
получаем: |
|
|
P = F{t)P |
+ PF'{t)—[PH'{t) |
+ |
G{t)S(t)]R-i{t)x |
|
X[PH' |
(t) + G (0 S (t)]' + G(t) Q (t) G' (t). |
|
Так как матрица P неизвестна, более удобно пред ставить это уравнение в следующем виде:
|
P=[F(t)-G(t)S(t)R-Ht)H(t)]P |
+ |
+ |
P[F(t)-G(t)S(t)R-i(t)H(t)]'-PH'(t)R-i(t)X |
XHWP+GitttQW-S^R-iWS'itWit), |
(8-51) |
где t^to, |
а начальное условие P{U\to) |
=P(U). |
Выводы
Сформулируем результаты параграфа в виде сле дующей теоремы.
Теорема 8-2.
1) |
Оптимальный |
непрерывный |
фильтр |
для |
случая, |
когда |
гауссовские |
белые |
шумы |
коррелированы |
и |
E[w(t)v' |
{r)] = S (t) Ь (t—т), |
описывается |
уравнением |
|
|
x = F (0 x + К (t) [z (t) - |
H (0 Je] |
(8-52) |
для t~~~ |
ta, где x=x(t\t), |
при |
начальном |
условии |
x(tü\t0)—Q\ |
матрица |
передачи фильтра |
размера |
пХп |
определяется с помощью |
соотношения |
K(t)=[P(t\t)H'(t) |
+ G(t)S(t)] |
где |
P(t\t) |
— корреляционная |
|
матрица |
размера |
пхп |
ошибки |
фильтрации |
x(t\t) |
=x(t)—x(t\t), |
|
t^t 0 . |
гаус |
|
2) |
Случайный |
процесс |
{x(t\t), |
t^U} |
является |
совским |
марковским |
процессом |
с |
нулевым |
средним и |
корреляционной |
матрицей, |
удовлетворяющей |
матрично |
му |
дифференциальному |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
P = |
[F(i)-G{t)S(f)R-*(f)H(t)]P |
|
|
+ |
|
P[F(t)- |
|
- |
G (О S (t) Z?"1 |
(О Я (О]' - |
PH' (О R-1 |
(t) H (t) P |
+ |
|
|
|
+ G (t) [Q (0 — S (t) R-1 |
(t) S' {t)) G' (t) |
(8-54) |
для |
t^to, |
где P = P(t\t), |
при |
|
|
P(t0\k)=P(to)=E[x(t0)X |
Xx'{U)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая эти |
результаты |
с |
результатами, получен |
ными в теореме 7-1, можно убедиться, что уравнение
фильтра имеет одинаковый |
Вид вне зависимости |
от того, |
являются |
процессы |
{w(t), |
t^U) |
и {v(t), |
t~^t0} |
независи |
мыми или нет, но выражения |
для |
матрицы |
передачи |
различаются. Однако |
если эти два процесса |
независимы, |
т. е. S(t)—0 |
для t^t 0 , |
то |
приведенные |
здесь |
результа |
ты |
сводятся |
к результатам |
теоремы |
7-1, как и следовало |
ожидать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8-1. Пусть вектор |
возмущения |
системы |
w(t) |
и вектор |
ошибки |
измерения v(t) |
имеют |
одинаковое |
число компонент |
р=т |
и гауссовский белый шум, являющийся возмущением |
|
системы, |
так |
же искажает измерения. Это означает, |
что три рассматриваемые |
корреляционные |
матрицы |
равны, т. е. |
Q(t)=R(t)=S(t) |
|
|
для |
всех |
i^-U |
(все матрицы размера тхт). |
Предположим, |
|
что |
матрица |
Q(t) |
положительно определена для всех t^tf,. |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
сразу следует, что |
S(t)R-i(t)—Q(t)Q-l(t)=I, |
|
|
единич |
ная |
матрица |
размера тхт, |
a Q(t)—S(t)R-i(t)S(t) |
= Q(l)— |
Q{t) = 0, |
нулевая |
матрица размера |
тхт. |
В |
этом случае |
матрица |
передачи |
фильтра |
равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K(l)=P(t\t)H'(t)Q-i(t) |
|
+ |
G(t), |
|
|
|
|
|
и уравнение (8-54) для корреляционной матрицы |
ошибки фильтра |
ции принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
P = [F (0 - G (0 |
H |
(t)] P + |
P\F(t)-G |
(t) |
H (t)]' |
- |
— PH' |
(t)Q-1 |
{t) H (t)P. |
|
|
|
В качестве частного |
случая рассмотрим |
скалярную |
стационар |
ную систему
z(t)=x(t)+w(t)
