на интервале ^ о ^ т ^ ; / , т. е. чтобы выражение |
в скобках |
в уравнении (8-31) было тождественно равно |
нулю на |
интервале интегрирования. |
|
Можно также показать, что уравнение (8-32) пред ставляет собой необходимое условие того, что удовле творяется уравнение (8-31). Пусть B(t, т) означает вы ражение в скобках в уравнении (8-31). Тогда если мат рица A(t, т) удовлетворяет уравнению Винера — Хопфа (8-19), то ему удовлетворяет и матрица A(t, x)+B(t, x). Это значит, что векторы
|
|
t |
|
|
x(t\t) = |
^A(t, |
z)z(z)dz |
и |
|
to |
|
t |
|
|
|
|
|
x*(t\t) |
= ^\A(t, |
i) + |
B(t, T)]z(x)rfx = |
|
h |
t |
|
|
|
|
= |
X(t\t)+ |
Jß(f, |
t)z(x)d-z |
|
|
to |
|
являются оптимальными |
оценками состояния x(t). Од |
нако согласно лемме 8-1 корреляционная матрица раз
ности |
этих |
двух оценок должна обращаться в нуль, т. е. |
|
Е {\х* (t |0 - x (t\ 01 [x* (t\t)-x{t\ |
t)} '} = 0. |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
f [B(f, т1 )Я[г(х,)г'(х2 )]й'(^ |
т 2 )сМт 2 = |
0. |
(8-33) |
|
to to |
|
|
|
|
|
|
|
Однако |
|
|
|
|
|
|
|
|
E [z (т,) z' ( T , ) ] = H (x,) E [x (z,) |
x' ( T , ) ] H' ( T , ) |
+ |
|
|
+ H (x,) E [x (x,) V' K ) ] + |
£ [o (T,) |
(X2)1 Я ' (x2) |
+ |
|
|
+ /?(x1 )8(xI -x2 ). |
|
|
(8-34) |
Первые |
три слагаемые |
в |
правой |
части |
уравнения |
(8-34) |
после подстановки |
(8-34) в |
уравнение |
(8-33) да |
дут |
неотрицательный |
вклад в интеграл, а четвертое сла |
гаемое |
даст положительный вклад, поскольку матрица |
R(xi) |
|
положительно |
определена. Следовательно, для |
того чтобы уравнение (8-33) удовлетворялось, необхо димо выполнение равенства B(t, т ) = 0 для t 0 ^ x ^ t .
Возвращаясь |
к уравнению |
фильтра (8-3) |
при ti = t |
и дифференцируя его почленно по /, имеем: |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x(t\t)=yAft |
т ) |
z{z)dz |
+ |
A(t, |
t)z{t). |
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
Однако |
согласно |
уравнению (8-32) |
|
|
|
|
д А § т). =F{t)A{t, |
z)~A{t, |
t)H(t)A(t, |
z). |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x(t\t)=\ |
\F (t) A (t, T) — A (t, |
t) H (t) A (t, |
x)] z ( T ) ; < / T + |
- f A (t, t) z(t) = F (t) j<0A (t, z) z (x) dz - f t
z(t) — H (0 J A {t, z) z (x) dz
= F(t)x{t\t) |
+ A (t, t) [z (t) |
-H{t)x(t\t)}. |
Полагая К (t) = A(t, t), окончательно имеем:
|
x = F(t)x + |
K(t)lz{t)-H(t)x] |
(8-35) |
для t>t0, |
где x — x(t\t). |
Уравнение |
(8-35) является |
описанием фильтра. Осталось установить начальные условия и выражение для матрицы передачи K(t) раз мера пХт. Ясно, что начальное условие имеет вид:
£ ( f 0 | O = p 4 ( f 0 , |
z)z(z)dz |
to
или, что то же самое,
|
x(t0\t0) |
= 0. |
|
|
Матрица передачи |
|
|
|
Рассмотрим |
уравнение |
Винера — Хопфа |
для a = t |
|
t |
z)E[z(z)z'(t)\dz |
= |
|
E{x(t)z'(t)}~ |
\A(t, |
0. (8-36) |
t'o
Ясно, Ч Т О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
(x (t) z' (/)] = |
Е{х |
(t) [H (i) x(t)+v |
(t)}'} |
= |
|
|
|
= |
E[x |
(0 x' (t)] Я ' (t) + |
E[x (t) и' (t)]. |
|
(8-37) |
Согласно уравнению (6-24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
хЦ)—Ф (/, |
t0) x (/„) - f |
f Ф (/, |
T) G (T) W ( T ) dx, |
|
и отсюда |
следует, что |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
[x (t) V' (t)] = |
Ç Ф (t, |
x) G (x) Я [w (x) y' (0] dx, |
(8-38) |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
так как x(/0 ) не зависит от [v(t), |
t^U}. |
|
|
|
|
Однако |
E[w{x)v'{t)} |
= |
|
S{t)b{t—г.), |
|
|
|
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ [*(0y'(0 ] = G(0S(0. |
|
|
(8-39) |
Уравнение (8-37) теперь принимает вид: |
|
|
|
E[x(t) |
z'(t)} |
= E[x (t) x'{t)W |
(t) + |
G (t)S{t). |
|
(8-40) |
Кроме |
того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E [z (x) z' (t)} = |
E{z |
(x) [H (t) x(t) |
+ |
v {t)]'} |
= |
|
= Е[г(х)х' |
(t)} H' (t) + |
E[z |
(x) V' (01 = |
E [z (x) x' (t)) H' (t) + |
+ |
E {{H(x) |
X (X) - f |
0 (x)] |
V' (t)} = |
E[z |
(x) x' |
(t)} H' (t) |
+ |
|
|
-f- Я (x) £ |
(x) t-' (0] + |
Я (f) 8 (f - |
x). |
|
(8-41) |
Подставляя в (8-36) уравнения (8-40) |
и (8-41), |
полу |
чаем: |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E [x (t) x' (t)} H'(t) + G (t) S (t) - |
J A (t, |
x) E [z (x) X |
|
|
|
|
|
t |
|
|
to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
x' (t)} H'{t)dx- |
|
^A(t, |
x) Я (x) £ |
[JC (x) V' (f)] |
dx — |
|
|
|
t |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
-^A{t,x)R |
|
(08{t - |
0. |
(8-42) |
Ясно, что четвертое слагаемое в левой части обра щается в нуль, поскольку подынтегральное выражение
равно нулю почти на всем интервале [t0, / ] . Это является следствием равенства
|
E[x(x)v'{t)h |
0; |
/=jfcT, |
|
G(t)S(t); |
г = т, |
|
|
которое легко получить из уравнений (8-38) и (8-39). Кроме того,
x)R(t)b(t-x)dx |
= A{t, f)R{t) = |
K{t)R{t). |
to
Поэтому уравнение (8-42) можно представить в виде
|
К (0 R{t) |
= E [x (t) x' |
(t)] H'(t) |
— |
|
- |
t |
x)E[z(x)x'(t)]dxH'{t) |
|
+ |
G{t)S(t)= |
<JA{I, |
|
= E |
\ x(t)- |
^A(t, |
x)z{x)dx |
x'(t) |
І Я ' ( / ) |
+ |
|
IL |
h |
|
|
|
|
|
|
-j-G(t)S(t)=E[x(t\t) |
|
x' (/)] H' (t) -f- |
G(t)S(t). |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x{t)=x(t\t) |
+ |
x(t\t), |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
E[x(t\ |
t)x' (0] = |
E{x(t |
|0 |
(t |0 + л(/101 '} |
= |
|
= |
|
|0 x'(t\t)] |
= |
P(t\t), |
|
где Р ( / 1 0 — корреляционная матрица ошибки фильтрации,
а слагаемое E [x (t\t) x' (t\t)] обращается в нуль в силу следствия 8-1.
Теперь
K(t)R(t)=P(t\t)H'(t) |
+ |
G(t)S(t). |
Решая это уравнение относительно K{t), получаем:
К (t) ={Р (t 11) Я ' (t)+G(t)S (t)] R-1 (t) |
(8-43) |
для t^to. Для вычисления матрицы передачи оптималь ного фильтра необходимо, чтобы матрица R(t) была положительно определена. Однако читатель должен
иметь ввиду, |
что без положительной определенности R |
(t) |
невозможно |
также |
доказать |
необходимость |
уравнения |
(8-30) при выводе уравнения фильтра. |
|
|
|
|
|
Напомним, |
что |
уравнение |
Винера — Хопфа |
при |
вы |
воде уравнения фильтра |
решалось |
на интервале |
to^<y<t. |
Случай |
a=t |
|
рассматривался |
только |
для |
вычисления |
матрицы |
передачи |
фильтра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Корреляционная |
|
матрица |
ошибки |
фильтрации |
|
|
Ошибка фильтрации и скорость ее изменения со |
ставляют |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(f\t) |
= x(t)-x(t\t); |
|
|
|
(8-44) |
|
|
|
|
x(t\f) |
= |
x(f)—x(t}t). |
|
|
|
(8-45) |
Подставляя уравнения (7-1), (7-2) и (8-35) в урав |
нение (8-45), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
F{t)x |
+ |
G{t)w{t)-F{fi'x |
— K (0 [2 {t) - |
H |
{t)x] |
= |
= |
F(t)x |
+ |
G(t)w |
{t) - |
|
К (t) [H (t)x-r-v |
(t) - |
H (t) x] |
= |
|
= |
[F(f) - K(t)H(t)}x |
+ |
G(t)w(f) |
— K(t)V(0 |
(8-46) |
для |
t^to. |
Согласно |
уравнению |
(8-44) |
x(to\to) |
= |
x(ta)— |
—x(to\to) |
=x(tQ). |
Следовательно, |
x(t0\t0)—случайный |
гауссовский n-вектор с нулевым средним и корреляцион ной матрицей
P(t0\t0)=E[S{t0\to)S,(to\to)] |
= E[x(t0)x'(t0)] |
= P(t0). |
Так как процессы {w(t), |
t^t0} |
и {v(t), |
t^U) |
пред |
ставляют собой гауссовские белые шумы |
с нулевыми |
математическими ожиданиями, то |
из § 4-3 |
следует, что |
случайный процесс, описываемый уравнением (8-46), является гауссовским марковским процессом с нулевым средним. Следовательно, этот процесс полностью харак теризуется своей корреляционной матрицей, для кото рой здесь будет получено матричное дифференциальное уравнение.
Пусть Х Р(^, т) означает переходную матрицу состоя ния системы (8-46), a C(t) =F(t)—K{t)H(t). Тогда ре-
