Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 293
Скачиваний: 1
Вычитая почленно из уравнения (8-15) уравнение (8-16), получаем:
|
|
£ { * ( М О І * ( М О - 2 * ( ' , і О ] ' } = = 0 - |
|
|
|
(8-17) |
|||||||||
Точно |
таким |
же |
|
|
образом |
получим |
|
соотношения |
|||||||
E [x* (t, I t) x' |
(t, 101 — 0 |
и |
E [x* (t, |
I t)x*' |
(t, \ f)\= |
0, |
так |
что |
|||||||
|
E {x* (tt \t)(x{tt\ |
|
t) -x* |
{t, \ t)}'} |
= 0. |
|
|
(8-18) |
|||||||
Вычитая |
почленно |
из уравнения (8-18) уравнение |
(8-17), |
||||||||||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е {[**(*, 10- |
x |
|
| 0] |
(f, \t)-x* |
(t, |
1 01} = |
0. |
|
|||||||
Ho x* |
{t1 |
\ f)—x(tt\t) |
|
= |
x (t, 11) ~ Jc*(f, 10. |
откуда |
сразу |
||||||||
следует утверждение |
леммы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8-2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решим |
уравнение |
Винера — Хопфа |
при |
t\ = t, |
т, |
е. |
|||||||||
для задачи |
оптимальной |
фильтрации, |
где |
(x(t), |
t^U} |
— |
|||||||||
гауссовский марковский процесс, описываемый уравне нием (7-1). Здесь предполагается в отличие от постанов
ки задачи § 7-1 и |
задачи |
оптимальной фильтрации |
|
в § 7-3, что процессы |
|
|
|
{w(t), |
t^Q |
и |
{v(t), |
коррелированы, и их взаимная матричная корреляцион ная функция имеет вид
E[w(:t)v'(x)]=S(t)ö(t-x)
для всех t, x^to, |
где S(t)—непрерывная |
матрица |
раз |
||
мера |
рХт. |
|
|
|
|
Уравнение Винера — Хопфа |
для, оптимальной |
филь |
|||
трации |
в случае, |
когда S(t)=0, |
было |
решено Калманом |
|
и Бьюси (Л. 8-1]. Решение в настоящей главе отличается от их решения только несущественными деталями.
Алгоритм оптимальной фильтрации, излагаемый ни же, обычно называют фильтром Калмана — Бьюси.
Фильтр |
|
|
|
|
Рассмотрим уравнение |
Винера —Хопфа |
на |
интер |
|
вале tQ^a<t, где ti = t: |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
E [x (0 z'(p)]-JA |
{t, |
z) E[z(z) z' (o)] dx = |
0. |
(8-19) |
22—85 |
|
|
|
337 |
t^t0}. Во втором слагаемом Е [w (t) w'(х)] = Q (t) à (t—т.). Однако поскольку t находится вне интервала интегри рования, это слагаемое также обращается в нуль. Сле довательно,
для |
|
tQ^a<t. |
E[w{t)x'(ü)] |
= 0 |
|
|
|
|
|
(8-25) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(8-23), по |
|||||
|
Подставляя этот результат в уравнение |
||||||||||||
лучаем: |
|
Я ( ш ( 0 г , ( о ) 1 = 0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
для |
t0^a<t. |
Следовательно, |
последнее слагаемое |
в вы |
|||||||||
ражении (8-20) равно нулю, и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
-^Е[х |
(0 г' |
(,)] = F(t)E |
[x (t) z' |
(з)] |
|
|
(8-26) |
||||
для |
t0<^a<t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим второе слагаемое в правой части урав |
||||||||||||
нения |
(8-21). Используя уравнение (7-2), |
получаем: |
|||||||||||
|
|
Е [z (0 z' (,)] = £ {[Я (0 x(t) |
+ |
o (01 z' Щ |
|
= |
|
||||||
|
|
|
= Я (0 Я [х (0 г' (?)] - f Е [и (0 z' |
(з)]. |
|
(8-27) |
|||||||
|
Из |
уравнения (8-22) следует, что |
|
|
|
|
|
||||||
|
Е [V (0 z' (з)] = |
Е[ѵ (0 x' (-,)] Я ' (о) + |
£ [у (0 о' (01. |
(8-28) |
|||||||||
|
Так |
как з < < / , |
то Е [ѵ (t) ѵ' (з)] = |
0. |
|
|
|
|
|
||||
|
Используя уравнение (8-24), получаем: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Е [V (t) X' (з)] = |
£ [о (0 X ' (f.)] Ф' (a, |
f0) - f |
|
|
|||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
f £ [у (0 te»' (x)] G' (т) Ф' (з, |
т) d |
t . |
|
|
|
|||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое слагаемое в правой части этого соотношения |
|||||||||||||
обращается |
в нуль, поскольку |
x(U) |
не зависит |
от |
{v(t), |
||||||||
i^to). |
Хотя |
E[u(t)w'(x)] |
= S(t)ô(t—т.), |
второе |
|
слагаемое |
|||||||
также |
обращается в нуль, так как t |
находится вне ин |
|||||||||||
тервала интегрирования. Следовательно, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
E\[v(t)xf(a)] |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
||
для |
to^a<t. |
В результате уравнение |
(8-28) |
приводится |
|||||||||
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ И 0 2 ' ( а ) ] = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
22* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
339 |
|