Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

P(t1\t)

= — A (t, t) H (t) E [x(t 11) x' (t,)}.

(8-83)

Для t^iti

ошибку фильтрации

можно выразить в виде

t

x(t\{)

=

W (t, t,) Х ( і г

+

(t, x) [G (x) W (x)

-

t,

-

К (x) ü (x)] dx,

(8-84)

где

Ч*(і, x)—переходная

матрица

состояния

системы

x = [F(t) — К {t) H {t)} x.

(8-85)

Используя уравнение (8-84), получаем:

E[x(t\

t) x' (t,)} =

W(t,tt)E [x{t,

I g x'

&)]

+

t

x) {G (x) £ [да (x) x' (t,)} -

Л" (T) E [V (x)

&)]} dz.

+

\4(t,

h

Однако оба математических ожидания под интегралом

в правой

части

равны

нулю в

силу уравнений

(8-25),

(8-39) и условия

S (0 =

0.

По определению

ошибки

филь­

трации

x (/,) = х

(tj I /,) -f-x (t111,).

Поэтому

следствие

8-1 приводит к результату

E[x(t\

t) x' (/,)] = W (t, ІЛ E fx (t, \t,)[~x (f, | g

+

+

x{ßl\tl)]'}

= 4r(t,t1)P(tl\t1).

(8-86)

Сравнивая уравнение (8-85) с уравнением, получен­

ным

транспонированием

матриц

в обеих

частях

(8-75),

можно

увидеть,

что оба они имеют

одну

и ту же

пере­

ходную матрицу состояния или фундаментальную

мат­

рицу,

а именно

^(t,

х).

Согласно

уравнению

(8-76)

Я * ' ( * І ) = Я ( * І | * І ) и

B*'(t)=W(t,

и)Р(Щи).

(8-87)

W

РЦг\()

= — А (t, t) H (О В*' (t)

(8-88)

для

t^sti.

Начальное

условие для уравнения

(8-88), оче­

видно, имеет вид:

P(ti\ti) =E[x(ti\tt)x'(ti\til)l

(8-89)

Его можно получить, решая уравнение

(8-54)

для

/=і/'і при условии S(t)

=0.

Три разные формы уравнения (8-88) можно сразу

получить

'из соотношений между

матрицами

A(t,

t),

B*(t)

и

B(t).

Подстановка уравнения (8-77) в уравнение

(8-88)

дает:

P (t, \t) = -

В* (0 H' (t) R -1

(t) H (t) В*' (t).

(8-90)

P{t1\f) =

-B(t)P(t\t)H'(f)R-4f)H(t)X

XP(t\t)B'(t)^-B

(t) К {t) R (0 К' (t) В' (t), (8-91)

P(tt\t)=-A

{t, t) R (t) A' {t, t).

(8-92)

Случайный процесс

{x(ti\t),

t^ti),

описываемый

x (M 0 = * С. I ti) - f А

W (х) * СФ) + о Wl dz,

где (х(т(т),

х^ііі}

— гауссовский

марковский

процесс

с нулевым

средним, a {ѵ(х), х^іі)

— гауссовский

белый

шум с нулевым

средним.

Обращаясь

к вопросу о вычислении матриц A [t,

t) и

P(ti\t), заметим,

что для этой цели

предпочтительно

ис­

уравнений (8-79), (8-81) и

(8-91). Причина заключается

в том, что в этих уравнениях требуется обращать

раз­

личные

матрицы. Точнее,

в уравнении (8-81) для

вы­

числения

В (it) требуется

обратить матрицу P(t\t).

Но

для

t~^t\

при условии

B*(ti)=P(ti\ii).

Здесь K(t) =

= P(t\i)H'(t)R-i(t)

—матрица

передачи

оптимального

фильтра.

3) Случайный

процесс

{x(t\\t),

t^ti)—

гауссовский

марковский

процесс второго

порядка

с нулевым

средним

и корреляционной

матрицей,

удовлетворяющей

матрич­

ному дифференциальному

уравнению

P (f, 10 =

-

A{t,t)R

{t) A' {t, t),

(8-96)

для

t^ti

при

начальном

условии

вида

P(U\ti)

=

= E[x{ti\ti)x'(h\ti)],

т. е. равном

корреляционной

матри­

це

ошибки

оптимальной

фильтрации

в момент

ti.

Проиллюстрируем использование

приведенных

здесь

результатов на

следующем

простом

примере,

при іо =

=—оо и

ігі = 0.

Другими

словами,

здесь

сглаживание

мальный фильтр, служащий для расчета x(t\t),

достиг

установившегося состояния.

Пример 8-2. Рассмотрим систему

x = ax+w(t) ;

z(t)=x(t)+v(t),

(8-97)

где

а—действительная

скалярная величина;

{w(t),

— о о } и

{v(t),

t~^.—оо}—скалярные

гауссовские белые

шумы с

нулевыми

Р=2аР—Р2+1,

где P—P(t\t).

Установившееся

решение получим,

подставляя сюда

Р = 0 :

Vât+l.

P(t\t)=a+

Так как H(t) = l и R-X(t) = l, отсюда следует,

что

K{t)=P(t\t).

Теперь рассмотрим сглаживание в закрепленной точке

для че­

тырех случаев, различающихся в зависимости

от параметра

системы

а при *5?іі=0 .

1. а>0 при | а | < 1 . В этом

случае система (8-97)

неустойчива.

Здесь

F{t)—K{t)H(t)=a

— a — Ѵаг+

1 я- — 1 ;

р (О I 0) = а + Ѵаг + 1 ^ 1.

Уравнение

(8-95) принимает вид

В*-.—В*,