Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

общностью, какой обладает класс критериев Качества, рассмотренный в задачах оценки, он имеет ряд особен­ ностей, делающих его полезным для приложений. Эта задача в случае как дискретного, так и непрерывного времени называется задачей стохастического линейного

могут быть точно измерены. Решение детерминированной задачи рассматривается здесь по двум причинам: во-пер­ вых, в качестве относительно простого введения в мето­ дику, используемую в дальнейшем при решении стохасти­ ческой задачи, и, во-вторых, с целью получить важный результат, играющий существенную роль при интерпре­ тации решения этой задачи.

Задача дискретного стохастического линейного регу­

оптимального управления состоит из последовательно соединенных оптимального фильтра и детерминирован­ ного оптимального регулятора, рассмотренного в § 9-2. Этот результат схематически изображен на рис. 9-1.

9-1. ФОРМУЛИРОВКА З А Д А Ч И

Модель системы

Рассматриваемая здесь модель системы описывает­ ся соотношениями

белая последовательность, независимая от х(0), с нуле­ вым средним и неотрицательно определенной корреля­

370

вида (9-3) накладывает на задачу весьма существенные ограничения. Одной из причин такого выбора является то, что в теории стохастического управления нет общего результата, аналогичного результату Шермана (теорема

квадратичной формы от векторов состояния и управле­ ния. Поскольку речь идет о случайном процессе, исполь­ зуется операция математического ожидания. Следова­ тельно, как и в задаче оценки, здесь оценивается каче­ ство ансамбля систем. Для того чтобы учесть поведение как вектора состояния, так и вектора управления на рассматриваемом интервале времени, квадратичные фор­ мы от этих двух векторов суммируются. Значения ин­ дексов выбираются таким образом, чтобы в JN вошли только поддающиеся изменению векторы состояния и только те векторы управления, которые могут их изме­

вида «ошибка системы плюс управляющее усилие». Эта интерпретация следует из квадратичности критерия, по­

ся, что желаемое состояние системы — нулевое, т. е. на­ чало координат n-мерного евклидова пространства, так как если х(і)=0, і = 1 , 2,.,..,N, то вклад этого слагаемо­ го в JN равен нулю при любом А(і). Если в каждый мо-

мент времени і желаемое состояние системы представ­

Для удобства предположим, что при любом і желаемое состояние xd(i)=0. Заметим, что в силу квадратичности этого члена мерой ошибки здесь является квадрат ошиб­ ки или, в более общем случае, взвешенный квадрат ошибки, поскольку имеется свобода в выборе матрицы

Mi)- Обычно матрицы А(і) выбирают диагональными. Например, в системе второго порядка первое слагаемое в правой части уравнения (9-3) обычно имеет вид:

и суммирование проводится по і, то оно характеризует меру «интенсивности» управления, которое является входным сигналом системы. Эту интенсивность обычно называют управляющим усилием или энергией управле­ ния. Последнее название возникло вследствие квадра­ тичного характера этого слагаемого. Как и в случае первого слагаемого, говорят о «взвешенном управляю­ щем усилии» 'по причине произвола при выборе элемен­

Рассматривая сумму этих двух слагаемых, можно видеть, что JN представляет собой компромиссный кри­ терий качества между ошибкой системы и управляющим усилием. Относительная важность этих двух членов вы­ ражается выбором матриц А(і) и В(і—1). Однако неза­ висимо от этого выбора заметим, что JN назначает штраф как за чрезмзрные ошибки, так и за излишнее управление. Поскольку JN является монотонно неубы­ вающей функцией как х, так и и, требуется выбрать по­ следовательность управления {и(і—1), і=1, 2, ...,№}, минимизирующую JN.

372