Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

2. а > 0 при

| а | > 1 . Здесь / > ( ф ) « 2 а и

K(t)~2a,

так что

F(t)—K(t)H{t)=—а.

Следовательно,

В* = —аВ*,

что дает

B*(t)=2ae-at;

f2?0,

8-7. Пусть

матрица передачи фильтра определена в предполо­

жении, что S 0

= 0 , т. е. с помощью соотношений

K(t)=P(t\t)H'(t)R-i(l);

P = F(t)P

+ PF'(t)—PH'(t)R-4t)H(t)P

+

G(t)Q(t)G'(t)

для t^to, где

P=P(t\t)

и P(ta\ta)<=P(h)

и

пусть матрица S(t)

нение следует в этом случае решить, чтобы

определить

истинную

корреляционную

матрицу

ошибки фильтрации?

8-8.

Если

матрица R(t)

неотрицательно

определена для всех

t^to,

будет ли уравнение

дА (t

і)

F(t)A(t,

х ) _

±~1~-A(t,

t)H(t)A(t,

x)

= 0

при t0 <

x < t

эквивалентным

уравнению

t

дА

it

і\

X

F(t)A(t,

x ) -

± - L - A ( t , t)H{t)A{t,

x)

XE[z

(x) z'

(a)] c?x =

0

при

to^o<.t?

Исследовать этот

же вопрос

в случае,

когда

матрица

Q(t)

положительно

определена

для t^t0,

а

матрица

R(t)

неотри­

цательно

определена.

8-9.

Рассмотреть

скалярную

систему

x =

m(t),

z(t)=x(t)+v(t)

для

t^O,

где

Q(0=9/4;

R{t) = l;

S(0 = 1/2,

/>(*<>) =28,

деленной по гауссовскому закону с нулевым математическим

ожи­

данием и дисперсией

"g = const

0.

Частицу

ускоряет

случайная сила,

имеющая

вид гауссовского

белого

шума {w(t),

t^-.O}

с

нулевым

средним и дисперсией з^—-

= const>0.

Положение

частицы непрерывно

измеряется

в

присутст­

вии аддитивного

скалярного

гауссовского

белого

шума

{v(t),

t^0}

с нулевым

средним

и дисперсией

o2 „ = const>0,

независимого от

{w(t)t

t^0}.

Для простоты

предположим,

что частица

имеет

еди­

ничную массу.

а)

Вывести, но не решать

уравнения

для оптимальных

оценок

положения и скорости частицы при

t^0.

б)

Вывести, но не решать

уравнения для оценки

скорости, с ко­

торой

частица покидает начало координат

при t=0

с

использова­

нием

алгоритма

оптимального

сглаживания

в закрепленной

точке.

8-12. Как выглядят уравнения оптимального сглаживания в за­

крепленной точке, если случайные процессы

{w(t)t

t^to}

и

{v(t).

t^to}

коррелированны и E\w(t)v'(x)]=S(t)à{t—т)

для всех

t,

TJS^O?

8-13. Для задачи

оптимального

сглаживания

на закрепленном

интервале to^t^tt

показать, что:

на закрепленном

интер­

а)

оптимальный

фильтр, сглаживающий

вале, описывается

уравнением

x(t

К ) = F (0 x (t I U) + •-!.(/., i)\x(t

| <,) - x

(t |0]

для

г, приграничном

условии x (tt

\ tt)

и при условии, что

для

Z o ^ / s s ^ i

с граничным условием

P(tt\tt).

Предполагается,

что

процессы

{w(t),

t^to}

и М О . t^to}

взаимно

независимы.

8-14.

Показать,

можно ли модифицировать

результаты

задачи

8-13

в случае

коррелированных

процессов

{w(t),

t^t0}

и

{v{t),

t^k}

при E[w(t),

v'(%)}=S(t)b(t—x)

для

всех /,

x^zto,

и

если

можно, то каким образом.

8-16.

Вывести,

но

не решать

уравнения для

сглаженных

на

задачи 8-11. Рассмотреть систему на

интервале

времени

О ^ г ^ Г ,

где Т постоянно.

8-16. Из соответствующего

интегрального

уравнения

Винера —•

Хопфа получить уравнения оптимального сглаживания с

постоян­

ным запаздыванием для г^Го, где запаздывание

Г—const>0, в пред­

положении

независимости

случайных

процессов

{^(0,

г ^ г 0 } и

М О , t>to}.

8-17. Для модели системы

x =

F (О X + G (t)w (0;

z{t)

=

H

(t)x(t)

+ v(t),

где t^to,

предположить,

что процесс

М О .

не гауссовский

i=A(t)v

+

l(t),

где t^to,

A(t)—непрерывная

матрица

размера

mxm,

а

{£(0.

t^to}—m-мерный

гауссовский

белый

шум с

нулевым

средним.

Предположить, что

вектор

v(to)

«е

зависит

от

x(to),

{£(0>

i^-h),

{w{t),

i^to}

и имеет положительно

определенную

корреля­

ционную матрицу E[v(to)v'(t0)]=V(to).

Пусть

для

{|(0.

справедливы соотношения

E[x(t0)l'(t)]

= 0;

E[W)¥W=W(t)ö(t-x);

Ei[w(t)l'(x)]=0

при любых

t,

x^to,

где W — матрица

размера mx>n,

положительно

определенная и непрерывная.

а)

Можно

ли

в

этом

случае

при

определении

оптимальной

оценки

x(t\t)

для

r^fo применить

метод

расширения вектора со­

стояния и теорему 8-1? Если можно, то

составить

соответствующие

уравнения, а если нельзя, то объяснить почему.

б)

Ранее

(см. задачи 4-13 и 6-19)

была

введена

процедура

формирования

разностных

измерений

для

дискретных

измерений

где

И* (0 = H (t) + H (t) F(t)-A

(t) Я (О,

a {£(/), t^ta]—m-мерный

гауссовский белый

шум с нулевым

сред­

ним, для которого

Е [I (t) V (x)] =

[H (t) G (t) Q (t) G' (t) M' (t) + W (t)] d (t -

x);

E [w (t) V (x)] =

Q(t)G'(t)H>

(t) S (t - x);

E[x

(<„) Ç' (01=0

при всех t,

x^to.

Заметим,

что эти формулы

требуют дифферен­

цируемое™

матрицы И(і)

[Л. 8-2, 8-6—8-8J.

в) Применить

теорему

8-1 к формулам

п. «б» и получить

урав­

мального

фильтра,

в котором

не

используется операция

дифферен­

цирования

z(t)

[Л. 8-2, 8-6—8-8].

г) Показать,

что для такого

метода

начальными

условиями

являются:

x (to \to) =

Р (to) H' (t„) [H

(t,)

P(t0) H'

(t„) + V (t0)\-

>z (t0)

где матрица P(to)=E[x(t0)x'(t0)]

предполагается

известной

[Л. 8-2,

8-6—8-8].

д) Перечислить дополнительные условия, необходимые

в п. «в»,

такие как дифференцируемость Н(і) и пр. Можно

ли предположение

о положительной

определенности

матрицы W(t)

в п. «в»

ослабить,

потребовав, чтобы

эта матрица

была лишь неотрицательно опре­

делена? Объяснить

ответ.

Г л а в а д е в я т а я

СТАТИСТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ

УПРАВЛЕНИЕ

В ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

368

•