Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Выбор А(і) и В (I—1) допускает значительную свобо­ ду, так что критерий рассматриваемого вида может быть определен для многих физических задач. Например, предположим, что в частной задаче управления учиты­ вается только конечная ошибка в момент времени N и требуется минимизировать эту ошибку, затрачивая лю­ бые управляющие усилия. Тогда, очевидно, следует вы­

Продолжая исследование этого примера, предполо­ жим, что в задаче играет роль только отклонение пер­

зывает чрезмерный расход ресурсов управления, то вво­ дится штраф вида

x' (N) x (N) + a J] u ' (i - 1) и (t - 1)

« = i

где а — положительная постоянная. В этом случае JN является мерой конечной ошибки и управляющего уси­ лия, причем их относительный вес определяется коэффи­ циентом а. Из общих соображений во втором примере следует ожидать затраты меньших управляющих уси­ лий за счет большей конечной ошибки.

373

ставленной таким образом, может привести к управляю­ щей последовательности, не реализуемой на практике, т. е. к управляющей последовательности, требующей фи­ зически недоступных входных данных. Более того, по­ скольку цель управления заключается в изменении со­ стояния системы, желательно, чтобы управляющая по­ следовательность зависела от известной информации о состоянии системы, т. е. от результатов измерений. Тог­ да управляющая последовательность формируется с ис­

здесь в целях повышения общности результатов он бу­ дет предполагаться произвольным.

Поскольку вектор управления, определяемый урав­

374

ставляет собой меру качества регулирования полученной

крепленным временем. Иными словами, в ней требуется описать закон управления на заранее заданном интер­ вале времени, в отличие от задач со свободным конеч­ ным временем, где оно явно участвует в оптимизации. Классическим примером подобных задач является зада­ ча управления с оптимальным быстродействием, в кото­ рой требуется достигнуть некоторой определенной цели за минимальное время.

Во-вторых, на компоненты вектора управления не на­ кладывается ограничений по амплитуде. Такие ограни­ чения являются желательными, если известно, что си­ стема (9-1) имеет насыщение по входному сигналу. Од­ нако второе слагаемое JN, как уже отмечалось, накла­ дывает штраф за чрезмерные значения вектора управ­ ления. Это свойство может быть использовано, чтобы ограничить стремление системы к насыщению.

В-третьих, состояние системы в конечный момент вре­ мени может быть свободным, т. е. на него не наклады­ вается никаких специальных ограничений. Легко, одна­ ко, найти ситуации, где подобные ограничения являются желательными. Например, можно потребовать миними­ зации функционала

375

при условий E[x'(N)x(N)]£^ß, где fi — Положительная постоянная. Задачи такого типа в рамках данной книги можно решать только косвенно, пользуясь тем, что x ( N ) входит в критерий качества.

9-2. ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ З А Д А Ч А

Как указывалось ранее, вначале будет полезно рас­ смотреть идеализированный вариант стохастического ли­ нейного регулятора, в котором отсутствуют возмущения системы и все переменные состояния могут быть точно измерены. В этом случае уравнения (9-1), (9-3) и (9-5) принимают вид:

|x(0)

x* (k)

X (k)

Заметим, что в функционал JN не входят математи­ ческие ожидания, так как здесь рассматривается детер­ минированный процесс, а уравнение измерения отсутст­ вует, поскольку z= x . В силу того что переменные со­ стояния могут быть измерены точно, также отсутствует неопределенность, связанная с начальным состоянием jc(0), и х(0) в уравнении (9-5) заменяется на истинное значение начального состояния. Задача детерминирован­ ного линейного регулятора формулируется следующим

.образом.

:376

Структурная схема системы, полученной в резуль­ тате решения этой задачи, изображена в общем виде на

§ 9-1, можно решать с использованием принципа опти­ мальности, принадлежащего Беллману (Л. 9-1].

состояния x. Как на х, так и на и могут быть наложены ограничения; ti и t2 могут быть закрепленными или сво­ бодными в зависимости от исходных предпосылок; t мо­ жет обозначать дискретное или непрерывное время на интервале [tlt і2]. Пусть / — некоторый критерий качест­ ва, который следует оптимизировать на интервале [tu t2] (минимизировать или максимизировать). Для опреде­ ленности положим, что u(t) следует выбрать так, чтобы минимизировать /. Доказательство для максимизации / проводится аналогично.

Предположим, что существует по меньшей мере одно управление u(t), удовлетворяющее всем ограничениям и

377