Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл (13,17Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 304

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Кроме того, матрица передачи обратной связи при этом определяется простым и удобным способом.

Оптимальное управление реализуется физически как линейное преобразование состояния системы в текущий момент времени. Можно видеть, что регулятор на рис. 9-2 является просто нестационарной линейной системой с матрицей передачи S (k).

Поэтому еще раньше можно было ограничиться рас смотрением законов управления без памяти и записать уравнение (9-8) в виде

u(k)=nh[x(k)l

Действительно, как показывают полученные резуль таты, можно перейти к рассмотрению только линейных законов управления вида

		u(k)=S(k)x(k),
где	матрицу	S(k) размера	гХп	следует определять та
ким	образом, чтобы минимизировать критерий качества
J N	вида (9-7).		здесь	проводятся в обратном
Поскольку		вычисления

времени, ясно, что до начала работы системы предвари тельно следует вычислить все значения матрицы S(k) и до момента использования хранить их в запоминаю щем устройстве.

Матрицу M (k)	приходится вычислять на каждом ша
ге, однако знать значение VN-U обычно вовсе не обяза
тельно, и поэтому	его можно вычислять только для k = 0,

чтобы получить минимальное значение критерия качест ва для всех N шагов оптимального управления [см. уравнение (9-9)].

Остается убедиться, что управление u(k), описывае мое уравнениями (9-40) — (9-43), действительно мини мизирует критерий качества. Напомним, что равенство


нулю	градиента по	и, приводящее		в	общем		случае
к уравнению (9-34), является только				необходимым			усло
вием	минимальности.	Иными	словами,			управление
u(N—j)	вида (9-35) гарантирует		только,		что	V,	прини

мает стационарное значение. Интуиция все же подска зывает, что такой выбор управления и минимизирует

критерий качества,	поскольку критерий	качества JN
можно сделать произвольно большим, полагая и			произ
вольно большим для любого момента времени на			интер
вале управления [О, N].
25*	'		387

Обозначая символом q квадратичную форму в правой части уравнения (9-33), имеем:

у„<7 = 2х'Ф-'Ш + 2и' (WWW - f В).

Транспонируем этот вектор

[Vuq\ == 2 [WW<S>x - f (WWW + В) и].

Взяв от полученного вектора-строки градиент по и, получим:

Vu[Vuq]' = 2(W'WW + B).

Тогда достаточным условием минимальности крите рия качества будет положительная определенность мат рицы

W(N—j

+ 1 , N—j) W(N—j

+l)W(N—j

+l)+B(N—j)]

для всех / = 1,

2,...,N.

Сформулируем полученные здесь результаты в виде

следующей

теоремы.

Теорема 9-2. Оптимальным

законом

управления

для

задачи

детерминированного

линейного

регулятора

яв

ляется

линейный

закон

управления

обратной

связью

u(k)=S(k)x(k),

(9-45)

где матрица

передачи

обратной

связи

S(k)

размера

гХп

определяется

помощью

рекуррентных

соотношений

W(k+l)=M(k+l)+A(k+\);

(9-46)

S(k)=—[W'(k+l,

k)W(k+l)W(k+î,

+ B(k)Y'W'(k+\,

k)W(k

+ l)0(k+l,

k)\

(9-47)

M(k)=<Df(k+l,

k)W(k

+ \)0(k+l,

+ Ф ' ( £ + 1 , k)W(k+l)W(k+\,

k)S(k)

(9-48)

для k=N—\,

N—2,

О, где

W(N)=A(N),

матрица

[W'(k+l,

k)W(k+\)W(k+\,

k)+B(k)]

размера

rXr по

ложительно

определена

для

всех

k. Минимальное

значе

ние критерия

качества

для

(N—k)

щагов

управления

со-

СТ(ХвЛЯ,ѲТ*

VN_k

= x'(k)M(k)x(k),

(9-49)

Для тех случаев, когда требуется знать значение кри терия качества только для всего іѴ-шагового процесса,

вычисление M(k) при k^ö становится излишним и мо жет быть легко исключено, если использовать следую щий результат.

Следствие 9-1. Оптимальное						управление		в задаче		де
терминированного		линейного			регулятора			удовлетворяет
системе	уравнений
		u(k)		=S{k)x(k);
S(k)=—[4T(k+l,			k)W(k+l)W(k+l,					k)	+
	+ B(k)]~W(k+l,		k)W(k+l)<t>{k+\,					k);
	W(k)=0'(k	+ 1, k) W(k+l)0(k					+ l,	k)	+
+ Ф'(&+1, k)W{k+\)W(k					+ \, k)S{k)+A(k)				(9-50)
для k*=N—\, N—2....,0,			где		W(N)		=A(N)	и	матрица
[W'(k+1,	k)W(k+l)W(k		+ l,	k)+B{k)\			размера		rXr	по
ложительно определена			для	всех		k.
Д о к а з а т е л ь с т Ъ о . Согласно							уравнению		(9-46)
		M(k)	= W(k)—A(k),						(9-51)
что после подстановки в уравнение (9-48)								сразу приво
дит к уравнению (9-50).
Результаты, представленные в теореме 9-2 и следст
вии 9-1,	получены	Калманом			и	Кепке [Л.		9-2].

Пример 9-1. Рассмотрим частный случай, когда

/д, = 2 * ' ( « м ( * ) * ( о .

ігричем	матрица	А(і)	положительно определена			для всех і	и пред
положим, что система
	ж( . &+1)=Ф(*+1, k)x(k)+4>(k			+ l,	k)u(k)		(9-52)
имеет	равное число		переменных управления		и	состояния	(г=п),
а матрица 4r(k+l,		k)	несингулярна для	всех	ft=0, 1., ... ,		N—1.

Заметим, что в критерий качества входят только взвешенные квадраты ошибок. Иными словами, разрешается для минимизации указанного критерия качества затратить произвольное управляющее

усилие.
Поскольку В(і—1)=Ѳ			для	всех і = 1 ,	...,	N, а матрица W(k +
+ 1, k)	несингулярна	для всех		значений	k,	представляющих		инте
рес, уравнение (9-47)		принимает вид:
	S(é)= — {4"(ft + l , k)W{k+l)4(k+\,					Ä)]-»X
	X4"(ft+1, k)W(k+\)<b{k				+ l,	k) =
	=—v-4k+i,		k)W-4k+i)[W(k+i			Â)]~iw{k+
+	1, k)W(k+\)*D(k		+ l,- k)=—W-t(k+\,			•к)Ф(к+\,	k).	(9-53)
26—85								389

Далее,

полагая u(k) =S(k)x(k),

представим

уравнение

(9-52)

в виде

х ( 6 + 1 ) = Ф ( / г - Н ,

k)x(k)—V(k+l,

k)W-l{k+\,

k)G>(k+\,

k)x(k)=0

для

всех

k=û,

1, ... ,

N—1.

Очевидно,

начальное

состояние приво

дится к нулю уже на первом шаге управления.

Более

того,

из

уравнения

(9-50)

ясно, что

W(k)=0'(k+\,

k)W(k+l)Q>(k+'l,

k)—a>'{k+\,

k)X

XW{k+(\)x¥(k+\,

к)Ч'~Цк+\,

а)Ф(к+\,

k)+A(k)

=A(k).

Тогда из уравнений (9-51)

(9-49)

следует,

что для

6=0,

М(0) = №(0)— Л ( 0 ) = 0

Ѵ"лг = 0,

т. е.

управление

является

«наи

лучшим».

Эти результаты можно было предсказать, попытавшись найти

такое управление u{k)

для уравнения (9-52), при котором x(k+[)

=0.

Поскольку

матрица

W(k+l,

несингулярна

для всех

то,

очевидно,

«(£)=— W-*(k+l,

k)0(k+\,

k)x(k).

Однако если матрица 4r(k+l,

k) сингулярна,

то этот

результат

бесполезен. В этом случае матрицу передачи

обратной

связи

мож

но определить из первой строки в уравнении

(9-53).

Пример 9-2. В качестве более частного примера рассмотрим ска

лярную

систему

x(k +

\)=x(k)+2u(k)

для

6=0,

N—1, и

пусть критерий

качества

имеет вид:

/д, =

х 2 ( Л О - И р Е и Ч '

— О.

і=.1

где

ß — положительная постоянная.

Для

этой

задачи

Ф ( £ + 1 ,

k) = \\

W(k+\,

k) =2;

A (N) = W(N) = 1;

A(N—l)=

...

= Л ( 1 ) = 0 ;

B(N—\)=

...

= ß ( 0 ) = 4 ß .

Тогда из уравнений (9-47) и (9-50)

получаем:

[Aw(k +

i) + 4pj-> 2W(k + 1 )

— W(k-\-

s(k)

2 [ r

( f

e | 1

) +

;

(k + 1)

W{k+\)	+ $ — — ^ w
для k = N — 1 0 при W(N) =	\.
Замечая, что	— W (k)
	— W (k)

'2 [W- (fe) + p]

иподставляя сюда выражение №(&), получаем рекуррентное соот

ношение для коэффициента передачи обратной				связи
с „	n	2ßS(fe)	_	S (к)
°^	Ч-	2 [— 2р5 (Ä) +	H	1 — 2S (fe)'

390

Смотрите также файлы

Металлические гофрированные трубы под насыпями..pdf

Разработка технологического чертежа отливки и формы в сборе.docx

Выполненную по теме.docx

Типовые задачи алп для изделий авиационной техники разработка логистических структур изделия и их анализ.docx

История олимпийских игр.doc

Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно