Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 305

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где k—K—1, ... , 1. Можно видеть, что граничным условием дли

этого соотношения будет равенство

 

S(N—

 

 

— W(N)

=

— 1

 

 

 

1 ) -

2[Г(/ Ѵ ) +

р] ~~

2 ( ß + 1)

'

 

С помощью указанного рекуррентного соотношения

получаем

табл. 9-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

9-1

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

N — 1

- 1 / 2 ( р +1 )

 

 

Р / ( Р + 0

 

N — 2

- 1/2 ( Р + . 2 )

 

 

Р/(Р +

2)

 

1

_ 1 / 2 ( р

+ І Ѵ - 1 )

 

 

ß/(ß +

tf-l)

 

0

-

1/2(Р +

N)

 

 

PAP +

W)

 

Из табл. 9-1 ясно, что общее

выражение для коэффициента пе­

редачи обратной связи имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

S

W =

2 (ß -f- TV —- é) '

 

 

 

где &=0, 1, ... , N—1. Уравнение

системы

теперь примет вид

 

1) = X (£) —

 

1

 

 

(І +

ІѴ — k — 1

 

x (fe +

p +

/ v _ f e

x (k) =

— ß +

y v _ £ ^ (k).

Если,

например,

положить $^N,

 

то S(&)

— l/2ß и

 

х( А + 1 ) = [ l - - p - ] x ( A ) .

Вэтом случае вес управляющего усилия в критерии качества значительно превышает вес конечной ошибки. Это приводит к ма­ лым значениям коэффициента передачи, точнее, к малой отрицатель­ ной величине, постоянной для всех к. Очевидно, управление очень

мало

влияет

на конечную

ошибку и в пределе при ß—>-оо не

влияет вовсе, т е. x(k+l)=x(k),

что приводит к x(N)

= х ( 0 ) .

 

Из табл. 9-1 для ß>JV

имеем ЩО) « 1 и поэтому

в силу

урав­

нения

(9-51)

М ( 0 ) » 1 .

Тогда

значение

критерия качества составит

Ѵ*=хЦ0).

 

 

 

 

 

 

 

Если же положить

ß = 0 , т. е. если

в критерий качества

входит

только конечная ошибка, то

 

— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

(k) = 2 (N — к)

 

 

26*

 

 

 

 

 

 

 

391

и абсолютная величина коэффициента Передачи

обратной

связи Мо­

нотонно

возрастает от 1/2JV при

&=0 до

1/2

при

£=JV—1.

Из

табл.

9-1

также ясно,

что W(0)=0

при ß = 0,

поэтому

критерий

ка­

чества

в

этом

случае

Ѵ ІУ=0 .

Это

означает,

что конечная ошибка

равна

нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

другие

значения

ß в диапазоне

0 < ß < o o

позволяют

получить качество управления, лежащее где-то между двумя рас­ смотренными здесь экстремальными случаями.

9-3. СТОХАСТИЧЕСКАЯ З А Д А Ч А

Решение задачи стохастического линейного регуля­ тора, поставленной в § 9-1, получим, в основном следуя методу, «спользованному в предыдущем параграфе для решения детерминированной задачи. Так же как и при исследовании детерминированной задачи, обозначим:

 

 

N

 

Ѵдг =

гаіп..

rain E I£

[x' (i) A (j) x {i) - f

 

 

u(0)

u(N-l) ^.=

]

 

- f

и' (i -

1) В (i -

1) и (i - 1 )] J.

(9-54)

В уравнении (9-54) требуется проводить минимиза­ цию по физически реализуемым управлениям u(k), k = 0, l,...,N—1, т. е. по управлениям, удовлетворяющим уравнению (9-5).

Одношаговая

задача

 

 

 

 

Для одношаговой

задачи оптимизации

с

началом

в момент УѴ—1 и окончанием

в момент N запишем:

V, =

min E [x' {N) A (N) x (N) +

и' {N -

1) X

 

u(N— 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

XB{N-

l)u(N—

1)].

 

(9-55)

Согласно уравнению (9-1)

 

 

 

 

 

х(Ы)=Ф{Ы,

N—l)x(N—ï)

+

 

 

+ T(N,

N—l)w(N—l)+W{N,

N-l)u(N-l)

и уравнение

(9-55) принимает вид:

 

 

 

Ѵ \ = min Е [(Фх +

Гда +

Wu)' А (Фх + Vw + Щ

+ и'Ви] =

и

 

 

 

 

+ т'Г'АФх

-4-

= min Е [х'Ф'АФх + х'Ф'АТхю+х'Ф'АЧи

"+ хю'Т'АЧи + т'Г'АГ

w + и'Ч'АФх

- f u'W'ATw

+

 

 

+ «'

(W'A¥-\-B)u],

 

 

392

где

 

 

 

 

 

 

x = x(N—\);

w = w{N— 1); u = u(N— 1);

Л = Л ( # ) ;

B = B(N—

1);

ф = ф(ІѴ,

ІѴ—1);

 

Г = Г(ЛГ, TV—1 ), W = W(N,

N—\).

Указанная

здесь

операция

усреднения

проводится

по x, w и и.

 

 

 

 

 

 

Заметим,

что все

слагаемые

в квадратных скобках

являются скалярами,

и

матрица

А симметрическая.

Поэтому второе и четвертое слагаемые равны, так же как попарно равны третье и седьмое, пятое и восьмое слагаемые. Следовательно,

 

V, =

min Е [х'Ф'АФх

+

2х'Ф'А?хю +

2х'Ф' AWu - f

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2даТ'ЛЧГи +

w'V'AVw +

а' (Ч?'ЛЧ7 + В) и].

(9-56)

Согласно § 9-1 в рассматриваемой

модели х(і)

яѵи(і)

статистически

независимы

для

 

всех

і = 0,

1 . . . Так

как

{w(i);

і = 0, 1

. . . } —

случайный

процесс

с нулевым

сред­

ним,

то второе слагаемое

в

правой

части

уравнения

(9-56) обращается

в нуль, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

E[2x'{N—

1)Ф'(М,

N—l)A(N)T(N,

 

 

N—l)w(N—l)]=*.

 

= 2E[x'(N—l)]0'(N,

 

N—\)A{N)T{N,

 

 

N—\)X

 

 

 

 

 

XE[w(N—\)]

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

Кроме того, поскольку требуется, чтобы управление

было физически реализуемым, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

u(N—l)=py-i[z4N—\),

 

 

 

х(0)1

 

 

 

а в

рассматриваемой

модели

системы

w(j)

и z(i)

ста­

тистически независимы

для

всех

г = 1 , 2

 

то

 

E[2w'{N—\)T'{N,

N—l)A(N)W(N,

N—\)u(N—l)]

 

=

= 2E[w'(N—l)]T'(N,

 

N—\)A(N)W(N,

 

 

N—\)E[u(N—\)).

Отсюда следует, что четвертое слагаемое в правой части уравнения (9-56) также обращается в нуль, по­ скольку имеет нулевое математическое ожидание.

Тогда

Ѵ1 =

min;£ [х'Ф'АФх + 2х'Ф'А Wu

+

+

w'V'AVw + и' (ЧГ'ЛЧ? + В) и].

. (9-57)

Согласно § 3-3 одно из свойств условного математи­ ческого ожидания состоит в том, что Е(х) = Е[Е(х\у)], где внешняя операция усреднения в правой части ра­ венства проводится по у. Используя этот результат, за­ пишем уравнение (9-57) в виде

V, = m i n

E {Е [х'Ф'АФх

+

2х'Ф' АЧи - f w'Y'ATw -f-

 

+

u'(47M47 + ß ) u | 2 * ( A ' - 1),

*(0)]},

(9-58)

где внешняя операция

усреднения

проводится

по

z*(N— 1).

 

 

 

 

 

 

Хотя внутреннее математическое ожидание является

условным относительно х(0)

и z*(N—1),

внешнюю

опе­

рацию усреднения можно

проводить по одному

z*(N—1),

поскольку х(0)—неслучайный вектор. В этой связи

заметим,

что

плотность

распределения

вероятностей,

соответствующая внутреннему математическому

ожида­

нию, имеет вид f = f(x,

w,

u\z*).

 

 

 

Теперь ясно, что критерий качества можно миними­

зировать,

минимизируя

по и

внутреннее

математическое

ожидание

в уравнении

(9-58)

для всех z*(N—1)

и

х(0).

Условие физической реализуемости требует, чтобы

управление

было некоторой

детерминированной

функ­

цией х(0)

и случайного вектора z*(N—1).

Поэтому

два

слагаемых

в

правой части

уравнения (9-58), в

которые

входит вектор

управления

и,

будут иметь

вид:

 

 

Е[2х'Ф'A4 u\z*{N— 1), х(0)] =

=2E[x'\z*{N—\), х{Щ]Ф'А4и;

E[u'(W'AW + B)u\z*(N— 1), x(0)] = u'C¥'AW + B)u.

Тогда, взяв от внутреннего математического ожида­ ния в уравнении (9-58) градиент по и и приравнивая его нулю, получим выражение

2E{x'\z*(N—\),

х{0)]Ф'АЧ + 2и'(4'А4

+ В) =0.

Транспонируя это выражение, решая полученное уравнение относительно и и вновь вводя аргументы, по­ лучаем:

u(N— 1 ) = —W{N,

N—\)A(N)4(N,

N—\)

+

+ B(N—l)]-^'(N,

Ы—1)А(Ы)Ф(Ы,

N—l)x

XE[x(N-l)\z*(N~\),

x(0)].

 

Здесь использована

симметричность

матриц

A(N) и

B(N—1).

 

 

 

394

Поскольку E[x(N—\)\z*{N—1),

x(0)]

является про­

сто текущей оптимальной оценкой состояния

x(N—1),

имеем:

 

 

 

 

u(N—\)=—[W'(N,

N—\)A(N)4t{N,

N—\)

+

ХФ(ІѴ,

N— \fx(N—

\\N— 1).

 

(9-59)

Сравнивая уравнения (9-59) и (9-12), можно видеть, что оптимальное управление для одношаговой задачи линейного стохастического регулятора совпадает с ре­ шением аналогичной детерминированной задачи с заме­ ной x(N—1) на x(N—1J АЛ—1). Иными словами, получен первый результат для доказательства принципа разделе­ ния: оптимальное одношаговое управление представляет собой текущую оптимальную оценку, умноженную на матрицу передачи детерминированного регулятора, при­ чем обе вычисляются независимо.

Как и в детерминированном случае, введем матрицы

W(N)*=A(N) и

S(N—\)=—{W'(N,

N—\)W(N)W{N,

N—\)

 

+

+ B(N—l)\-iW(N,

N—l)W(N)G>(N,

N—l)

(9-60)

и запишем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(N—

\) = S{N~

1)JC(A/—

1 f ІѴ — 1).

 

(9-61)

Вычислим Vu подставляя (9-59) в уравнение

(9-57)

при A(N)

= W(N).

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

V, = £ [x'Ф'ШФх -

2х'Ф'WW

(WWW

+

By 1 чГ'"7Фх +

-f- w' Y'WVw + x^'WW

(W'WW-\- B)~ Ч - 'ГФ

x).

Упростим это выражение, замечая вначале, что

x{N-l\N-

 

l) = x[N

— \)-x(N

— 1 \N

— 1).

Тогда, обозначая

символом

Л

матрицу

fflW*!*(^'WW-b

+ B)-1WWd>,

можно

преобразовать

второе

и

четвертое

слагаемые следующим

образом:

 

 

 

 

 

— 2х'Ах-Іг

х'А

х =

(х

— 2х)'Ах

—— (x -f- х)'А

(х

— х)==

== — х'Ах-\-х'

Ах

— х'Ах~\-

х'Ах

=

х'Ах

—

 

х'Ах,

где использована симметричность матрицы Л.

395

Смотрите также файлы