Следовательно,
V, — Е [х'Ф'УРФх - х'Ф'ЧРЧг (WWW + В) -*ЧГЧРФх + + х'Ф'ЧРФ (WWW+ В) ' 1Ч'№Фх + т'\YWVw) =
= Е {х'Ф' [W - WW (WWW + В)- 'WW] Фх} +
+ £ [ З с ' Ф W |
- |
f |
By *ЧГѴРФx + о/Г'ГГш]. (9-62) |
Первое слагаемое в правой части уравнения (9-62) аналогично значению Ѵ4 для детерминированной задачи, за исключением того, что теперь в этом выражении при сутствует оператор математического ожидания.
Второе слагаемое в уравнении (9-62) обусловлено имеющейся в задаче неопределенностью, а именно ошибкой фильтрации и возмущением системы. Это вто рое слагаемое можно вычислить следующим образом. Пусть Кц — элементы матрицы Л, а г\ц — элементы сим метрической матрицы T'WT размера рХр. Тогда
( п |
E[x'Ax-{-w'VWrw] |
|
= |
П |
, w ~ |
|
|
P |
Р |
|
|
2 |
2 bj |
Xi |
X |
j + |
2 |
S |
|
-HjWiWj |
l=\ |
/=1 |
|
|
|
i = l |
/ = 1 |
|
|
n |
n |
|
|
|
p |
|
p |
= |
2 2 |
|
^ |
j |
№ |
+ |
2 |
TilijQïj, |
|
г = і / = і |
|
|
|
/ = i |
/ = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
где PU — элементы |
корреляционной матрицы |
ошибки |
фильтрации |
P(N— \\N— |
\)=Е |
|
[S(N—\\N—\)x'{N— |
— 1|УѴ—1)], |
a qa — элементы |
корреляционной |
матрицы |
возмущения |
системы |
|
|
Q(N—\)=E[w(N—\)w'(N—1)]. |
Обозначим это слагаемое |
a(N—1). |
|
|
С другой стороны, заметим, что |
|
|
E [x'Ax + w'T'Wrw] |
= E {Sp [Ахх' + |
|
|
+ T/WTww']} |
= Sp(AP |
+ |
T,WTQ). |
|
Для того |
чтобы |
результаты |
настоящего параграфа |
по возможности были близки к результатам |
решения |
детерминированной |
задачи, введем |
матрицу |
|
M=Ф' [ W— WW ( W' WW + |
B)-iX¥'W]<$>, |
|
упрощая тем самым уравнение (9-62).
Теперь введем вновь аргументы и перепишем резуль таты, полученные для одношаговой задачи оптимального 396
Из уравнений (9-66) |
и (9-68) следует: |
|
|
|
£{Vi)=E{E[x,(N—l)M(N—l)x(N—l)]+xi(N—l)} |
|
|
= |
|
= E[x'(N—l)M(N—l)x(N—l)] |
|
|
+ |
a(N—l). |
|
Поэтому уравнение (9-69) можно записать |
в виде |
|
У2 |
= тіп Е[х' |
(N- |
\)A{N— |
\)x{N |
- 1)+ |
|
|
|
u(/V—2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+u'(N |
- |
2) В {N - 2) u{M - |
2) -f- je' (ЛГ - 1 ) |
M {N - |
1) X |
'X*(W— |
|
- |
lj = min E[x' |
{N- |
|
1)W(N—\)X |
|
|
|
|
|
u(N—2) |
|
|
|
|
|
X x ( i V - l) + |
u' ( t f - |
2)ß(A/ - 2 ) a ( i V — 2 ) ] + с ф Ѵ - І ) , |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9-70) |
|
Г ( І Ѵ — 1 ) |
= Af(tf— l)+A(N— |
1). |
|
|
|
|
|
|
Ясно, |
что |
a (N—1) |
можно |
вынести |
из-под |
знака |
минимума, поскольку его значение не зависит |
от |
выбо |
ра u(N—2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
a(N—1) |
За |
исключением |
аддитивной |
постоянной |
уравнение |
(9-70) имеет |
ту |
же |
форму, |
что |
и |
уравнение |
(9-55) для одношаговой задачи. Значения индексов вре мени здесь, разумеется, на единицу меньше, чем в урав нении (9-55), а матрица W (N) =A(N) заменяется на
W(N—l)=M(N—l)+A(N—l),
чтобы получить подобное уравнение. Поэтому, повторяя
те же действия, что и ранее, получаем: |
|
|
|
|
и (N - 2) = |
S (N - |
2) x (N - 2\N - |
2); |
S(N |
— 2) = |
— [¥'(N |
— 1, |
N -2)W{N- |
1)47(ІѴ- 1, |
N — 2) + |
B(N — 2)}-1V'(N— |
1, N — |
|
2)W{N—\)X |
|
|
|
Х Ф ( # - |
1, |
N-2); |
|
|
|
V2 |
= E [x' (N — 2) M{N-2)x |
(N - 2)] - f a (N — 2); |
|
M(N |
— 2) = |
<b'{N—l, |
|
N — |
2){W(N—l)~ |
~W{N - |
1 ) Ч Г ( # - 1, /V — 2)[ЧГ ' (/V— 1, |
W - 2 ) X |
Х Щ Ѵ - 1)Ч7(/Ѵ- 1, |
A / - 2 ) + ß ( / V - 2 ) ] " 1 X |
Х ^ ' ( ^ - 1 . |
N - 2 ) № ( J V - 1 ) } Ф ( / Ѵ |
— 1 , |
УѴ-2); |
a(N-2) |
= a(N - |
1) + E [w' (N - 2)V(N |
- |
1, |
# - 2) X |
XW(N~ |
І ) П ( І Ѵ ~ |
1, |
і Ѵ - 2 ) м ) ( Л ^ - 2 ) — A : ' ( / V — 2 | i V - 2 ) X |
Х Ф ' ( І Ѵ - 1 > M-2)W(N-l)W(N-l, |
|
N — 2 )X |
|
|
Х 5 ( Л ^ - 2 ) ж ( Л ^ - 2 | У Ѵ - 2 ) ] . |
|
|
Особо следует отметить физический смысл слагаемо
го |
a(N—2). |
Это |
слагаемое учитывает влияние на каче |
ство управления |
ошибки |
оценки и возмущения |
системы |
в |
моменты |
N—2 |
и N—1 |
и 'представляет собой |
«цену», |
которую приходится платить за то, что система подвер жена случайным возмущениям и не удается точно опре делить состояние системы.
Хотя выражение для Ѵ2 здесь имеет более сложный характер, чем в детерминированной задаче, заметим, что расчет оптимального управления для двухшагового процесса является сравнительно простым. Матрицы пе редачи обратной связи S(N—2) и S(N—1) вычисляются точно так же, как и в детерминированной задаче и ис
пользуются |
в |
сочетании |
с |
оптимальными |
оценками |
x(N—2\N—2) |
|
и x(N— |
1 \N— |
1) |
при |
формировании сиг |
налов управления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7—1)-шаговая задача |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и в детерминированной задаче, |
|
при |
/ ^ З |
получим |
оптимальное |
управление |
|
в |
момент |
времени |
N—/+1 |
для |
процесса, состоящего из /—1 шагов, |
опи |
сываемое следующими |
соотношениями: |
|
|
|
» 7 ( л / - / |
+ |
2) = |
Ж ( / Ѵ - / |
+ |
2) + |
Л ( / Ѵ - / + 2 ) |
(9-71) |
S(N-l |
+ |
\) = |
-[W(N-j |
|
|
+ |
2, |
|
J V - j |
+ |
l ) X |
|
XW(N-j |
|
+ 2)V(N-j-r-2, |
|
|
N-j+l) |
|
+ |
|
+ |
B(N-j |
|
+ \)]-1W(N-j+2, |
|
|
|
Л ' _ / + |
1)Х |
Х ^ ( Л > - / + 2 ) Ф ( . У - / + |
2, |
/ Ѵ - / + 1 ) ; |
(9-72) |
— / + |
1) = |
5(Л/ |
— / + 1 ) х ( / Ѵ — / + |
1|Л^ — / + О; (9-73) |
Ѵ*-і = £ [ • * ' ( # - / + l ) A f ( t f - / + ! ) • * ( # - 7 + 1 ) ] + |
|
|
|
|
_ f _ a ( t f _ / + l ) ; |
|
|
|
(9-74) |
М ( Л Г - ] + 1) = |
Ф ' ( Л Г - / + |
2, |
M - / |
- f l ) {W{N-j |
|
4 - 2 ) - |
-W(N-j |
+ |
2)V(N |
- / 4 - 2 , |
N _ / + 1 ) [ Ч Г ' ( # - / + |
2, |
/V - / 4- 1 ) W (N - / 4- 2) 47 (/V - / + 2 , /V - |
/ 4-1 ) 4- |
4 - ДУ Ѵ- /4 - 1 ) ] - 1 Ч7 '(Л / - /4 - 2, |
N-j+l)W(N-j |
|
+ |
2)}X |
|
|
Х Ф ( |
І Ѵ |
- / |
+ 2 |
, |
/ Ѵ - / 4 - 1 ) ; |
|
|
(9-75) |
