Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл (12,65Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 128

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

же оно веб-таки верно (т. е. любая последовательность Коши сходится в V ) , то пространство 1Д называется пол ным. Полное счетно-мультинормированное пространство называется пространством Фреше *).

Действительно, свойство, определение которого дано выше, представляет собой секвенциальную полноту, в произвольных же топологических линейных пространствах понятие полноты означает нечто большее. Однако по скольку в этой книге рассматривается только секвенци альная полнота, прилагательное «секвенциальный» мы будем опускать. Кроме того, для счетно-мультинормиро-

ванных пространств2

эти два понятия совпадают (Роберт

сон А . П . и Робертсон У . [1], стр. 60, предложение 12).

Пусть Г]Rи Г

обозначают в линейном

пространстве

две

топологии,

порожденные двумя различными

муль

тинормами

Говорят, что

Тх,

Т 2,

топология

Тх слабее

топологии

а топология

Т2 сильнее

если

Тто2,

топологии

любая 7\-окрестностьТх являетсяне сильнеев

жеТ

время и ^-окрестностью

(это обычная терминология,

хотя более

точно было бы сказать, что

2 не слабее Тг).

Символически мы будем в этом случае

писать

Tx d

Т2.

Т2

Тх

Таким образом,

Тх

в том и только в том случае,

dТ2

если каждый шар в

с центром в нуле (т. е. в начале коор

динат) содержит шар в

с центром в нуле. Если

Тх

Т2

Тх,

то

Тх

Т2

равны (т. е. семейство окрестностей,

порожденныхТх

мультинормойТ2

R ,

совпадает

семейством

окрестностей,

порожденных

мультинормой

S).

сходится в

Если

и последовательность

{срѵ}

Т 2,

Т х.

слабееГ к ф вТ2,топологиинеобходимо итодостаточноона сходится, чтобык ф и в

длятопологиилюбой по

лунормыЛ е м м а

Для того чтобы топология Тх была

1.6.3.существовало

такое конечное множество

бы

р G i ?

у п 6

S ,

что

для

всех

было

полунорм ух,

. .,

ф е У

справедливо

неравенство

Р (ф) <

С т а х

{у!

(ф ),

. •

Уп (ф)}

(1)

или

эквивалентное неравенство

. . . +

у п (ф)],

(2)

Р (ф) <

С [ух (ф)

Пространством

Фреше (^-пространством) обычно назы

вают

мѳтризуемоѳ

полное

локально

выпуклое

пространство.

(Прим,

перев.)

где С — положительное Число, причем С и п зависят от. выбора р.

До к а з а т е л ь с т в о . Достаточность. Рассмотрим

в'топологии Тх произвольный шар с центром в начале координат:

= {ср: рь (ф) ^

Б/t,

е к

1с —

. . .,

т },

R .

си

где pft обозначают произвольные полунормы из

лу (

)

для любого

имеем

Pft (ф) <

C h

max Ivi.h (ф), •

•S

м 7n,h (ф)1,

рк

гдееYj)h. ’

обозначают

полунормы

из

зависит

от

п = п

(pft)).

(т. Положим

SkICu,

, • • •.

п).

Ял =B {ф : Ѵі,й (ф) <

Множества

— это

шары

в топологии

Т2

с центрами

в начале координат, причем ph (ф)

eft для всех ф е=

B h.

ТП

Тг

Следовательно, р]

— map в

топологии

с центром

к=і

А .

Ту

в начале2

координат1

, содержащийсяВвк

Поэтому

Мы могли бы прийти к тому же результату, исполь

зуя ( ) вместо ( ) и заменяя шары

шарами

Вк =

{ф: Ѵіщ (ф) <

eh/nCft,

/ =

...,

я}-

Необходимость. Для произвольной полунормы р Е й рассмотрим шар і в

А = {а|>: г|зd Ѵ', p(i|>)<l}.

Предположим, что

Ту

Т2;

тогда

существует

конеч

ное число

полунорм у ц . . . ,

S и

такие,

что

шар

f ,

уі (Ѳ) < в,. . . ,

Уп

( Ѳ )< в}

5 = { 0 :А0.

содержится в

Пусть теперь ф — такой элемент

*',

для

которого шах {ух (ф), . . .,

уп (ф)}

Ф 0

положим

;

LQ' ______________ ______________

/ }

max (Ti (ф),. . . ,ТП(Ф)}

А ,

Тогда 0' принадлежитС — г - 1,

В .

Следовательно, 0' ЕЕ

так что

Подставляя

(3) в неравенство р(Ѳ ')<^1 и

р ( ') <

полагая;

получаем

(1).

элемент

таков,

что

другой

стороны,

0если

шах {ух (ф ),. • м Уп (ф)} =

то при любом положитель-


ном	числе	а	элемент		аср принадлеж ит В , в си л у						чего
Р (ф)	1/а.		О тсю да вытекает					равенство р (ср)		= 0,	поэ
том у соотнош ения				(1)	и	(2) вы полнены . Л ем м а				д оказана.
П р и м е р			1.6.1.	Определим				для	любого неотрицательного
целого числа к S 31п полунорму Тк на линейном пространстве 3)Кі
введенном в		примере		1.3.1,		формулой
			Т*. (Ф) =		sup	I D kf		(0 \|,	( р е 8>К .		(4)
Функционал у 0 является					нормой, поэтому множество {Гд} всех Тй
определяет счетную мультпнорму/еяп							на 3)к . Если мы снабдим 3)к то
пологией, порожденной					{ТйіК то получим счетно-мультпнормпро-
вапное пространство; 3)к					полно в этой топологии (докажите это).
З а д а ч а			1.6.1.	Показать,			что любое мультинормированное

пространство является пространством с секвенциальной ♦ -сходи мостью.

З а д а ч а	1.6.2.	Доказать, что 3)к полно.
З а д а ч а	1.6.3.	Показать, что любая полунорма у опреде
ленная формулой (1),		задает норму на 3)к .

З а д а ч а 1.6.4. Пусть <3? обозначает так называемое прост ранство быстро убывающих гладких функций, определенное сле дующим образом: функция ср принадлежит <3? тогда п только' тогда, когда она является комплекснозначной гладкой функцией на З У 1 н при любом выборе неотрицательных целых чисел т п к удовлет воряет неравенству

Тт , к(Ф) = sup I (1 +	I I Г ) D *> (t) I < оо.
т * п
Топология в с!? порождается	миожсством полунорм {Tm,k},

где т и к независимо пробегают все неотрицательные целые числа. Показать, что dp — полное счетно-мультпнормированноо простран ство. Показать также, что пространство 3), определенное в примере

1.3.2,

плотно в S’.

1.7.

Счетные объединения пространств

Пусть

— мультинормировапиое

пространство

—

S .

линейное подпространство

V .

Пусть на

Ѵ'

задана мульти-

норма

Очевидно, что

является мультинормой и на

мультинормой

S ,

на

вом Топология, порожденная

зывается

топологией, индуцированной на % пространст

в %.

пли просто

индуцированной топологией

Из

что

окрестности в

сказанного вытекает,

соответствую

щие

индуцированной

топологии — это

просто

пересе

что

линейное

ченияпространствас окрестностямипредположимв

Л е м м а 1.7.1.

Пустъ % u ffl

—

мулътинормированные

—

;

подпространство ffl. Предположим также, что топология % сильнее топологии, индуцированной на % пространством Ѵ'.

Если

сходится в%кц>,

сходится в V и имеет

в V

тот

же самый предел

Кроме

того, если

последовательность{ е р

Коши в %,то{фто„}

она

является последо

вательностью Коши

также иф.в Ѵ '.

только

{ф„}—

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы

докажем

пер

воеѴутверждение, так как доказательство

второго

анало

гично. Пусть Q — произвольная

окрестность элемента

Пересечение%.

Г) Q

определяет

окрестность

в индуцированной

топологии

и, следовательно, ок

рестность %ф в

По

предположению,

{фѵ}, начиная

некоторого

номера,

принадлежит

|~ Q при ѵ->- оо.

Так

как

П ^ CZ £2,

то {фѵ},

начиная с некоторого но

мера,

принадлежит

Таким

образом,

{фѵ} сходится

к ф, что и требовалось доказать.

Пусть {%Кт}т=і — последовательность счетпо-мульти- нормированных пространств, такая, что W 1 CZ V * d ^з---

Предположим, что топология любого пространства V*т сильнее топологии, индуцированной на нем пространством Ѵ'т+ѵ Обозначим через V объединение этих пространств:

оо	-		V
Ѵ* — U		Пространство		линейно. Введем схо-
	fflmW
т=і	в	следующим	образом: последовательность
димость

{фѵ}ѵ=і называется сходящейся в V к ф (или просто схо дящейся), если все фѵ и ф принадлежат некоторому про странству Ѵ'ѵх и {фѵ} сходится к ф в V т (и, следовательно, в ^ т+1, УУт+г, . ■ .; СМ. лемму 1.7.1). При сформули рованных условиях пространство V называется счетным объединением пространств. Пространства этого типа были введены Гельфандом и Шиловым [2].

	Последовательность (фѵ}ѵ^=і называется							последователь
ностью Коши				в счетном объединении пространств					V ,	если
			ІУ-щ.
она является последовательностьюV W							Кошиполнымв одном.		из про
странствW-m				Кроме того, если все последовательности Ко
ши		сходятся		в	W*', то	называется		Если все
		полны, то в силуV*. леммы 1.7.1 каждая последователь
ность			Коши	в	сходится к единственному				пределу,
принадлежащему										V 1 =
	Таким образом, счетное объединение пространств
=		оо	полно, если все			суть	полные счетио-мультп-
	U
т		=1			пространства.
нормированные

Из сформулированного определения сходимости в счетном объединении пространств и леммы 1.6.1 непосред ственно вытекает

Пуст ъѴ'

со

счетное

объеди-

Л е м м а 1.7.2.

Щ|J=1

1т —

мультинор

нение пространств и для каждого т

S m

ма на Ѵ'т.

Тогда

последовательность

сходится в V

в том и только в том случае, если все

и принадле

ср

срѵ

—

ср

при

для любой полунормы у ЕЕ S m.

жат одному из пространств Ѵ*т

{срѵ}

V —>- оо

у (ср — срѵ} —>-

V '

СО

Счетное

объединение пространств

1ПU=1

иазы-

вается строгим счетным объединением пространств, если для любого т топология Ѵ'т совпадает с топологией, ин дуцированной на Wm пространством Ѵ т+1. Отсюда сле дует, что топология V*п совпадает с топологией, инду цированной на Ѵ'тп любым пространством V 'q при q |> т. В частности, V 1 будет строгим объединением пространств при выполнении следующего условия: если при любом

т {Ym,fe}“=i обозначает мультинорму на Ѵ'т, то ут>к (ср) =

— Ym+bft (ср) для всех ср Ѵ'ту всех т и всех к.

Здесь необходимо сделать одно существенное заме чание. Счетно-мультинормироваиное пространство % яв ляется частным случаем строгого объединения пространств

оо

так

как мы можем положить

Ѵ*™.

= % для

Ѵ' =

\J 'fflm

т.

всех

ін=і

другой

ОО

строгое счетное объединение

стороны,

пространств

Г'1У

(J 1

2Рт

не

обязательно

будет

счетно-

т=

мультинормированнымS .пространством, даже если топо

логия каждого из

пространств

Ѵ'т

порождена

одной и

Ѵ ',

той же мультинормой

Действительно, если множество,

состоящее

из

всех элементов

снабдить топологией,

порожденной

мультинормой

S ,

то правило

сходимости в

получившемся счетно-мультинормированном пространстве будет слабее, чем в первоначальном счетном объединении пространств, поскольку требование принадлежности

сходящейся последовательности одному из				будет ут
рачено.
Каждое счетное объединение пространств является ли
нейным пространством		с	секвенциальной	сходимостью
(см.	рис. 1.6.1). Действительно, легко			показать,
что	первые пять аксиом	п.	1.4 выполнены.	Кроме того,

Смотрите также файлы

Курсовая работа по дисциплине Теплотехника Студент гр. Гр2011 М. Н. Осокин.docx

Теоретические аспекты интегрированного и инклюзивного образования детей с овз.ppt

Моя семья. Краткие прилагательные.docx

Лабораторная работа 5 По дисциплине Химия (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану).docx

Мануфактура.docx

Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно