выпуклыйЛегко доказатьконус, тогдаследующее: найдется конус С" такой, что |
|
П р е д л о ж е н и е |
|
1. |
|
Пусть С' |
(с |
С , |
где |
С — острый |
|
|
|
и(свсех |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
(у, |
|
|
|
|
|
а |
|
у \• |
|
|
|
при |
|
|
некотором |
б" ^ С" |
С, |
|
а |
|
|
Іу) |
|
|
|
— |
|
|
что| £ | |
|
|
|
|
число— |
|
е |
|
такое| |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а > |
0 |
найдется |
е С ' , |
|
| |
|
|
С "*; |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
| £ |
I |
|
Pc |
(I) |
для2)всех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ее |
|
Обозначим£ ЕЕ С,-I |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Пустъ |
|
|
£ |
|
.Га, |
|
|
|
ЕЕ ^ а>. |
|
П р е д л о ж е н и е |
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
г| е |
|
|
|
|
ц = |
|
|
- f |
£', |
|
г]' = |
| |
— |
|
|
|
|
тогда |
|
|
^ а+а', |
а уFI р' I <[ 2 (а + а') +I' |
| г) | |
|
|
|
некотором |
|
у > 0. |
|
|
|
|
|
как |
|
Ѵ2 (р + |
|
|
е |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
|
|
|
т]') |
= ^ Е |
а, |
|
а |
Ѵ2 (г) —Г]') |
= |
|
|
|
|
е |
|
^а', |
|
ТО |
|
имеем |
|
|
|
у |
е |
рт С. |
— Ѵ2 (у, 1] + |
|
1]')< |
|
а ,— Ѵ2 (у, г) |
|
— т]') < |
а', |
|
|
Складываяу эти неравенства, |
получаем — (г/, ті) ^ |
|
а(+у |
|
а', |
при всех |
|
|
рг(уС, |
, |
т. |
е. |
|
р |
ее |
F a+a'. |
|
|
Кроме того(у, ,из тех |
|
|
|
|
|
у{,у, |
|
|
же |
неравенств |
|
следует, |
|
что |
— |
|
|
rj' ) ^ |
|
|
2а + |
|
>ц),, |
(?/. V ) |
|
< |
2а' |
+ |
|
у |
т]), |
|
так |
|
что |
|
| |
|
|
г|' |
|
| < |
2а + |
|
Г]) |
+ |
+ |
2а' |
|
при всех |
|
ЕЕ рг |
С , |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sup |
|
I(у, іі')|< 2 (а + а') + |ті|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |
|
|
{у, т|') |
|
|
|
|
|
|
|
/ерг с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, так как |
С |
|
— открытый конус, то |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
sup| (у, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ре рг с. |и'|=і |
|
|
|
= |
у |
|
0, |
откуда |
ѵерг с |
|
|
|
rj') |
|
| |
|
у | |
|
|
|
|. |
Таким образом, |
|
|
|
|
Т I 4' I < |
|
|(г/,ті')|<2(а + |
|
а') + |
|т]|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
рерг с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
С |
— открытый острый выпуклыйПространствомконус |
Л п |
|
|
|
в |
|
основныхс вер |
шиной |
нуле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функций |
S c |
|
называется |
|
пространство |
всех |
|
функций |
Ф ЕЕ С(м) |
|
|
|
|
с конечными полунормами а > 0 , |
р = |
0 ,1 ,2 , ... |
IIФНа,р = |
sup |
|
(1 + |
|
|£|p)|-D“9(£)|> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|а|<р, &SFa |
Sc |
|
|
задается |
|
|
счетной |
мультинормой |
|
Топология |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sc |
— полное |
счѳтно- |
{ІМІр, р}р=о, , .. •• Легко доказата, что |
|
|
|
мультинормированноѳ пространство. Однако оно не яв ляется счетно нормированным пространством в смысле определения Гельфанда — Шилова ([101, стр. 29).
Будем обозначать Ха (£) функцию со следующими свой ствами: Ха (£) е е С(оо) и ограничена в Я п вместе со всеми своими частными производными, причем
М 6 ) = |
11 |
£ |
|
р а+ф, |
6= Fa+ |
Е, |
|
о , |
£ |
< = |
|
где е — некоторое положительное число. Такую функцию
Ха |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приводящей функцией. |
|
|
|
|
|
|
нем(£) . |
будемОбратноназывать, пустъ |
|
8 |
|
|
|
|
и |
Ха |
|
|
произвольная |
в |
|
П р е д л о ж е н и е 3. |
|
|
Ха ф Е Е 8 и |
|
— |
|
|
|
|
|
|
приводящая функция,- |
тогдаср |
GE £с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где числа МII ^вф||р^ |
|
М {X) |
* I] ф |
||а + Е , |
рі |
Р |
= |
0> |
!•> •• • |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф. |
|
|
|
|
|
и г |
зависят от выбора Ха и не зависят от |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Первая часть |
|
утверждения |
очевидна, |
вторая |
следует |
из |
|
следующей |
цепочки |
нера |
IIвенств:= |a|<P |
|
|
| I р) I |
Da (Хац>)I < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІР |
|
|
Sup (1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< M i |
sup \D*Xa\- |
|
|
sup |
|
|
(1 + |
|^|Р)|Паф |= М -|ф |а+Е,р. |
|
|
N < P |
|
|
|а |< Р . E f o t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
Tc — |
{г: |
у |
= |
|
Im |
|
z е С } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция— трубае{ |
|
с базисомSc при |
любомТогда справедливоz ( Тс , причем |
|
имеет место оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
П р е д л о ж е н и е |
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
(Z'E) |
€ Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЕЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II ^ 5) L Р < м ( О • (1 + Iz р) (1 + I у и е“ М , |
|
z е= Т О ', |
|
где С ' |
|
|
произвольный выпуклый конус, |
компактный в ко |
нусе С .— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
С |
— некоторый вы |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
|
пуклый конус, |
С |
|
(с |
С |
|
и г б |
|
Т с '. |
|
Имеем цепочку нера |
венств: |
|
|
sup |
|
(1 -Н £ |р)1(^)“ еі(г-5)І < |
|
|
|
|
|
|
|
И |
г'Ч |а,Р = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|а|<Р, 5еРа ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
(1 + |
|
I z |Р) |
|
sup (1 + |
I І р) er<v> ö ^ |
|
|
|
|
|
|
< |
(1 + |
|
I z p) [sup |
(1 + |
\l |
|
p) |
|
|
|
ö + sup я (1 + |
I i p) е-(У' |
Щ. |
где |
C" |
|
£eC” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SeFanc" |
|
С |
(с |
С" |
(с |
С. |
|
|
— произвольный конус такой, |
что |
|
|
|
|
В |
|
силу |
предложения |
|
|
|
1, |
— |
(у, |
I) |
< |
|
— | |
у \ • |
| £ |, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a F a Г) C l d |
{|:FI |
аII. |
< |
|
а/т}; кроме того,— (у, |
|) |
< |
| у |
| ■ а |
при всех I |
ЕЕ |
+ |
Таким |
образом[ s |
, |
М1 |
* |
++ |
|
|
|
|
II е і ( г ’ 5) ||Vа <, |
( ! |
|
|
1 2 |
|р ) |
Ѵu>)p <г*( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t> о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ sup (1 + |
fP) |
е“М ] ^ |
My |
С ') |
(1 + I z |P) [(1у |
-|- |
eaM. |
|
|
( |
|
0<f<a/v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
IУ И |
|
+ |
e a |v |] <M{ C ) (1 |
+ |
|
%I |P) (1 |
+ |
I |
|-P ) |
|
Непрерывные функционалы на Sc будем называть обобщенными функциями. Множество всех обобщенных
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функций |
на |
Sc |
обозначим |
Sc- |
|
Так |
|
как в S c |
|
выпол |
няется первая аксиома счетности, |
то каждая обобщенная |
функция |
из |
Sc |
имеет |
|
конечный2) |
порядок (см., |
|
напри |
|
|
|
мер, [10], |
стр. |
49). Очевидно, |
|
|
d |
S c , |
так что в |
S'c |
обычным |
образом gвводится |
|
понятие |
|
носителя |
; |
будем |
|
|
|
|
g. |
носитель функции |
S c |
обозначать supp |
|
|
|
Л е м м а |
1. |
Пустъ |
g |
g Ez S c |
; |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
g |
e |
S', |
supp |
d |
Pa, |
И |
II |
g |
||Po < |
II |
g |
||a0, Po, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a0 и p0 — числа, определяющие порядок обобщенной функции g. Обратно, пустъ g ЕЕ 8' и supp g d F aa при некотором a0; тогда g однозначно расширяется до
функционала g' ЕЕ S c и справедлива формула
( ё \ ф) — (#> ^ao ф)> Ф £= •S'ci
где~^Кас — произвольная приводящая функция. При этом
II ë ’ l k + 6 Po. ^ M t •I g ||po>
где Po — порядок обобщенной функции g ЕЕ § ', а г — про извольное положительное число.
|
|
Д оgк а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть |
g |
|
d |
S C', |
очевидно, |
что |
|
g |
d |
8'. |
Покажем, что |
существует |
|
а |
> |
|
0 такое, что |
supp |
|
|
F |
a• |
|
(g,Допустимcpk) = |
противное. |
Тогда |
|
для |
любого |
|
d Fh |
|
|
k |
= |
|
0, 1, . . . |
|
найдется |
tpfe |
d |
S c |
такое, |
что supp cpft |
d |
F |
|
|
|
|
d |
Л?" \ |
|
и |
|
|
|
1. |
Так как |
|
cpft+1 |
равна |
нулю |
на |
|
h |
вместе(g, фйсо) |
всеми своими |
кпроизводными= |
, |
|
то |
|
(pft ->■ |
0 |
в |
Sc |
при |
к |
оо, |
что противоречит непрерывности |
g |
и ус |
ловию |
|
|
|
= |
1 для всех |
|
|
0, |
|
1, . . . |
|
Из |
получен |
ного противоречия следует, |
что supp |
g |
d |
F a |
при некото |
рома0а. В |
асилу конечности |
порядка |
|
g ЕЕ S c |
найдутся чис- |
ла |
|
|
|
и |
р0 |
такие, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф I k |
,Pa, |
|
|
ф |
е |
S c - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|( £ , ф ) К Ік I k |
,Pa • II |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это |
|
неравенствоф 1квместе. |
с |
очевидным |
неравенством |
|
|
|
II |
|
Ро^ |
II |
Ф |
® » |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф ІІРо> |
|
|
|
завершает доказательство |
|
первой части утверждения. |
а |
|
Обратно, пусть |
g |
8 ', |
|
supp |
g d |
F a |
при некотором |
|
(g',е |
|
|
|
|
|
и |
Ха |
— некоторая |
приводящая функция. |
Для каждой |
Ф G |
5с положим |
|
ф) = |
(g, |
А,а ф). Так как 1а ф £ § , |
|
|
то правая часть равенства определена. Учитывая предло
жение 3 |
Iи конечностьI |
|
|
|
|
g d 8 ' , |
имеем |
|
|
|
|
|
|
порядкаII II |
Ik |
М |
II |
g' |
|
|
|
|
gg' |
|
F a, |
|
g' |
|
g |
|
8. |
|
|
|
II |
g |
1|р0 |
|
|
|
|
I (ff' >ф) |
= |
|
(ff» |
Кѵ) К |
|
ff ІІРо • |
|
^ а ф |
< |
|
■ |
|
• |
|
ф ||а+е, р0, |
так что |
|
|
d |
S'c . |
Поскольку |
|
Ха |
(£) = |
1 |
|
при |
|
|
\ |
d |
|
F a+Slz, |
|
d |
|
g |
|
|
|
|
|
|
являет |
а supp |
|
|
|
то |
|
= |
|
на |
|
|
Таким образом, |
8 |
|
ся расширением |
|
на |
Sc- |
В |
силу плотности в |
|
в |
S c |
это |
|
|
|
|
|
|
расширение однозначно и не зависит от выбора приводя
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щей функции |
Ха. |
Отсюда и из полученного выше неравен |
ства следует, |
что |
I |
g' |
||о+£, |
Po |
^ |
|
• g |
||р„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с произвольным 8 |
|
|
|
I |
|
|
завершает дока |
|
0. |
Это неравенство |
|
зательствоg и g'.предложения. |
|
|
|
|
|
|
мы |
|
будем |
отождест |
З а м е ч а н и е . |
В |
дальнейшем |
|
влятьS c |
можно ввести различные топологии. Так, |
|
напри |
В |
|
|
мер, |
слабая |
топология вводится |
|
следующим |
образом: |
слабая |
окрестность |
нуля |
в |
пространстве |
|
Sc |
Sзадается |
с помощью конечного множества |
{фь}л:=і |
|
jv CT |
с |
и чи |
сел eft |
|
|
0 какI |
совокупность всех |
g d |
S c |
таких, |
что |
|
|
|
|
. . . . |
|
|
|
|
|
|
|
(ff, Ф а) |
I < |
£/м |
|
А: = |
1, |
|
-ZV- |
|
|
|
|
|
|
Можно доказать ряд свойств пространства |
Sc- |
В част |
ности, |
S c |
полно |
|
относительно |
слабой |
|
сходимости. Это |
следует из полноты пространства |
Sc- |
Кроме того, |
|
можно |
доказать, что |
если |
последовательность |
|
|
|
|
g |
^ ( с л а |
бо) сходится |
в |
S ’c |
к |
обобщенной функции |
|
d |
|
S c, |
то |
supp |
go |
d |
F a, |
V |
|
= |
1, |
2, . . . |
при |
|
некотором |
a |
> 0. |
|
' О п р е д е л е н и е |
|
2. |
|
Преобразованием |
Лапласа |
|
|
g |
d |
Sc |
называется функция |
8 [g] |
обобщенной |
функции(g |
|
|
|
|
|
/ (z) |
= |
8 |
|
[g] (z) |
= |
|
|
(g), |
с«'-*)), |
|
2 d |
|
T c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу предложения 4 выражение справа в последнем равенстве определено. Заметим, что наше определение
преобразования Лапласа отличаетсяі |
от принятого в кни |
ге Зѳманяна наличием множителя |
в экспоненте. |
Используя предложение 2 и простые оценки, легко |
доказать следующее |
|
|
|
|
Пустъ |
Е |
Тс \ |
обозначим |
П р е д л о ж е н и е 5. |
|
|
|
z 6 |
|
|
|
|
' K ® “ |
i(z,Z)HAzkZk |
|
i(ZiZ) |
|
|
* = |
|
‘ ..............* |
--------- - д г - 5---------- sf-« * -® . |
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
тогда |
і|)дГк —>■ |
0 |
в Sc при |
|
Д |
zk |
0.преобразование |
Лапласа |
|
|
Пустъ |
|
|
|
Л е м it а |
2. |
|
|
е = |
/ (z) — |
/ (z) — |
|
|
|
обобщенной функции g |
Sc', |
тогда |
голоморфная |
в Тс функция и имеет |
|
|
|
|
|
|
I / (*) I < |
|
|
|
|
место оценка: |
z е= |
Т * , (1) |
М |
(С ) |
(1 + I г П (1 |
+ I у I |
|
где С — произвольный конус, компактный в С ', причем числа р и а не зависят от С '.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Фиксируем z 6Е Тс . В силу предложения 5
/ (z + |
Az.. — / (z) |
~ |
{ |
^ |
а ) |
|
= |
|
I |
(g, |
I < |
|
S |
Ik, Po ‘II |
^Azk |
||o0, j)0—>0, |
|
|
|
|
|
^ II |
|
при |
|
Azfc->0,& |
= 1, . .. ,тг. |
Отсюда следует, |
что / (z) |
имеет все частные производные, |
причем |
= (« f |
f i |
) |
. |
= |
|
( i U 8), ««'•Ч- |
Таким |
^ |
|
образом, |
/(z) |
голоморфнаТ |
по каждой |
переменной |
в отдельности и, |
следовательно, |
в силу фундаментальной |
теоремы Гартогса голоморфна в |
|
с . |
Оценка (1) легко вы |
|
|
|
текает из предложения 4 и конечности порядка обобщен
ной функции |
g |
se |
Sc- |
Имеет место равенство |
• |
|
|
|
D*С л е д с т в и е 1. |
|
|
/ (z) = |
D a (g |
(I), |
ö*(*. *>) = ((£ 6)- jr (g), ei(z, И), z e |
Г с. |
|
|
С л е д с т в и е 2. Оценка типа (1) имеет место также для всех производных функции / (z).
Обычно используют другое определение преобразо вания Лапласа, предложенное Л . Шварцем [1]. Это