Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

сти в плоскости корней. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, система неустойчива. Необходимым и до­ статочным условием устойчивости системы является расположе­ ние всех корней характеристического уравнения в плоскости кор­ ней слева от мнимой оси. Это утверждение является основным для исследования устойчивости линейной системы.

Вычисление корней характеристического уравнения в ряде случаев вызывает затруднения. В связи с этим представляют ин­ терес критерии устойчивости, позволяющие решить вопрос об устойчивости системы без нахождения корней характеристиче­ ского уравнения.

Как уже отмечалось, в систему уравнений динамики ЖРД входят уравнения в частных производных, при решении которых получаются члены с запаздывающим аргументом. При наличии в системе запаздываний характеристическое уравнение системы оказывается не алгебраическим, как уравнение (2.15), а транс­ цендентным из-за членов с множителями типа е_~г.

Трансцендентное уравнение имеет бесконечное количество корней, что усложняет анализ устойчивости системы. В частности, для таких систем нельзя использовать алгебраические критерии устойчивости' (критерий Рауса, Гурвица), но применимы крите­ рии устойчивости Михайлова и Найквиста.

Критерии устойчивости позволяют ответить на вопрос, устой­ чива или неустойчива система, для которой известны все пара­ метры. В ряде случаев представляет интерес получить, кроме того, ответ на вопрос, как влияет изменение отдельных парамет­ ров системы на ее устойчивость, а в случае неустойчивой систе­ м ы — определить направление необходимых изменений характе­ ристик отдельных элементов системы, обеспечивающих ее стаби­ лизацию.

Эти задачи можно решить, если построить области устойчи­ вости, т. е. определить области таких сочетаний параметров, при которых система будет устойчива. Область устойчивости в про­ странстве параметров системы отделяется границей устойчивости. Области устойчивости строят в плоскости одного или двух пара­ метров системы. Удобнее использовать области устойчивости в плоскости двух параметров. Наиболее распространенным являет­ ся метод О-разбиения [2 ].

Выбрав два параметра системы /л и X, приравняем нулю ха­ рактеристическое уравнение:

0 (/ш, р, Х)= 0 .

Выделив в этом уравнении вещественную и мнимые части:

(2.16)

находим два уравнения, определяющие положение границы устойчивости в параметрах ja и X. Так как .D-разбиение дает

93

отображение мнимой оси в плоскости корней на плоскость пара­ метров системы, то зависимость (2.16) определяет не только гра­ ницу устойчивости, но и всю совокупность кривых, отделяющих друг от друга области с одинаковым числом корней характеристи­ ческого уравнения, имеющих положительную вещественную - часть. При переходе с одной стороны на другую (т. е. при пере­ сечении каждой кривой) число корней с положительной вещест­ венной частью изменяется на два (так как все комплексные кор­ ни попарно-сопряженные).

Д.пя выбора области устойчивости из всех областей, даваемых D-разбне- ниям, используется правило штриховки, показывающей направление, и кото­ ром число корней с положительной вещественной частью увеличивается. При перемещении вдоль кривой Д-разб.нення в направлении роста частоты ш сто­ рона, которую надо штриховать, определяется знаком определителя

При построении кривой ІЗ-разбпенпя необходимо соблюдать порядок рас­ положения членов в определителе (2.47) и строить кривые ® плоскости пара­ метров X — |х так, чтобы на оси абсцисс откладывать ц, а на оси ординат — X. Штриховка направлена при этом в сторону области с меньшим числом корней с положительной вещественной частью, в частности, и в сторону области устойчивости. Пользуясь этим правилом, можно выбрать область с минималь­ ным числом корней на плоскости справа от мнимой оси.

Границы D-разбиения не позволяют однозначно решить во­ прос об устойчивости. Для окончательного решения вопроса, является ли выбранная область областью устойчивости, необ­

сти хотя бы для одной точки предполагаемой области устойчи­ вости. Если условия критерия устойчивости выполняются для этой точки, то они будут выполняться « для всех других точек этой области.

Пример D-разбиения приведен на рис. 2.11. Здесь k — воз­ можное значение корней с положительной вещественной частью. Область «k—4», имеющая минимальное число корней справа от мнимой оси, может являться областью устойчивости.

Каждая точка кривой D-разбиения соответствует определен­ ной частоте м. Таким образом, по кривым D-разбиения можно установить не только факт потери устойчивости, но и опреде­ лить частоту возникающих колебаний.

Система уравнений динамики Ж РД имеет достаточно высо­ кий порядок и в то же время содержит много членов с запазды­ вающим аргументом. Транспортные запаздывания появляются в первую очередь в уравнениях газовых емкостей, причем связа-

94

ны они с энтропийными волнами, распространяющимися вдоль всего газового тракта. Ниже, в гл. IV, будет показано, что нали­ чие энтропийных волн в газовых трактах является одним из определяющих факторов, формирующих динамические характе­ ристики двигателя.

Естественно, что пренебречь энтропийными волнами нельзя. Аналогичное положение имеет место с акустическими волна­ ми в гидравлических магистралях и газовом тракте при анализе

динамики отдельных контуров ЖРД и двигателя в целом в диапазоне от­ носительно высоких частот, близких к соответствующим собственным ча­ стотам акустических колебаний в указанных элементах. Уравнения же передаточных функций этих звеньев при учете акустических эффектов также содержат члены с запаздыва­ нием.

С другой стороны, не целесооб­ разно упрощать уравнения путем разложения в ряд соответствующих членов уравнения по степеням про­ изведения частоты и времени запаз­ дывания, так как в этом случае (ес­ ли учитывать члены выше первой степени) повышается порядок урав­

нения, что только усложняет расчеты на ЭВЦМ. Кроме того, не­ обходимо обратить внимание, что при разложении в ряд экспо­ ненциальной функции

е± рт= і + p ^ . р2Т2 ^ рЗтЗ

2 ! 3!

получаются отрицательные члены, что в соответствии с алге­ браическим критерием устойчивости свидетельствует о неустой­ чивости системы, в то время как система может быть устойчивой. В связи с этим к разложению в ряд членов с запаздыванием необходимо относиться с осторожностью.

Следует сделать еще одно принципиальное замечание. Приня­ тые динамические модели описания процессов в отдельных эле­ ментах пригодны для ограниченного диапазона частот. Действи­ тельно, даже при учете акустических эффектов в трубах для жидкости и газовом тракте двигателя расширять диапазон ча­ стот не имеет смысла, так как в уравнениях газогенератора и камеры сгорания нет возможности учесть специфику динамики сложных и недостаточно изученных физико-химических процес­ сов в зоне горения, особенно существенных для высокочастот­ ных колебаний. Кроме того, в приведенных ниже, уравнениях учитываются только продольные моды акустических колебаний

95

газа, но не учитываются тангенциальные и радиальные моды. Естественно, что еще большие ограничения по диапазону частот, в котором справедливы расчетные зависимости, имеют место для упрощенных уравнений, где не учитываются акустические эф­ фекты.

Возможен случай, когда характеристическое уравнение сис­ темы имеет корни с положительной вещественной частью и боль­ шими значениями мнимой части, что говорит о неустойчивости системы по отношению к колебаниям высокой частоты *. Одна­ ко сами уравнения не описывают с достаточной достоверностью поведение системы при колебаниях с высокой частотой. В связи с этим недостоверными оказываются результаты анализа устой­ чивости и динамических характеристик системы при частотах, превышающих некоторый предел. В этом случае производить расчеты системы вне диапазона достоверности по частоте неце­ лесообразно.

Анализ устойчивости системы с запаздываниями имеет неко­ торые особенности. В частности, для анализа устойчивости подобных систем, как уже отмечалось, не пригодны алгебраиче­ ские критерии устойчивости. Можно использовать частотные критерии [2, 12], критерии Найквиста, Михайлова [60, 21] или строить границы £>-разбиения системы [64]. Формулировка кри­ терия Михайлова в этом случае несколько изменяется [21]. Для того чтобы линейная система, включающая в себя также звенья

щаясь в нуль, повернулся вокруг начала координат против ча­ совой стрелки на угол (п/2)п, где п — степень полинома

D( со).

В формулировке критерия Михайлова для системы с запаз­ дыванием отсутствует требование монотонного изменения аргу­ мента при увеличении частоты. В связи с этим по виду кривой Михайлова в каком-нибудь ограниченном диапазоне частот нельзя сделать вывод даже о неустойчивости системы **, кото­ рый для обычных систем сразу следовал из факта нарушения монотонности изменения угла поворота вектора годографа. В то же время, как уже было отмечено, система уравнений двигателя достаточно корректна только в относительно узком диапазоне частот, и нарушение требований критерия Михайлова в диапа­ зоне частот до со=+оо не свидетельствует о неустойчивости си­ стемы в более узком диапазоне частот, для которых собственно только и пригодны эти уравнения.

* Мнимые части корней характеристического уравнения определяют ча­ стоту колебаний системы.

** Кроме случая прохождения кривой годографа через начало координат.

96