Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

сти в точке О на величину

Общее изменение скорости элемента складывается из изменения скорости за единицу времени в данной точке

Название субстанциональной производной указывает, что уско­ рение относится к движущемуся элементу среды (субстанция). При установившемся движении dw/dt = 0, но ускорение движу­ щейся среды все же может иметь место вследствие влияния вто­ рого члена, характеризующего изменение скорости вдоль потока.

Приравняем изменение количества движения элемента сум­ ме действующих на элемент сил:

го режима течения обычно выражается через коэффициент тре­ ния g, т. е.

103

Полученные уравнения являются • нелинейными, и, кроме того, эта система уравнений незамкнутая, так как в качестве перемен­ ных в два уравнения входят три величины: р, р и w. ■

Для замыкания системы необходимо к полученным двум уравнениям добавить третье — уравнение состояния среды. В об­ щем случае в уравнение состояния входят не только давление и плотность, но и температура среды. Для капельной жидкости в

где ро — плотность жидкости при давлении р0\

Кт — модуль объемной упругости жидкости.

Вобщем случае модуль объемной упругости зависит от темпе­

ратуры жидкости. Однако в условиях двигателя в проточной части элементов (кроме зарубашечной полости камеры сгора­ ния) температура компонентов изменяется незначительно. По­ этому можно принять К т величиной постоянной. Для исключе­ ния из уравнений (3.1) и (3.5) плотности чаще пользуются не законом Гука, а соотношением, определяющим скорость рас­ пространения звука в среде. Эта скорость в общем случае опре­ деляется уравнением [79]

где а — скорость распространения малых возмущений в непод­ вижной среде. Подставив в уравнение (3.7) соотношение закона Гука (3.6), найдем зависимость для скорости звука в капельной жидкости:

Для идеального газа скорость распространения звука (т. е. скорость распространения малых возмущений) находится из условия, что процесс сжатия газа в звуковой волне — адиабати­ ческий, т. е. 'без теплообмена. Тогда

Эта форма соотношения для скорости звука может быть исполь­ зована в качестве третьего уравнения системы уравнений дви­ жения среды в канале.

104

Вряде случаев можно упростить задачу о колебаниях жидко­ сти в трактах, пренебрегая распределенностью параметров. При этом расчетные зависимости существенно упрощаются. Такие упрощения допустимы в .случае, если частота колебаний невели­ ка, т. е. существенно меньше, чем собственная частота (первый тон) колебаний жидкости.

Вопрос о колебаниях жидкости в трактах в литературе осве­ щен недостаточно, поэтому особенности распространения волн давления и скорости по трактам (акустика труб) рассмотрены ниже подробно.

3.2.УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИИ ЖИДКОСТИ В ГИДРАВЛИЧЕСКОМ ТРАКТЕ

Вуравнение движения (3.5) входит нелинейный член с квад­ ратичным трением. При анализе неустановившегося движения

жидкости обычно квадратичный член линеаризуют [79]. В этом случае система уравнений гидромеханики, описывающая дви­ жение в однородном цилиндрическом тракте, принимает такой вид (в пренебрежении массовыми силами):

Величину параметров можно связать с перепадом давления Ар из-за гидравлических потерь на трение жидкости о стенки на всей длине тракта. Учтя соотношение гидравлики

где 1 — длина тракта, находим

(3.14)

р w l

Для замыкания системы уравнений (3.11) —(3.12) можно вос­ пользоваться соотношением (3.7) для скорости звука, записав

* В книге И. А. Чарного [79] при определении коэффициента Ь при члене

•с вязким трением используется не гидравлический диаметр, а гидравлический радиус.

105

его в следующей форме:

др_ д?

Использовав последнюю зависимость, исключим производ­ ные от величины плотности в уравнении (3.12). В результате находим окончательную форму уравнения неразрывности:

(3.15)

Скорость распространения звука в тракте зависит как от моду­ ля объемного сжатия жидкости Кя<, так и от характеристик тру­ бы [79]:

где Е — модуль упругости материала стенок трубы; р — плотность жидкости;

11 — параметр, зависящий от формы поперечного сечения трубы.

Для тонкостенных труб круглого сечения Н. Е. Жуковским по­ казано, что T) = D/6 ,

где D — внутренний диаметр трубы; б — толщина стенки трубы.

Для труб большой толщины имеются более сложные зависи­ мости, определяющие коэффициент т) [26]:

где V — коэффициент Пуассона. Влиянием продольных дефор­ маций трубы, возникающих при колебаниях давления внутри трубы, и инерцией стенок трубы, как показано в работах [26, 42],. можно пренебречь.

Трубы, идущие от баков ракеты, к двигателю, тонкостенные и благодаря этому могут легко изменять форму поперечного сече­ ния. Изменение профиля поперечного сечения трубы сказывает­ ся на скорости распространения звука. В работе [35] показано,, что скорость распространения звука у труб некруглого сечения уменьшается из-за увеличения податливости стенок, которые в этом случае работают не только на растяжение, но и на изгиб. Для тонкостенных труб некруглого сечения коэффициент формы

106

у ’ (1 + Р)(5—2ß + 5ß2)

п2 (Юр — ß2— 1)

где ß — отношение малой полуоси овала к большой.

При небольшой эллипсности коэффициент г| с достаточной точ­ ностью может быть представлен в виде

толщины стенки трубы, то величина трдля трубы овального сече­ ния будет существенно выше, чем для трубы круглого сечения. Благодаря этому скорость распространения звука при наличии эллипсности трубы существенно уменьшается. Так как трубы между баком ракеты и двигателем имеют обычно малую толщи­ ну, то для них небольшая эллипсность существенно влияет на скорость распространения звука. При этом, однако, не следует забывать, что под влиянием внутреннего давления эллипсность трубы уменьшается.

Для оценки влияния различных параметров приведем урав­

и масштабные параметры: I — длина тракта;

■иуср—-среднее значение скорости; р ср— среднее значение давления;

Ija— время пробега акустической волной от начала до конца тракта.

107