Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

Скачать файл (13,33Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 190

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

первое уравнение принимает следующий вид:

d w x _	Pep	d p	I L	ц	/	I 1	d w x	\	(з go)
d t	9w cpa	д х	R	?a R	\ d r 2	r	d r	)

В результате аналогичных преобразований второго уравнения

движения (3.57)		имеем
R 2	d w r	.	R 2w	—	d w r		R 2w cp	wr	dwr
L 2	d T	'	L 2a	- W T	------		L 2a	wr	d r
L 2	d T	'	L 2a		d x		L 2a		d r
Pep	d p	1	¥■	d 2w r	, [	2	d2w r	1	d w r	w r
pwcpa	d r	paL		d r 2	1	I	d x 2	г	d r	r 2

В левой части этого уравнения все члены имеют коэффициенты R2/L2<c l , т. е. ими можно пренебречь. В правой части все члены, кроме первого, имеют коэффициент ц/(рab). Последняя величина заведомо весьма малая. Действительно, ее можно представить следующим образом:

н __	I-1	R	w _
рciL	рw R	L	a

I R до

Re L '

и так как каждый из сомножителей — величина, меньшая едини цы, то и их произведение во много раз меньше единицы. Если воз никают сомнения о величине числа Рейнольдса, то этот же вывод можно сделать просто из анализа структуры безразмерного комп лекса раЫц. Этот комплекс является аналогом числа Рейнольд са, в котором в качестве масштабной скорости используется ско рость звука, а в качестве линейного масштаба— длина тракта. Скорость звука существенно больше скорости жидкости, а длина тракта больше диаметра, используемого в качестве масштаба

. при определении числа Рейнольдса потока в тракте. Благодаря этому анализируемый безразмерный параметр должен быть на порядки больше числа Рейнольдса для потока в тракте. Совер шенно ясно, что можно пренебречь членами, перед которыми сто ит обратная величина этого комплекса. Итак, от второго уравне-

д р п

ния остался один член ^ - = 1 ), т- е. давление в разных точках

d r

поперечного сечения тракта одинаково. Прежде чем приводить к безразмерному виду уравнение неразрывности (3.58), преоб разуем его, исключив из него с помощью уравнения состояния (3.59) производные от плотности жидкости. В результате полу чаем

а 2 a t		d r	г		d x
I	Wr	d p	, w x	d p	(3.61)
'	a 2	d r	a 2	d x	(3.61)
'	a 2	d r	a 2	d x

128

Подставив в уравнение (3.61) безразмерные величины и разде лив все члены на pcp/(aL) (коэффициент при первом члене), на ходим

др_	ршсра	dwr	рмУрЯ	®г	р®сра	I
дТ	Рср	дг	Рср	г	Дер	дх
	®ср		™СР — др			0.
	а		-----wx		—£	0.
	а			«	дх

Последние два члена уравнения неразрывности имеют коэффи циенты М<§П и ими можно пренебречь. Окончательно уравнение неразрывности преобретает форму

Дер	dp _\|_	dwr	_\|_ wr ,	dwx	(3.62)
pwcpa	dt	dr	r	fix

После упрощения уравнения движения (3.60) и неразрывности (3.62) оказались линейными. Однако граничные условия в гид равлических трактах часто оказываются нелинейными. В связи с этим их необходимо линеаризовать, переходя к решению в виде суммы средней постоянной составляющей и малой переменной вариации параметра: р — рср-\-8р', откуда

		Р=		I	Ър'	1-\-Ър.
		Р=			Рср	1-\-Ър.
					Рср
Аналогично		wx= 1-j- bwx\			Swr
Произведя замену переменных, получаем для малых безраз
мерных вариаций параметров жидкости.
			Уравнение движения
	dbwx	1	дЬр __	1	L_ I d-bwx ^			1	дЪwx \ _	(3.63)
	дТ	а	дх	Rea	R \ dr-		'	7	= 0.	(3.63)
	дТ	а	дх	Rea	R \ dr-		'	7	дТ )
			Уравнение неразрывности
		1	<35 р _j_	dbwr	5«у _\|_ дбтец-					(3.64)
		а	ді	дг	г		дх			(3.64)
		а	ді	дг	г		дх
0	Р®сра				волновое		сопротивление;
Здесь	а = ----------приведенное				волновое		сопротивление;

Дер

Rea= - ^ ^ — число Рейнольдса по скорости звука в жидко-

сти.

Уравнения в малых отклонениях (3.63) и (3.64) не отлича ются от уравнений исходной системы (3.60) и (3.62). Это озна чает, что все полученные ниже решения пригодны и для исход

5—3714

129

ной системы, в которой не вводятся малые отклонения, но толь ко при линейных граничных условиях.

Как и раньше, ищем частное периодическое решение системы уравнений (3.63) — (3.64) в форме

8/7 — 8/?е'“'; 8®7Л.= 8т(у1.е'“'; bwr— bwre‘ai,

(3.65)

где (о=сoLja, а Ьр, 8®л., bwr— безразмерные амплитуды соот ветствующих вариаций парамет ров.

Амплитуды — величины комплексные, зависящие от частоты,- Так как решения в форме (3.65) определяют режим установив шихся вынужденных колебаний системы, то начальные условия не оказывают влияния на решения и в связи с этим интереса не представляют.

Подставив решения (3.65) в систему уравнений (3.63) и (3.64), переходим к дифференциальным уравнениям, опреде ляющим амплитуды колебаний давления и скорости вдоль оси тракта и эпюру скорости по радиусу:

	+		\ дг 2			(3.66)
	/и.<х	& х )	\ дг 2	г	дг	1
		+	+ ^	\| l =	0 .	(3.67)
а	дг	г		д х

Приняв первую скобку в уравнении (3.66) за новую переменную

+ —	-^г- = 8і,	(3.68)
іша	д х

подставив Ьгдх из выражения (3.68) в уравнение (3.66) и учтя условие döpldr = 0, получим

cßbz I	1	dbz ■_ "г>		^ 5.— о	/о c m
—з — I—- —			---- ш Rea— 8z = 0.		(3.69)
dr2	г	dr		L

Это уравнение типа Бесселя для новой переменной öz. При от сутствии вязкости, т. е. при |і = 0, öz=0. Физический смысл пе ременной 6z — дополнительные колебания давления, связанные с влиянием вязкости жидкости. Уравнение (3.69) имеет решение, конечное при Г=0, в виде зависимости

	8z — C(u>, x )J 0(ir j / " Reaiio-^-'),	(3.70)
где J0	I — функция Бесселя нулевого	порядка
	■ 1-го рода от комплексного аргумента.

130

Тогда

1	д Ь р
bwx
iwа	д х

С (to, х) У0

(3.71)-

Учтя, что на стенке трубы при /•=il					= 0,		находим из выраже
ния (3.71)
гч~		1	dop			1	=-
с к	х) = — --- ■£-------:------7-						=-
		іч.а	д х	I . 1		/	^ R
				h \	V	,L°
и, подставив С(а, х)		в уравнение (3.71), получаем
8®*	1	д Ъ р					(3.72)
8®*	іыа	д х					(3.72)
	іыа	д х

Соотношение (3.71) определяет связь скорости с градиентом давления вдоль тракта. Первый член правой части дает обычное соотношение между амплитудами скорости и давления в трак те при решении задачи в одномерной постановке. Второй член связан с распределением скорости по радиусу, и наличие этого члена показывает, что связь между скоростью и градиентом дав ления различна для разных точек сечения.

Введем среднюю по сечению амплитуду безразмерной скоро

сти бwx:

nwx (x, (u)=— j* 2яг8даѵ(x, г, ш)сіг,

которую можно найти из зависимости (3.72), использовав фор мулы теории Бесселевых функций [30] *:

8и>д.(jc, ш) =

1	d b p
iwа	d x

4	- 4 ^ 1 - л и ],	(3.73)
ш а	d x

* После интегрирования по радиусу в качестве переменной в уравнении

остается только продольная координата х. Поэтому символ частной произ водной по X можно заменить на символ полной производной.

131

где J x іш Rea R_ — функция Бесселя первого рода пер-

вого порядка;

А (ш) =

Проинтегрируем по радиусу уравнение неразрывности (3.67), предварительно умножив все члены на 2яг.

я	8р-[-2я ^ г	dbwr	, п	Г		1	dbw..	Л
я	8р-[-2я ^ г	—zr~dr-\-2 я		\ 8	тіуг0?г-)-я		—^	= 0.
	о	d r		J			дх
	о
Здесь öp = 5p, так как давление			от	радиуса		не	зависит. Легко

показать [36], что после интегрирования по частям третьего члена

(учтя, что 8wr= 0 при 7=1)	третий член сокращается со вторым.
Тогда		dbwx
8 р = — а		dbwx		(3.74)
	Ій)	dx
и после дифференцирования по х находим
dbp	а	d2bwx		(3.75)
d x	ш	dx 2		(3.75)
d x	ш	dx 2
Подставив döp/dx из выражения		(3.73) в соотношение		(3.75)
после преобразований имеем
d4wx	О'щ)2	8щт,.і=0.		(3.76)
dx%		8щт,.і=0.		(3.76)
dx%	а [1 — А (ш)]
Обозначив	1
	1
	А (ш) — 1
= ------------------------— І------- ---------				(3.77)
2	J 1 ( i 3 i 2 Y < * R e a R I L )		г
i ^ V ^ a	h U3ßY«ReaRIL)