Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

и из второго граничного условия (3.38)

Здесь а' = і ^ - А = а і _ .

РCO

Для свободных колебаний жидкости, т. е. колебаний .без внеш­ них возмущающих воздействий, если в соотношениях (3.43) и (3.44) принять буі=бу2 = 0, то из них определяется связь между параметрами на входе и выходе тракта:

трі, находим соотношение для входного сопротивления тракта длиной I:

Из уравнений (3.43) и (3.44) определяем соотношения для коэффициентов С и D:

Тг (д' — Фі) ву2 — Ті (а' —г Фг) е !Нуі . (а' + Фі) (а' - ф2) е~/й - (а' - <h) (а' + Фг) е,й ’

Т2 (а' + Фі) 8#г — Ті (Д' + ф2) егй8ух_____

(а' + Фі) (“' — Фг) е~г* — (а' — фц) (а' + ф2) е/й

Подставив значения коэффициентов С и fl в решения (3.34) и (3.35), после преобразований получаем

(Д' + Фі) (а' — Фг) е~'й —.(а' — Фі) (а' + фг) еій

117

зависят от свойств жидкости, длины тракта и граничных импедансов -фі « фг-

При свободных колебаниях öyi = 6 г/ 2 = 0, и в то же время ам­ плитуды колебаний давления и скорости в общем случае отлич­ ны от нуля. Это возможно, если знаменатель в решениях (3.47) и (3.48) равен нулю. Условие равенства нулю характеристического

рактеристическое уравнение (знаменатель уравнений (3.45) и (3.46)) запишется так:

тельной и мнимой частей, решение которых возможно только чис­ ленно. Оценим величину

жидкости можно пренебречь. Этот факт хорошо известен в тео­ рии колебаний [75]. Без учета трения характеристическое урав­ нение существенно упрощается. Если принять, что собственные

числа системы — величины комплексные ß= v-t-ico, то после

119

ния, т. е. система не имеет собственной частоты. Это условие является граничным [см. формулу (3.52)] для перехода * системы от собственной частоты, соответствующей симметричным гра­ ничным условиям, к собственной частоте, соответствующей несимметричным граничным условиям, т. е. соответствующей пе­ реходу от тракта с обоими открытыми или обоими закрытыми (в акустическом смысле) концами к трубе с одним открытым, а другим — закрытым концом.

120

Таким образом, в зависимости от значений ірі/а и ф2/а по сравнению е единицей изменяется собственная частота и форма свободных колебаний жидкости в трубопроводе. Условие равен­ ства одного из граничных импедансов волновому сопротивлению, т. е. ф2 = а или фі = —а, является одновременно условием полно­ го выноса из системы (без отражения) акустической энергии. Этот режим работы магистрали аналогичен режиму электриче­ ской цепи с согласованной нагрузкой [76].

В отличие от электрических цепей в трубопроводе возможен режим с полным выносом колебательной энергии не только в сторону движения жидкости, но и против потока, в сторону вхо­ да в тракт при совпадении величины — а с входным импедансом фі, который для устойчивой системы обычно имеет отрицатель­ ный знак.

При согласованной нагрузке и вынужденных колебаниях в системе имеют место колебания с бегущими волнами, амплиту­ да которых постоянна вдоль тракта. Наиболее простое объясне­ ние эффекта отсутствия отражения заключается в том, что при совпадении величины волнового сопротивления со значением граничного импеданса (т. е. со значением местного сопротивле­ ния) на конце падающие волны «не замечают» местной неодно­ родности и выходят из трубы без отражения на конце. Этот ре­ жим как раз соответствует случаю бегущих волн, т. е. режиму согласованной нагрузки или полному поглощению колебаний на соответствующем конце трубопровода.

При изменении значений параметров фі/а и ф2/а по сравнению с единицей собственная частота колебаний жидкости скачком изменяется в два раза. В плоскости параметров фі/а и ф2/а можно выделить области с различными значениями собственной частоты .(рис. 3.4).

Собственная частота со = дя (п= 1, 2, 3, ...) в акустике [71] соответствует трубе с обоими открытыми или обоими закрытыми концами. В плоскости параметров фі/а и ф2/а этой частоты соот­ ветствуют области |ф і/а| < 1 и |ф2/а | < 1 или [фі/а| > 1 и |ф2/ а | > 1 , т. е. также симметричные (по отношению модуля им­

педансов к единице) граничные условия. Собственной частоте а — = (2п+1)л/2 (п = 0 , 1 , 2 , 3, ...), так же как и в акустике соответ­ ствуют несимметричные граничные условия:

I фіja I < 1 и I ф2/а I > 1 или | ф,/а | > 1 и | <]>2/а | < 1.

Это показывает, что для гидравлических трактов с протоком жидкости открытым в акустическом смысле является тот конец, для которого модуль отношения граничного импеданса к волно­ вому сопротивлению меньше единицы, и закрытым — для кото­ рого модуль этого отношения 'больше единицы.

В частных случаях (в том числе и в трактах двигателя) воз­ можны и простейшие граничные, условия, рассматриваемые

121