Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

обычно в акустике. Например, если на входе в тракт из баллона или бака (рис. 3.5) отсутствует местное сопротивление (ворон­ когаситель, фильтр, шайба, клапан и т. д.), то в первом приближении * можно принять, что при х = 0 öp « 0 , т. г. фі « 0 .

Другой случай — закрытого конца тракта (сфг->-оо) — осуще­ ствляется во входных трактах перед насосом (рис. 3.6). Так как насос создает большой напор и давление за насосом существен­ но больше, чем давление перед насосом, то колебания давления

4

3 =

іперед насосом (сечение х = 1), передаваясь по тракту в насосе на выход, оказываются очень маленькими по сравнению со средним уровнем давления за насосом. Так как расход через насос опре­ деляется условиями за насосом, то при малом уровне колебаний давления за насосом соответственно будут малы и колебания рас­ хода и скорости жидкости на входе в насос. Благодаря этому в первом приближении ** можно_принять, что на входе в насос

(х=1) выполняется условие бау»0, т. е. ф2-ѵоо. При определен­ ном сочетании параметров фі/а и ф2/а система может потерять

152

устойчивость [27], т. е. амплитуда одной из гармоник начнет не­ ограниченно (в линейном приближении) возрастать. •

Приведенное выше соотношение (3.54) определяет условия устойчивости системы, т. е. условия устойчивого течения жидко­

сти в тракте. Так как величина ѵ определяет затухание свобод­

ных колебаний жидкости в тракте, то ѵ = 0 соответствует границе устойчивости системы — в этом случае свободные колебания не

затухают. При ѵ>0 система неустойчива, амплитуда колебаний увеличивается; при ѵ< 0 система устойчива, так как свободные колебания затухают.

Из соотношения (3.54), приравняв ѵ нулю, находим условие на границе устойчивости

Выражение (3.55) распадается на два равенства, определяющие границу устойчивости гидравлического тракта в плоскости па­ раметров дрі/а и фг/а:

а. Ф1 Ф2 . . 1

На рис. 3.7 приведены кривые границ устойчивости в параметрах

123

фі/а и фг/а, причем штриховка направлена в сторону области ус­ тойчивости. Здесь же пунктиром проведены прямые

ЬІа = ± [ и ф2/а — ± 1 ,

отделяющие области с одной формой и собственной частотой колебаний от областей с другими формами и собственными час­

фг>0. Неустойчивые режимы возможны также при одинаковых знаках граничных импедансов фі и ф2 — положительных или от­ рицательных.

ется форма колебаний, так как выходное сечение трубопровода оказывается в акустическом -смысле закрытым концом. По мере роста ф2/а уменьшается амплитуда колебаний скорости, а вместе с ней уменьшается и вынос акустической энергии, что приводит к сужению области устойчивости по ф2/а. Аналогичные рассуж­ дения можно провести и для области, в .которой

ф]/а< ^ 0 и Ф2/а< ^ 0 .

Примером неустойчивой системы может служить гидравличе­ ский тракт с центробежным насосом на входе. При работе насоса на небольшом расходе G тангенс угла наклона напорной харак­ теристики иногда бывает положительным (рис. 3.8). Согласно граничному условию на входе в тракт (3.42) для этого случая входной импеданс фі оказывается положительным. При малом гидравлическом сопротивлении на выходе, т. е. при малом зна­ чении выходного импеданса фг, как это видно по кривым границ устойчивости (см. рис. 3.7), в системе возможно возникновение колебаний. Природа этих колебаний аналогична природе помпажных автоколебаний в вентиляторах и компрессорах [40].

124

3.4.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ВДЛИННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ г и д р а в л и ч е с к и х линиях

Вприведенных выше уравнениях (3.47) -4- (3.48) для вынуж­ денных колебаний жидкости в гидравлическом тракте учитыва­ ются потери энергии, связанные с вязкостью жидкости, однако при этом используется зависимость величины трения от скорости

для стационарного потока жесткости.

Имеющиеся экспериментальные данные по распространению колебаний в гидравлическом тракте показывают, что гармоники более высокого порядка затухают быстрее, чем низкочастотные

■составляющие волн.

На рис. 3.9 приведены результаты экспериментов Холмбоу и Руло [39, 77] проведенные на гидравлическом тракте диаметром 25,4 мм и длиной 36,1 м, заполненном маслом. На конце трубы

Рис. 3.9. Колебания давления в длинном Гидравлическом трак­ те после мгновенного закрытия клапана

был установлен быстродействующий клапан. Изменение давле­ ния Ар отнесено к росту давления при прямом гидроударе awo, а время — к длительности прохождения волной всего тракта Ца. Кривая пульсаций давления после мгновенного закрытия клапа­ на (кривая 1) резко (кроме первого периода) отличается от теоретической кривой 2, полученной путем расчета методом характеристик с использованием квазистатического трения, в соответствии с которой волна, вызванная гидроударом, после многократного отражения не меняет своей формы, а из-за трения уменьшается только амплитуда.

Форма волны в эксперименте заметно изменяется, так как высокочастотные составляющие затухают быстрее, чем низкочас­ тотные. Кривая 3 представляет собой теоретическое решение Зилке [39] для неустановившегося ламинарного движения с уче­ том зависимости трения от частоты. Введение в уравнения коэф­ фициента трения, зависящего от частоты, позволяет достаточно точно учесть особенности искажения формы волны в силу зату­ хания гармоник высокого порядка.' Ниже будет показано, что

125

аналогичное положение имеет место с вынужденными колебани­ ями жидкости.

Рассмотренная ранее модель течения жидкости в тракте — одномерная, учитывающая изменения параметров потока только вдоль тракта и во времени. В действительности течение жидко­ сти в гидравлическом тракте заведомо неодномерное. Из-за дей­ ствия вязкости скорость жидкости уменьшается по мере .прибли­ жения к стенке и на самой стенке равна нулю. Кроме того, эпюра скорости зависит от условий течения. При ламинарном устано­ вившемся течении эпюра скорости параболическая, при разви­ том стационарном турбулентном течении в ядре потока скорость изменяется незначительно, а у стенки резко падает. При неуста­ новившемся режиме эпюра скорости изменяется, а вместе с ней — и силы .вязкого трения жидкости о стенки.

Задача о неустановнвшемся течении вязкой жидкости в тракте впервые была поставлена И. С. Громека [33]. Вынужденные колебания несжимаемой

[36]. Некоторые особенности распространения колебаний в длинных трактах рассмотрены в работе [6].

С вынужденными колебаниями жидкости в длинных гидрав­ лических трактах при ламинарном режиме течения приходится сталкиваться при анализе особенностей динамических характери­ стик импульсных трубок, идущих к регуляторам и измеритель­ ным приборам, а также в линиях питания гидропривода поворот­ ных двигателей или камер.

3.4.1. Исходные уравнения

Движение сжимаемой жидкости с постоянной вязкостью * в однородной цилиндрической трубе с жесткими стенками описы­ вается уравнениями Навье-Стокса в цилиндрических координа­ тах (пренебрегая окружной составляющей скорости) [52].

Уравнения двиоюения

(3.56)

(3.57)

* Вязкость можно принимать постоянной, если колебания температуры жидкости невелики.

126

Уравнение неразрывности

уравнение состояния, которое в данном случае удобно записать в следующей форме:

ор. __ __ d p (3.59)

Рdp

где К;К— модуль объемного сжатия жидкости.

Для упрощения исходной системы уравнений введем безразмер­ ные переменные-.

Уравнение (3.56) после введения безразмерных переменных и деления всех членов на рaycpa/L (коэффициент при первом члене) принимает вид

При втором и третьем членах в левой части последнего уравне­ ния стоит множитель ауср/а = М, и так как число Маха в потоке очень мало, т. е. М<СІ, то этими двумя конвективными членами можно пренебречь. _

В правой части коэффициентом при производной от давления является обратная величина приведенного волнового сопротивле­ ния, имеющая обычно порядок единицы. Члены, учитывающие вязкое трение, имеют коэффициенты р,/(ра£) или р/ {paR). Так как Д<СТ, то члены с коэффициентом p/(paL) пренебрежимо малы по сравнению с членами с коэффициентом р,/{paR). Итак,

127