Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

Характеристическое уравнение для уравнения (3.78)

Подставив решение .(3.79) в соотношение (3.74), найдем уравне­ ние, описывающее распределение амплитуды давления по длине тракта:

Решения (3.79) и (3.80) очень похожи на соответствующие реше­ ния (3.34) и (3.36) для одномерной задачи. Граничные условия на концах тракта для средних по сечению значений скорости и давления задаем в точно таком же общем виде, как и для одно­ мерной задачи (см. § 3.2):

Подставив в граничные условия (3.81) и (3.82) решения (3.79) и

ция комплексная. При вязкости ц-ѵО, т. е. Rea->-oo или ю->-оо,

величины £->-0, а %-»— 1. При этом а о = а ; ßco= —іш. Подставив такие значения параметров в уравнения (3.83) и (3.84), получа­ ем уравнения для амплитуд скорости и давления в одномерном приближении (3.47) и (3.48).

133

В параметр ß, определяемый зависимостью (3.77), входят функции Бесселя от комплексного аргумента, которые выража­ ются через функции Томпсона [30]:

где beri и beii — функция Томпсона 1-го порядка;

Ьег и bei — функции Томпсона нулевого порядка.

Функции Томпсона 1-го порядка связаны с функциями нуле­ вого порядка зависимостями:

■ (3.87)

где Ьег'и b ei'— первые производные функции Томпсона. Для функций Томпсона нулевого порядка и их производных имеются

Рис. 3.10. Вещ ественная (£) и мнимая (х) со ­

ставляю щ ие параметра

ß = ß(co Re„)

подробные таблицы [65]. На рис. 3.10 приведены графики зависи­ мости вещественной £ и мнимой % составляющих параметра ß,

134

рассчитанные на ЭВЦМ Г. К- Анненковой. В качестве аргумента

Учтя, что ß=£-H'x и что при достаточно больших значениях па­

раметра "V coRea R/L действительная часть £<<1, экспоненци­ альную функцию в первом приближении можно представить в следующем виде:

e±ßo) _ e i(c+i'x)cu = (1 -f ^co) 屑ѵ.ш.

Тогда из соотношения (3.88) найдем

Последняя формула отличается по структуре от аналогично преобразованной формулы (3.48) тем, что второй член в знаме­

нателе зависит от частоты. При хш—н*(2л+ 1) -j- cos^co —»0,

sin/ш—►1, модуль амплитуды колебаний давления при резонансе

ор 1; [(2я+1)-

Таким образом, более строгое решение задачи о вынужденных колебаниях жидкости в тракте с учетом изменения эпюры скоро­ стей дает качественно новый результат — величина резонансного максимума изменяется не только в силу изменения коэффициен­ та вязкого трения, но зависит также от частоты, уменьшаясь с ее ростом, т. е. с ‘увеличением номера резонансного максимума.

Формула (3.89) приближенная*. На рис. 3.11 и 3.12 приведе­ ны кривые амплитудных и фазовых частотных характеристик гидравлического тракта при различных значениях числа Rea, ха-

* Т ак как при ю-*-оо g-Я ) (см . рис. ЗЛО), то этой зависим остью м ож но

пользоваться только в ограниченном д и ап азон е значений со.

135

растеризующего роль вязкого трения в длинных гидравлических трактах [6]. Так как комплекс Rea= pa/?/[_t зависит и от вязкости, и от радиуса тракта, то приведенные на рис. 3.11 и 3.12 кривые молено относить к трактам разного диаметра, по которым течет одна и та же жидкость, или к тракту одного диаметра, но с жид­ костями разной вязкости. Представленные на рис. 3.11 и 3.12

частотные характеристики относятся к тракту, на входе которого- (z = 0) заданы колебания давления öp = bp\ (т. е. фі = 0), а на выходе (£=1) имеется Местное гидравлическое сопротивление,

136

рис. 3.12 6wi/6pi, где бр2 — амплитуда относительной вариации давления на выходе из тракта (перед шайбой), а öw\ — ампли­ туда относительной вариации средней скорости на входе (х = 0). Кривые для больших значений акустического числа Рейнольдса Rea= 4 -108-н4- 10е лежат близко друг от друга. При уменьшении числа Rea еще на порядок (т. е. до 4 -ІО5) зависимость трения от частоты оказывается уже ощутимой — первый резонансный мак­

мы начинают падать.

Таким образом, результаты расчетов для данного тракта по­ казали, что для ламинарного движения при Rea<106 зависимость вязкого трения от частоты оказывает влияние на динамические характеристики тракта и расчет по квазистатической зависимос­ ти для трения приводит к -ощутимым ошибкам.

При Rea>106 учет зависимости вязкого трения от частоты не дает ощутимого уточнения и оказываются достаточно точными расчеты, проведенные по квазистатическим зависимостям для трения, т. е. по формулам (3.47) и (3.48).

Естественно, что при других граничных условиях (т. е. других я|ц и ф2) и другом волновом сопротивлении а могут -несколько измениться значения Rea, при котором -начинает ощутимо влиять зависимость трения от частоты.

Д ’С уза и О лден бургером были поставлены эксперименты по определению динам ических характеристик длинного гидравлического тракта с ламинарны м

137

ам плитуда колебаний давления на вы ходе из тракта. Теоретическая кривая.

138