Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

Для чисто активного граничного импеданса в виде местного гид­ равлического сопротивления, если [см. формулу (3.40)] |ф;| = = 2Дрі/р, формула (3.95) может быть сведена к виду

где Дртр — гидравлические потери по длине тракта на трение;

Apt — гидравлические потери на местном сопротивлении на границе тракта.

Рис. 3.29. АФХ гидравлической магистрали с учетом н без учета трения

1

для случая I 4/ 1< — (а = 1)

а

Если импеданс на одном из концов меньше (по модулю), чем на другом, то добавочное сопротивление трения Дртр целесооб­ разно прибавлять целиком к гидравлическому сопротивлению конца с меньшим импедансом. Если фі и фг одного порядка, то можно сопротивление трения Артр разделить пополам и приба­ вить к обоим местным сопротивлениям на концах.

На рис. 3.28 приведена кривая АФХ тракта без трения (кри­ вая 3), но с компенсацией трения изменением граничного импе­

153

данса на входе в тракт грі — его величина изменена с —0,5 на —0,7 (5= 0,1; а = 1). При такой компенсации трения кривая АФХ тракта, рассчитанная по более простой формуле без учета трения (5= 0), практически совпадает с кривой 1 АФХ, рассчитанной с учетом трения.

Если условие |і|н |< (5 а) не соблюдаются, т. е. в случае ма­ лых значений обоих граничных нмпедансов, компенсация трения изменением граничных нмпедансов дает худшие результаты. На рис. 3.29 приведены кривые АФХ гидравлического тракта 6г52/6г/2

ем обоих граничных нмпедансов, совпадает с кривой 2, рассчи­ танной с учетом трения только в области относительно низких

безразмерных частот ш ^я/2. При этом кривые АФХ с компен­ сацией трения изменением граничных нмпедансов находятся по одну сторону от кривых для решения с учетом трения, а кривые 1 без учета трения (5= 0) и без его компенсации — по другую сторону..

Таким образом, использовать решение без трения с компен­ сацией трения изменением граничных нмпедансов можно во всех случаях в диапазоне относительно невысокой частоты со<я/2, а для любых частот — только при достаточно больших значениях граничных нмпедансов ф,У'а по сравнению с безразмерным коэф­ фициентом трения 5. Подобные выводы можно сделать и непо­ средственно из анализа выражений (3.47) — (3.48), приводя их (с учетом коэффициента Б) к форме соотношения (3.93) и (3.94) для резонансных частот, для которых влияние трения наиболее ощутимо.

3.7. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В ТРАКТЕ

Уравнения (3.47) и (3.48) для вынужденных колебаний жид­ кости в тракте .с учетом акустических эффектов оказываются слишком громоздкими и в связи с этим неудобными для исполь­ зования, в расчетах динамических характеристик двигателя. С другой стороны, в ряде случаев уравнения с учетом акустиче­ ских эффектов для гидравлических трактов двигателя не нужны, так как для них частота первого тона собственных колебаний [см.'формулы (3.52) и (3.53)] существенно выше частот, пред­ ставляющих интерес для рассматриваемой задачи. В этом случае динамические характеристики гидравлического тракта могут быть описаны с достаточной точностью более простыми зависи­ мостями, если рассматривать тракт как систему с сосредоточен­ ными параметрами. В нашем случае для получения упрощенных соотношений можно воспользоваться решениями (3.47) — (3.48)^

разложив в ряд экспоненциальные члены, приняв 5= 0, k = a,

іо4

компенсировав при этом трение в тракте изменением граничных импедаисов по формуле (3.95). При разложении экспоненциаль­ ных членов учтем два члена ряда:

Подставив это соотношение в уравнения (3.47) и (3.48), после несложных .преобразований получим приближенную зависимость с учетом двух членов разложения в ряд:

для амплитуды вариации скорости

и для амплитуды вариации давления

72 (а + 4і) (1 — — m2 х 2— ш х ) — (а — 40 X

Ь р =

1 (4і — 4г) 2 (4і — Фг)“2 —

1 ----

X ( 1 — — о)2 X 2 + і о) х j j 5 г/ 2

7і |(а + 4г) 1 ---- “ о)2 (1 —х)2 -{- іи» (1 —х) —

2 (4і — 4г) — ~ (4і — 4 2 ) о)2 —

155

Для выяснения физического смысла входящих в приближенные зависимости членов можно воспользоваться следующими оче­ видными соотношениями:

Эти же постоянные времени тц и те можно получить, проделав вывод уравнения гидравлического тракта отдельно как инерци­ онного или как емкостного звена.

Рис. 3.30. Схема упрощенной модели гидравлического тракта:

а — как инерционного звена; б — как емкостного звена

Если учитывать только инерцию столба жидкости в тракте, до уравнение его движения запишется (рис. 3.30, а) так:

d t

где, ри Р2 — давление на входе и выходе тракта;

Дг, I —' площадь поперечного сечения и длина тракта;

155

Если рассматривать гидравлический тракт как чистую ем­ кость (рис. 3,30, б), то уравнение баланса массы для нее запи­ шется! так:

где Q = Vp — масса жидкости в объеме V тракта;

Gi, G2 — расход жидкости на входе и выходе из тракта.

Здесь рСр, рср — среднее значение давления и плотности жидко­ сти;

Кт — модуль объемной сжимаемости жидкости. Величина 1(т связана со скоростью звука в жидкости * зависи­ мостью (3.9)

К ж= ? а \

После линеаризации соотношения (3.101), использовав зависимо­ сти (3.102) и (3.91), находим

Из уравнения гидравлического тракта как чистой емкости сле­ дует, что те—-постоянная времени такой емкости. Таким обра­ зом, в упрощенных уравнениях динамики гидравлического трак­ та (3.97) и (3.98) учитываются и инерционность -столба жидко­ сти в тракте, и ее сжимаемость, но все это как для звена с сосредоточенными параметрами, т. е. для всего столба жидкости как единого целого.

В исходных уравнениях (3.47) и (3.48) эти свойства жидко­ сти учитывались для каждого элемента столба жидкости в от­ дельности по длине тракта, так как столб жидкости рассматри­ вался как система с распределенными параметрами, т. е. учиты­ вались волновые процессы в тракте. В этом заключается отличие решений (3.47) и (3.48) от приближенных соотношений (3.97) и (3.98).

Использовав соотношения для граничных импедансов (3.37) и (3.38), введя среднее давление в магистрали как средне­

* Для простоты податливостью -стенок тракта -пренебрегаем.

157