Легко убедиться прямым подсчетом, что для q= 1 число урав- 'ненпй (9.92) равно т (число заданных моментов), а общее чис ло уравнений в системе (9.91) — (9.92)
1-}- пі — Ст -\~С)п = С)„.\-\. |
(9.93) |
Для 7 = 2 система (9.91) —(9.92) увеличится на
Ст -f- Cm —1 -|- . . . Д —(ft—1) —}—. . . -{- Cm —(ш—1) — Cm-i-i (9 .9 4 )
уравнений, а общее число их будет
Ст+1-}~ Ст-I-1— Ст.|.о. |
19.95) |
Для произвольного порядкаучитываемых членов q прирост числа уравнении по сравнению со случаем учета q—1 членов будет
|
т |
'7-1 |
_ПЧ |
|
|
|
|
|
ѵ с |
|
|
|
(9.96) |
|
і-\-q—2 —С/т!-0-1, |
|
|
|
|
і =1 |
|
|
|
|
|
|
|
а общее число |
уравнений, |
если |
ДЛЯ 7 - 1 |
оно |
разно |
, |
составит |
пч—> |
|
|
С'1 |
|
|
|
(9.97) |
|
|
|
- |
|
|
|
т*“ q—1+ Cm+0-1 =- ѵ-'тН-0 |
|
|
|
Выражение (9.96) доказывается следующим образом с уче |
том справедливости (9.94): |
|
|
|
|
|
|
|
для m = k |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
С/+?-2 = |
СѴг9-і; |
|
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
для m = |
CU</-i + C*T?-i = C2+?. |
|
|
|
|
Таким образом формула (9.89) доказана, так как она спра |
ведлива для 7=1, 7 = 2 |
[выражения (9.93), |
|
(9.95)] |
и для произ |
вольного 7 [выражение (9.97)]. |
|
формуле |
(9.89), |
при большем |
Значение N, |
определяемое по |
числе учитываемых возмущающих факторов |
может быть очень |
велико. Соответственно потребуется большое число решений ис ходной системы (9.84). На практике целесообразно задавать ве личины возмущений VVs, принимаемых при решении уравнения (9.84), таким образом, чтобы максимальное число коэффициен тов a s в системе уравнений (9.91) —(9.92) обратить в нуль. В ра боте [41] указывается, что минимальный объем вычислений для 7=2 и 7 = 3 будет, если варианты возмущений выбирать в соот ветствии с табл. 9.1. Величины возмущений в этой таблице в от носительных единицах определяются по формуле
аг У т у^ .
где Ѵг, аг— среднее значение и среднее квадратическое отклоне ние возмущения.
Математическое ожидание и дисперсия действительной со ставляющей АФХ для </ = 2 и произвольного со в соответствии с работой [41] вычисляются по формулам:
|
М (/?) = — |
Rm+2 |
(9.98) |
|
т |
|
2 |
D(R) — — |
Ѵ [^ -У И (/? )Р . |
[/?„| + 2 - М (R)T- - [Rm+i - М (Я )]2 |
т |
|
|
|
5=1 |
|
(9.99) |
|
|
|
где s — номер варианта решения.
Аналогично вычисляются M(J) и D(J). Формула для вычисления корреляционного момента ңежду вещественной п мнимой состав ляющими имеет вид
|
К { R, J) = — |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
5=1 |
|
|
|
|
|
[ ( [ R - |
М ( / ? ) ] [ ! S - M ( ! ) } } и + 2 - |
( [ R s - M ( / ? ) ] [ f s - |
м ( Q ] 1 |
, , |
(9.100) |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эллипсы рассеивания значений АФХ при произвольном |
значе |
нии со |
в координатах R—/ |
определяются с |
помощью |
формул |
(9.80) — (9.83). |
|
|
в |
координатах |
Величины |
полуосей эллипса рассеивания |
f — Л будут а = /тзе, b = ti5Т, где /т —квантиль |
нормального рас |
пределения, |
соответствующая доверительной |
вероятности у; |
з = | J Dl — среднее квадратическое отклонение АФХ. Огибающая эллипсов рассеивания дает положение границ
максимально возможных отклонений АФХ объекта регулирова ния, определенных с доверительной вероятностью у.
Для случая 7 = 3 имеем
2от
|
(9.101) |
5=1 |
|
2т |
|
/ J ( / ? ) = - L V '[ / ? , - /И (/?)]*; |
(9.102) |
2т |
|
5=і |
|
2от |
|
K { R , У)= ^ ^ [ ^ - ; И ( / Ш Л - Л 4 ( / ) ] . |
(Р-ЮЗ) |
5=1 |
|
Эллипсы рассеивания определяются по формулам (9.80) — (9.83).
Расчет поля и эллипсов рассеивания АФХ объекта регулиро вания представляет самостоятельный интерес и, кроме того, ис пользуется при исследовании устойчивости системы регулирова ния ЖРД. На рис. 9.18 приведен пример поля рассеивания АФХ двигателя типа «жидкость — жидкость».
После рассеивания границ устойчивости системы регулирова ния двигателя может быть определено по предложенному методу с помощью формул (9.87), (9.88). Однако, если предположить,
Рис. 9.18. Поле и эллипсы рассеивания АФХ двигателя типа «жидкость — жидкость» (у=0,99, £т =2,7)
что распределения случайной составляющей для АФХ и пара метров регулятора в уравнении (9.86) подчиняются нормальному закону, математическое ожидание границ устойчивости может быть получено путем подстановки в уравнения (9.87), (9.88) ма тематических ожиданий соответствующих величин, а дисперсия D определена по формулам:
' О І М = |
+ |
: |
2<а V |
М (ft) + М (і) |
|
СО*
По формулам, аналогичным (9.80) — (9.83), могут быть опре делены эллипсы рассеивания границ устойчивости САР, огибаю щая которых дает предельное положение границ устойчивости для доверительной вероятности у. Характер поля рассеивания границ устойчивости приведен на рис. 9.19.
9.6.3. Определение вероятности устойчивости работы САР
Под вероятностью устойчивой работы здесь будем понимать вероятность непопадания параметров регулятора в зону неустой чивости в плоскости Ü2—Оі. Для оценки вероятности устойчивой работы с учетом случайного характера параметров регулятора и границ устойчивости целесообразно использовать метод теории надежности «нагрузка — прочность» [51], понимая под нагрузкой значения параметров регулятора 02 и 01, а под прочностью — по-' ложение границы устойчивости САР в плоскости Оо—Оі.
В предположении статистической независимости параметров регулятора 02 и Ѳі [корреляционные моменты равны нулю, форму ла (9.83)] вероятность устойчивой работы равна
где Рг. Р I — составляющие вероятности устойчивой работы при учете только распределения 0г или Оі соответ ственно.
Для произвольных функций распределения вероятностен па раметра регулятора /рег(Оі) и границ устойчивости [(О,-) при Ѳі = Ѳір значение Р,- вычисляется по формуле
|
Ь |
- |
- |
(9.105) |
P l = f / г ( в , ) |
I |
/ p c r t a - b / z ] £ / 0 , . |
Для нормального распределения параметра регулятора и границ устойчивости
|
®/г |
(9.106) |
|
О |
|
|
где |
Ф — функция нормального распределения; |
|
Ѳ/г, Ѳ;Р, °,т, |
3,р— средние значения и средние квадратические |
|
отклонения і-го параметра. |
|
Пример построения функций распределения вероятностей |
представлен на рис. 9.19. |
|
Определяем |
нормированные расстояния точки, соответствую |
щей средним значениям параметра регулятора 02р и Ѳір, от мате матического ожидания границы устойчивости. Для примера, представленного на рис. 9.19, область устойчивости находится слева от границ устойчивости,
