Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

мого действия. Уравнение регулятора прямого действия с 'Нели­ нейным трением можно записать так:

+ + bFm ) = - k ?erbXi- (9.61)

Найдем, как влияют на устойчивость системы два вида нели­

где а — амплитуда колебаний скорости перемещения подвижной части регулятора.

Так как амплитуда скорости зависит от частоты, то удобнее ис­ пользовать амплитуду перемещения подвижных частей регулято­ ра, которая связана с амплитудой скорости соотношением

где йп— амплитуда перемещения подвижной масти регулятора. Подставив уравнения регулятора (9.62) или (9.63) в общее ха­ рактеристическое уравнение системы (9.58) и учтя соотношение (9.64), после преобразований находим две системы уравнений:

для сухого трения *

(ш, ай)— \ — ы>Ч\ ± kperRi (w)=0;

(9.65)

К(ш, а п)= ш7’1± й РегЛ(«) + - ^ £-;

* Во всех формулах, приведенных »иже, перед вещественной и мнимой частями АФХ двигателя (со) и / і (со) стоит знак «плюс — минус». Знак «плюс» надо использовать, если Я,(0)>0, а знак минус, если R i (0) <0.

358

для вязкого квадратичного трения

X (со, ап)— 1— ш27І ± (грег/?г(со)= 0;

(9.66)

Y (со, ап)= шГ1 + ^регЛ (ш)4

Йз первых уравнений (9.65) и (9.66) находим соотношение для коэффициента усиления регулятора

В соотношениях (9.68) и (9.69) в левой части вместе с амплиту­ дой перемещения оставлены характеристики нелинейного трения, для удобства при анализе результатов.

Рис. 9..15. Зависимость амплитуды колебаний подвижной части регулятора с сухим трением от коэффициента усиле­

ния А рег

На рис. 9.15 приведены для примера возможные результаты расчетов зависимости амплитуды колебаний от коэффициента усиления £рег регулятора с сухим трением при различных значе­

359

ниях постоянной времени Т\ регулятора. Расчеты проводились для регулятора давления в камере сгорания двигателя типа «жидкость — жидкость», установленного на тракте окислителя газогенератора (кривые АФХ на рис. 8.1). Одновременно на рис. 9.15 в виде вертикальных кривых со штриховкой нанесены границы устойчивости линейной системы при различных значе­ ниях Т1. Зависимость a n/R c = f (креѵ) изменяет свой характер при

ласть с неоднозначной амплитудой лежит левее прямой, соот­ ветствующей границе устойчивости линейной системы, причем вертикальная прямая является асимптотой для кривой.

При увеличении постоянной времени Т\ (Гі = 0,02 с) неодно­ значность зависимости амплитуды an/Rc от коэффициента усиле­ ния исчезает, вся кривая оказывается в области справа от вер­ тикальной прямой, соответствующей границе устойчивости линей­ ной системы, к которой эта кривая также асимптотически при­ ближается при стремлении амплитуды к бесконечности.

Определим устойчивость найденного периодического решения,

В рассматриваемом случае (см. рис. 8.1) для колебаний в каме­ ре сгорания Ri{0) <0, т. е. в соотношении (9.70), необходимо брать знак минус. Если принять Т2 = 0, то условие устойчивости упростится:

ское решение до ю = 50 1/с неустойчиво, а при со>50 1/с — устой­ чиво. Для кривой, соответствующей Гі = 0,02 с (см. рис. 9.15), ре­ шение во всей области неустойчиво, Кривая для малого значения Т\ = 0,005 с имеет две ветви: нижняя ветвь (до со = 50 1/с) соот­ ветствует неустойчивому периодическому решению, а верхняя (со>50 1/с) — устойчивому. Следовательно, при относительно большом значении постоянной времени Т2 (Т2 = 0,02 с) сухое тре­ ние, не изменяя границ устойчивости (вся кривая лежит правее линейной границы устойчивости), приводит к появлению опреде­ ленного порога амплитуды, ниже которого система устойчива.

360

Система оказывается устойчивой в малом, но неустойчивой в большом, когда начальная амплитуда колебаний попадает в об­ ласть выше кривой, приведенной на рис. 9.15. Это объясняется тем, что при росте амплитуды колебаний [см. (9.49)] влияние су­ хого трения уменьшается, при 'малых же значениях амплитуды сухое трение демпфирует колебания.

Другая кривая на рис. 9.15 — для малого значения Т\ (Т{ = = 0,005 с) имеет две ветви, причем верхняя ветвь соответствует устойчивому периодическому решению, т. е. автоколебаниям. Часть этой кривой находится левее прямой, определяющей гранн-

Рис. 9.16. Зависимость амплитуды колебаний подвижной части регулятора с вязким квадратичным трением от коэф­ фициента усиления & р е г

цу устойчивости системы, т. е. благодаря сухому трению область неустойчивости расширяется. При малых значениях амплитуды (ниже кривой) система оказывается устойчивой (в малом).

Если начальные величины амплитуды превысят значения, оп­ ределяемые нижней (неустойчивой) ветвью кривой, то амплитуда колебаний будет увеличиваться вплоть до значений, определяе­ мых верхней (устойчивой) ветвью кривой. Такой режим возбуж­ дения автоколебаний, когда они развиваются только в случае, ■ когда начальная амплитуда превышает некоторое предельное

.значение, называется «жестким возбуждением» автоколебаний. При Ті = 0,005 с жесткое возбуждение будет иметь место в об­ ласти значений коэффициента усиления регулятора“ 72</грег<81. При Арег<72 система устойчива для любых значений начальной

.амплитуды. При /ерег>81 система устойчива в малом (начальная амплитуда ниже кривой) и неустойчива в большом.

Кривые зависимости амплитуды колебаний от коэффициента усиления Aper регулятора с вязким квадратичным трением, рас­ считанные по формулам (9.67) и (9.69), приведены на рис. 9.16.

.Исходные данные — такие же, как и для кривых, представленных на рис. 9.15. Характер кривых на рис. 9.16 отличается от соот-

361

ветствующих кривых рис. 9.15: отсутствует асимптотическое стремление к прямой, определяемой границей устойчивости ли­

т. е. область со<50 1/с (см. рис. 8.1) соответствует (при /грег>0) устойчивому периодическому решению, а при со>50 1/с — неус­ тойчивому. Таким образом, верхние ветви кривых на рис. 9.16 определяют автоколебания в системе, а нижние — неустойчивые периодические решения.

Кривые на рис. 9.15 заходят левее прямых, определяющих ус­ тойчивость линейной системы, т. е. благодаря вязкому квадратич­ ному трению область устойчивости сужается. В части плоскости _ левее прямых имеет место жесткое возбуждение автоколебаний.

Правее прямых автоколебания возникают при любых сколь угод­ но малых начальных возмущениях, но амплитуда их в силу вяз­ кого квадратичного трения ограничена.

9.6. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ РАЗБРОСА ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ

Жидкостный ракетный двигатель совместно с системой ре­ гулирования представляет собой по существу автоматическую систему, на которую в процессе работы наряду с управляющим воздействием оказывают влияние случайные факторы (случайные

водимости его динамических характеристик и связанного с ними требуемого запаса устойчивости системы «двигатель — регуля­ тор».

В расчетах амплитудно-фазовых характеристик (АФХ) дви­ гателей, на основании которых определяют область устойчивости системы регулирования, коэффициенты в уравнениях принима­ лись постоянными. Однако для определения требуемого запаса устойчивости системы «двигатель — регулятор» необходимо учи­ тывать случайный характер значений коэффициентов в уравне­ ниях динамики, вызываемый погрешностями определения харак­ теристик узлов и элементов, допусками при изготовлении и на­ стройке, колебаниями режима при испытании и т. д.

При наличии-случайных воздействий на систему или при слу­ чайных отклонениях значений параметров системы задача опре­ деления efe динамических характеристик (т. е. решение системы уравнений) существенно усложняется по сравнению со случаем постоянных воздействий или постоянных коэффициентов.

362