Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 184
Скачиваний: 1
$ б] Оптимальный последовательный поиск для задачи А 21
|
Как известно [56], числа Фибоначчи определяются так: |
F n+2= |
||||||||||||||||||
= / 7n+i+^n, |
(/ i= l, 2, |
...); |
/7i = / 72 = 1 . |
Нетрудно |
показать, |
что |
||||||||||||||
|
|
|
F „ = |
|
|
1 + |
/ 5 |
|
|
1 |
— / 5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. / 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Перейдем к описанию |
плана |
Фибоначчи Фп |
(n^sl). |
|
Пусть |
||||||||||||||
J( « )e Q * [a , |
b\. При п— 1 |
план Ф\ прост: |
берем «1 |
__ |
а |
Ь |
|
и вы |
||||||||||||
числяем значение 1(щ ). Полагая |
и[ = и1, |
определим |
точку |
мини |
||||||||||||||||
мума и* с погрешностью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
К |
— « ! | < |
|
Ъ— а |
|
6 — а |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть теперь п > 2 . Тогда план Ф„ |
начинается |
с |
выбора |
двух |
|||||||||||||||
точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«х = аЧ-----—— (6 — а), |
|
и2 = |
а + — п+1 |
|
(Ь — а) = |
а + |
Ь— их, |
|||||||||||||
|
|
|
Рп+2 |
|
|
|
|
|
|
F n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расположенных на отрезке [а, |
6] |
симметрично, |
и |
вычисления значе |
||||||||||||||||
ний |
JijUj), J |
(и2). |
Если J |
(%) < J (и2), |
то |
|
полагаем |
а 2 = |
а, |
Ь2 = и2, |
||||||||||
и 2 = |
и1\ если же J (их)^> J |
(и2), то а 2 = |
ult |
|
b2 — b, |
и2 — и2. В резуль |
||||||||||||||
тате |
получаем отрезок |
[а2, |
Ь2] |
длины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
(Ъ— а), |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ь2— а 2 = b — и1 = и2— а — — |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn+2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
содержащий |
точку и* |
и точку и2, |
а 2< ы 2 < 6 2, |
в |
которой |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
J (и2) = min{J (их), J {и2)}. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Заметим, что |
точка и2 совпадает с |
одной |
из точек ' |
|
|
|
|
|
||||||||||||
щ = |
а 2+ |
/ — |
(р2 — а 2) = |
а2 + |
|
Гп+2 |
{b — а) (при J (их) < |
J |
(и2)) |
|||||||||||
|
|
|
г Л+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31ЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ul = a 2+ |
F"~1■- {b, — а2) = а 2 + |
|
^,1~1 - (6 — а) = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ГП+Х |
|
|
|
|
|
|
* Л +2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= а2 + |
Ъг — «2 |
(при J Ы |
> 7 (и2)). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Далее на отрезке [а2, 62] выбираем следующую |
точку и3 = |
а 2-f b2— |
||||||||||||||||||
— и2, |
вычисляем 7 ( а 3) |
и сравнением величин 7 |
(и2), |
J |
(us) находим |
|||||||||||||||
новый |
отрезок [а3, |
63] |
и т. |
д. (рис. |
2). |
В |
общем случае, |
пусть точ |
22 |
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ одной ПЕРЕМЕННОЙ |
\ГЛ. 1 |
ки |
иъ |
. . . |
, ик (2 < |
k < п) |
уже |
выбраны, |
пусть |
найден |
отрезок |
||||||||||
[ak, |
bk\ длины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
bk- a k = - ^ s - ( b - a ) , |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
содержащий |
точку и* и точку ик, |
ак < ик •< Ьк, |
с |
вычисленным |
зна |
||||||||||||||
чением |
J |
(ик) = |
min J (U[), |
причем |
точка ик |
совпадает с |
одной |
из |
|||||||||||
точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= а* + |
г n - f t + 8 |
(& * - * * ) = a* + |
|
“ /7 + 2 |
(6 — a) |
|
|
|
|||||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“* = e* + |
|
|
Фк — ak) = a* + |
"4 ”— |
- (6 — a) = |
|
— uk. |
||||||||||||
Если |
|
|
|
то на |
отрезке |
[ak, bk] |
выбираем |
следующую |
точку: |
||||||||||
uk+\= |
ak + |
Ьк — ик, |
симметричную |
с ик на этом отрезке и |
|
совпада |
|||||||||||||
ющую |
с одной из точек и'к, ик, отличной от ик. |
Вычислим |
|
значение |
|||||||||||||||
J (ик+ О |
и сравним с |
J{u k). Пусть для |
|
определенности ик = |
ик <^ ик= |
||||||||||||||
= Uk+ 1 |
(случай Uk+i = u'k< |
Uft = uk рассматривается |
аналогично). Тог |
||||||||||||||||
да при |
J |
(Uk) < |
/ (Uk+i) |
полагаем |
ак+1 — ak, |
bk+] = ик+и |
uk+\ = ик. |
||||||||||||
Если же |
J (ик) > |
J (uk+i), |
то ak+l = |
ик, |
bk+l = |
bk, |
ик+1 = ик+и В |
ре |
|||||||||||
зультате |
получаем отрезок |
[a^+i, |
Ьк+1] |
длины |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
bk+1 — ak+1 = |
- 4 |
fe— Ф — a), |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•»/2+2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
содержащий точки и* и «*+1, afc+i < |
|
|
•< bk+u |
с известным |
значе |
||||||||||||||
нием J(u k+ i)= min J (u£), |
причем |
точка ик+1 |
совпадает с |
одной из |
точек
§ 6] Оптимальный последовательный поиск, для задачи А 23
«ft+1 — Oft-fi |
~ |
— (frft+i ~~ ak+i) — Oft+iЧ— тг~~ (b— а) |
|
|||||||||||
ИЛИ |
|
* H -fc + S |
|
|
|
|
|
|
* |
Л + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«ft+1 = |
Oft-j-i + |
- |
■(6ft+i — Oft+i) = |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Г Л - f t + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Oft+1 H— |
г П +2 |
(b — a) = |
aft+i + |
bk+i — «ft+i, |
|
|
|
|||||||
и T. Д, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если k = п, то процесс заканчиваем и |
полагаем «^ = |
«„ |
с |
вы |
||||||||||
численным значением J |
(ип) = m in /(«,). |
Заметим, |
что |
при |
/е = /г |
|||||||||
длина отрезка |
[ап, Ьп] |
|
1<1<Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ьп — а п = |
F3 |
{ Ь - а ) |
|
2(6 — а) |
|
|
|
|
|||||
|
Fп+ъ |
|
гFЛ + 2 |
’ |
|
|
|
|||||||
И ТОЧКИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
I |
|
, и |
\ |
|
, |
6—а |
|
|
|
||
|
ип = ап + —- ± — (Ь — а) = а п + |
— |
------, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
* п+г |
|
|
|
|
* * л + а |
|
|
|
|
||
|
" |
|
I |
/**« |
/* |
ч |
|
. |
&—a |
|
|
|
||
|
Цд = |
ал + —р * ■- |
(Ь — о) = |
оя + |
— ------ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
- '" л + 2 |
|
|
|
|
* |
Л + 2 |
|
|
|
|
совпадают и делят отрезок [ап, |
6„] пополам. |
Таким |
образом, |
прини |
||||||||||
мая «л = ыя = |
«„ = «п, мы допускаем |
погрешность |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
, |
» |
* ___ |
Ь —а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|и — « л | < — ------- |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
* л+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
независимо от выбора функции J (и) в Q* [а, |
Ь]. |
Нетрудно видеть, |
что |
|||||||||||
для функции J (и) = |
и £ Q* [а, Ь] |
план Фп дает |
погрешность в опре |
|||||||||||
делении и* — а, в точности |
равную |
ь ~ а. _ |
Следовательно, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
F n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б£(Ф я, b — а) = -^г— - (« > 1). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Л + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
План Фибоначчи Ф„ полностью описан [56], |
[230]. |
|
|
|
|
|||||||||
Отметим одно замечательное свойство плана Ф„: применение |
||||||||||||||
плана Фл_б+ 1 |
к отрезку |
[afe, Ьи], полученному |
в |
результате |
пер |
вых k шагов плана Фибоначчи Ф„, равносильно дальнейшему про
должению плана Ф„ на этом отрезке [а;г, &ft], |
|
Этот факт |
||
вытекает из того, |
что первые |
две точки плана |
Фя-/г-н |
совпадают |
с точками и*, и*, |
или, что то |
же самое, с точками uk, |
«ft+i пла |
|
на Фп- |
|
. |
• |
|
План Фибоначчи Фп прост и удобен для использования на ЭВМ .
24 |
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ одной ПЕРЕМЕННОЙ |
[/'л. ) |
|
Т е о р е м а 1. Для задачи А план Фп является |
оптимальным: |
|
б£(ФЛ) b — а) = i n f (Р , Ь— а) = Ъ£(Ь— а) = |
±=2-. |
|
Рп |
Рп+2 |
Других оптимальных последовательных стратегий нет. |
||
|
Доказательство будем проводить индукцией по |
п. При п = \ у |
очевидно, все утверждения теоремы верны. Пусть оптимальность плана Фь. и единственность оптимальной последовательной страте гии доказаны при всех k — 1, 2, ..., п—\1 ( п ^ 2 ) . Покажем, что тог да план Фп оптимален и других оптимальных стратегий нет. Возь
мем произвольную |
последовательную стратегию Р п ( п ^ 2 ) . Со |
||
гласно |
определению |
4.1 стратегии Р п вначале выбираются |
точки |
ии .... |
ы5е [ а , b\ ( l ^ s ^ n ) , и сравнением величин J{u {), ..., |
J(u s) |
находится отрезок [as, 6S], содержащий точку минимума и* и точку
щ с вычисленным значением J (us) = |
min |
/(«*). Не умаляя общ- |
||
|
|
|
l < i < s |
|
ностн, |
можем |
считать, что 2 ^ s ^ n . |
В самом деле, задание одной, |
|
точки |
«1 (s = |
1) ничего не добавляет к |
известной информации о- |
|
том, что |
и поэтому остается переходить сразу ко второ |
му шагу стратегии Р п, заключающемуся в задании следующих не
скольких точек и.2, ..., us ( s ^ 2 ) , что, |
конечно, равносильно заданию' |
||||||
точек щ, иа, |
us |
( s ^ 2) |
с самого начала, на |
первом же шаге |
|||
стратегии Рп. Итак, |
2 ^ s ^ t t . |
|
|
|
|
||
Отдельно рассмотрим случай s — 2^.n, когда стратегия Р п на |
|||||||
чинается с выбора двух точек щ, |
«2, |
a^ .ui< iU 2^ b . Начальные |
|||||
точки плана Фп обозначим через |
|
|
|
|
|||
и\ = |
a -j-----—— (Ь— а), |
и2 = |
а -)— Fn+1 |
(b — а). |
|||
|
|
Fп+2 |
|
|
|
■ Fп+а |
|
Начнем со случая |
их<С.и\. |
Если |
/(и,) > / (и2) , то точка и* мини |
||||
мума будет находиться на |
отрезке |
[щ, Ь] длины |
b — их^> b — щ,. |
причем для поиска и* на этом отрезке мы можем вычислить зна чение функции /(и) еще в п— 1 точках, включая точку й2= и 2. Если даже точка й2 на отрезке [«i, b] расположена так удачно и допускает применения оптимального (в силу индукции) плана Фп- 1 на К b] с участием точки й2, то и в этом случае гарантированная погрешность в определении и* будет больше, чем при применении плана Фп на [а, Ь]:
6* (Ра, Ь - а) > б£_, (Фп- 1, b — их) = =
= = 6А (Ф„, Ь— а).
* Л + 2
§ 6] |
Оптимальный последовательный поиск для задачи |
А |
25 |
||||
Таким |
образом, стратегии Р п, |
начинающиеся |
с |
выбора |
двух |
||
точек «ь и2, |
a ^ .u i< u 2s^b, |
где |
заведомо |
неоптимальны. |
|||
Аналогичные |
рассуждения |
показывают, что стратегии Р п с выбо |
|||||
ром точки |
и2> и 2 также |
не могут быть оптимальными. |
|
||||
Пусть |
теперь |
В худшем случае точка и* может на |
|||||
ходиться на отрезке [а, и{\ длиной |
|
|
|
|
|||
|
|
их— |
— а = ——— (b — а), |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп+г |
|
|
|
и на поиск и* на этом отрезке в нашем распоряжении остается еще п—2 вычисления значений функции. Но если даже стратегия Р п такова, что дальнейший поиск и* на [а, и{\ совпадает с опти мальным планом Фп- 2, то и в этом случае гарантированная по грешность в определении и* будет больше, чем при применении плана Фп на [а, Ь\.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
(РП, ь - а ) > 6„А- 2 (Фп—2, Щ — а) — |
|
Гп |
|
Гп |
= |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
Ь р - |
= ЪКа(Ф п, Ь - а ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким |
образом, |
стратегии |
Р п, |
начинающиеся |
с |
двух |
точек |
|||||||||||
U\, и2, |
a^.Ui<Zu2^ .b, |
где |
|
, |
заведомо |
неоптимальны. |
|
Ана |
||||||||||
логично |
доказывается |
неоптимальность |
стратегии |
Рп в случае |
||||||||||||||
ы2 < “ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остается рассмотреть случай % = и*, |
и2 = и2, когда первые |
две |
||||||||||||||||
точки |
стратегии Рп и |
плана |
Фп |
совпадают, |
|
и |
сравнение |
величин |
||||||||||
J(u*), |
J (и2) приведет к |
отрезку |
[а2, |
Ь*2\, |
|
содержащему |
точки |
|
и* и |
|||||||||
« 2 с J |
(и2) — min { J (и*), |
J (и2)}. На поиск и* |
|
на |
этом отрезке в |
на |
||||||||||||
шем распоряжении остается |
вычисление |
|
значений функции |
еще в |
||||||||||||||
п — 1 |
(п > 2) точках, |
включая точку и2. |
Продолжением плана Ф„ на |
|||||||||||||||
отрезке |
[а2, |
Ь*2\ является план Ф»_1 |
на |
этом |
отрезке, |
являющийся |
||||||||||||
единственной оптимальной последовательной |
стратегией по |
предполо |
||||||||||||||||
жению индукции. Поэтому любое |
отклонение |
стратегии |
Рп на [а2, |
|||||||||||||||
Ь2] от Фп приведет лишь к увеличению |
|
гарантированной |
погрешно |
|||||||||||||||
сти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 А (Ря, b - а) > бА_! (Фп- и Ъ\ - а2) = 6 |
${Фп,Ь — а) |
|
|
|||||||||||||
при Рп Ф Фп. Таким образом, |
среди |
стратегий Рп, |
начинающихся с |
|||||||||||||||
выбора двух |
точек их, и2£ [а, й] (s = |
2), |
|
наилучшей |
является |
|
план |
|||||||||||
Фибоначчи -Фп. В частности, |
при /1 = |
2 |
наилучшим будет план Ф2. |