Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

М И Н И М И З А Ц И Я Ф У Н К Ц И И М Н О ГИ Х ПЕРЕМЕННЫ Х

[Га . 2

лиографию см. в работах [34, 70, 75,

79, 81, 82, 84, 86, 87, 96, 97,

109, ПО, 114, 116, 118,

133,

135, 138,

149, 155, 164, 170, 188, 193,

229, 230, 235, 239, 265]

и др.

ского пространства

(областей повышенной радиации) и др. Здесь,

возникают

задачи

выбора управлений q{t), P(t) из условий (3)

так, чтобы

траектории системы (1), (2) удовлетворяли наложен­

ной затратой энергии; 3)

достичь определенной скорости за мини­

мальное время и т. п.

общей

задачи

Эти задачи являются

частным случаем

более

оптимального управления,

к

формулировке

которой

мы

перехо­

дим.

Пусть некоторый управляемый процесс описывается системой

обыкновенных дифференциальных уравнений

х‘ = / '> \ х2,,

,

хп,

и1,

и2.......... ur,

t), tQ<Ct<CT,

i

=

1,

2,

. . . , п,

или в векторной форме:

х ~

f [х, и,

t),

t0 < t< C T ,

(4)

где х = (х1, . . . , хп) —

величины,

характеризующие процесс в каж­

го объекта,

« =

(и1......... ит) —

параметры управления («положе­

ние

рулей»

системы),

определяющие ход

процесса; функции

f ‘ (x,

и, t)

( i = l ,

2, . . . ,

п),

описывающие

внутреннее устройство

ются известными.

Для

того чтобы ход управляемого

процесса

(4) был

опреде­

лен

на некотором

отрезке

прежде всего необходимо за­

дать

параметры управления

и = ( и и2, . . . ,

иг),

например, как

функции

времени

u = u {t) =

(ul (t) , . . . ,

ur(t)),

t ^ t s ^ T .

Будем

предполагать, что

параметры

управления и

в

каждый момент t

ранства

Ег (в частности, может быть V (t)= E r). Управление

u = u(t)

назовем

допустимым, если его

координаты

uf (<)

(7 = 1 , 2

, . . . , г) явлются кусочно-непрерывными [или ограниченны­

ми измеримыми]

функциями и u(t)^ .V (t)

при

[почти

§ 1]

Постановка

задачи оптимального управления

157

всюду]. Множество всех допустимых управлений

обозначим

че­

рез U.

u (t)^ U ,

Возьмем

некоторое

управление

и в

(4)

положим u = u {t):

x = f(x , u{t), t),

t0 < t < T .

(5>

X(0 =

| / (х (т), и (т), x)dx + x (/„).

(6),

и

Будем

предполагать, что

функции

р {х , и, t)

определены и;

непрерывны

вместе

со

своими

частными

производными fxi (х, и , t)

(i, j = 1, . . .

, п),

где x e £ „ ,

u ( t) e V ( t) , t0^ t ^ T .

При этих ус­

шения уравнения

(5) с

заданными начальными условиями

x (t0) t

определенное на

некотором

отрезке

to < T i^ T

[194,

254]. В дальнейшем будем рассматривать только те

допустимые

управления

u(t),

для которых решение уравнения

(5)’ существует

на всем отрезке

Построенное в определенном выше смысле решение уравне­

ния (5) с начальным условием

х(£0) будем называть решением,

или траекторией,

уравнения

(5), соответствующим

допустимому

управлению

u = u (t )^ U

и начальному

условию

x(t0) и будем

обозначать

через x ( t) = x ( t, и)

t o ^ t^ T .

Точку x(tQ)

будем назы­

вать левым концом траектории,

точку х(Т) — правым концом

тра­

ектории x (t,u ).

ветствующая траектория x (t,u )

определена при

и удов­

летворяет условиям

x(t0,u.)<=S0(to), x (T ,u )^ S i(T ), 'x(t,u)<^G(t),

Т.

Такое управление u*(t) будем

называть оптимальным управлени­

ем, x * ( t ) — x (t,u *),

t o ^ t ^ T — оптимальной траекторией,

а пару,

(и* (t), х* (t)), t o ^ t ^ T

— оптимальным решением рассматриваемой

задачи. Заметим, что задача отыскания максимума J (и) легко сво­

дится к сформулированной задаче,

если заметить, что

sup/(u) =

= — inf (— / («)).

Мы часто будем пользоваться следующей более краткой фор­

мулировкой задачи оптимального

управления:

найти

минимум

-функционала

J(u ) = j f 0(x ,u ,t)d t + O (x(T ))

(7)

лри условиях

x — f{x,u,t),

t0<t<CT,

(8)

* ( g

6 S0 (tQ),

X (Т) 6 S , (T),

X (t) е G (0,

(9)

u = u(t)eusz{u{t):u{t)ev(t),

t0< t < T )

( 10)

(подразумевая, конечно,'что u(t)

берется

из класса

кусочно-не-

лрерывных или ограниченных измеримых функций).

Множество G (t) называют ограничением на фазовые коорди­

наты х = ( а-1,

...,хп) или просто фазовым ограничением. Может слу­

читься, что

G ( t ) = E n

при всех £е[/0, Л. тогда

задача (7) — (10)

■фазовые координаты и

вэтом случае условие х (t) е G (t),

в (9) не пишется. Если

же G (t)s £ E n, то задачу (7) — (10) называ­

Далее, многообразие S0(t) [или

Si(Q ] может

не зависеть от

времени и состоять из одной точки,

тогда говорят, что в задаче

(7) — (10) левый

[или

соответственно

правый]

конец закреплен;

•если же S0(t) [или

совпадает со всем простран­

ством

Е п, то говорят,

что левый [или соответственно правый] ко­

нец свободный и в этом

случае условие A(^0) e 5 0(^o)[^(7’) e S x ( r ) ]

в (9)

не пишут; наконец,

если S 0(f)[Si(f)],

представляют

■собой

некоторую

гиперповерхность

или

кривую

в

Еп, то

левый

[правый] конец называется подвижным.

t0 и Т в

В

задаче (7) — (10)

моменты времени

общем

случае

S 2)

Формулировка принципа максимума

Л.

С.

Понтрягина

153=

= Т— 10,

и задачу (7) — (10)

в этом

случае называют задачей бы ­

стродействия. Если же в

задаче (7) — (10)

моменты t0, Т извест­

ны, то задачу

(7) — (10)

называют

задачей

оптимального управ­

ления с закрепленным временем.

Если

p {x ,u ',t)= fi(x ,u )

(j— 0,

1,

п)

и

множества

S 0(O>-

Si(t), G(t)

не

зависят от

t,

то задачу

(7) — (10)

называют

авто­

номной.

Наряду

со

сформулированной

выше задачей

в теории

опти­

параметрами, с

изопериметрическими

условиями,

с

дискретным:

временем и т. д.

([5,

8, 21, 24, 26, 27, 34, 48,

59— 61, 75,

80, 100,

101,

115,

123,

139— 142,

157,

160,

161,

171,

195,

205,

206,

228,

232,

234,.

236, 238,

259] и др.; обзор работ см. в [60], [140]).

Упражнения.

1.

Если u = u (t)

— кусочно-непрерывно,

то непре­

рывное решение уравнения

(6) кусочно-дифференцируемо и в точ­

ках

непрерывности

x(t)

удовлетворяет

уравнению

(5).

Доказать-

2.

Доказать, что в случае ограниченного измеримого управ

Рассмотрим

задачу

оптимального

управления

(1.7— 10)

при

V{t) — V, G ( t ) = E n, t o ^ t ^ T .

Будем

предполагать,

что

либо

S j( t ) = E n, либо

Sx(0 =

{C M )

:h i( x ,t ) = Q ,' i= l,

2,

...,

п ^ п } ,

где-

функции hi(x,t)

непрерывно дифференцируемы

по

(x ,t)^ E n'X

Х[*о, Т] и система векторов

Г dht

dhi

’

dh[

dll; ) ( j = 1, 2, . . .

,rtj)

\И х*’

a F ’

дхП ’ ~аГ/

линейно независима

при всех

(х, t) 6 Si. (t), причем

в

случае закреп­

ленного правого

конца /г; (х,

t) = х ‘ — х\ ( £ = 1 , 2 , . . .

, пх = и).

Аналогично, пусть либо S0 (£) = £„, либо

S0{t)= {(x ,t):g i(x ,t)

= 0, £ =

1, 2, . . . ,/?0 < п },

и система векторов Х - ^ - , •. •, J ! ii-

dt

(£ = 1 2 , . . . ,п 0) линей-

1. ох1

дхп

J

но независима при всех (х, £) 6 S0(£), причем в случае закрепленного,

левого конца g t (х, t) ==хг'— х‘,

£ =

1, 2,

. . . , п0 = п.