Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

бует разработки специальных алгоритмов.

или Т

Кратко остановимся еще на случае, когда моменты

Т е о р е м а

2. Пусть

x*(t), u*(t),

— оптимальное ре-

' шение задачи

(1.7— 10)

при V(t) = V,

G (^ )= £ „ ,

пусть

теоремы 1 и, кроме того,

имеет место равенство

(0. *Ф*(0. "Фо. “‘ (О. 0 =

^ Г

М _(х*(г),Г(т),% ,и *(г).г) d%t tQ < t < T >

(150

.)

"

dt

т

Я ( * ’ (0,

я т

( 0 ,0 = -

д!Ч (.у* (Т), Т)

dt

/=1

+ Г

*"(**Г С .У (т ).*о .ц *(т ),т ) dx t0 < t < T,

(15")

.)

dt

§ 2}

Формулировка принципа максимума Л.

С. Понтрягина

165

Для иллюстрации теорем 1— 2 рассмотрим примеры.

т

П р и м е р ! . Минимизировать интеграл

J (и) =

j* (х2 +

и2) dt

о

Согласно теореме 1 составим функцию

н =

(х* + и2) + фг (— ах + и)

и выпишем сопряженную систему

dW

=

— ф0х.

фх = ----- —

дх

Так как правый конец х(Т) свободен,

то из условия трансверсаль­

ности

имеем i()i (Т) = 0 .

Отсюда

следует, что

ф о<0

(если бы

ф о=0,

то ф!(^) = 0 ,

и нарушено

условие (2) теоремы

1).

Поэто­

му можем принять ф0=

— 1. Тогда функция

Н = ----- (х2 -j- и2) -f-

— афре

достигает своего

максимума по

и при « = ф ь

и краевая

задача

принципа максимума запишется в виде

х — — ах + фъ

фх = афх + х,

х (0) = х0, ф (Т) =

0.

и (0 = фх (t) = х 0

еи _ еыт. е-м

%= V a 2 + \.

(Л — а) + (%+ а) е2КТ ’

Оказывается, оно в самом деле оптимально

(см. пример 6.3.1).

П р и м е р 2 .

Пусть

материальная

точка

движется по оси Ох

по закону х = и ,

где

и — скалярный

управляющий

параметр,

Требуется

найти

такое

кусочно-непрерывное

управление

u(t), |«(0|-<П,

О ^ ^ Г ,

чтобы

точка,

выйдя из начального по­

ложения х(0) =

1 с нулевой скоростью,

пришла в начало коорди­

нат с нулевой скоростью за минимальное-время.

В

фазовых

координатах х х= х ,

х2— х эта задача

сводится к

задаче

наибыстрейшего

перехода

от

точки (1,0) в точку (0,0),

когда движение происходит по закону:

хх— х2, х2= и , |и|^1.

166

ПРИНЦИП

МАКСИМУМА

Л. С.

ПОНТРЯГИНА

[ Г л .

3

Согласно теореме

2

составим

функцию Н = ф0 +

+ ф2ы

и

выпишем сопряженную систему

д Н

= 0, ф2 =

д Н

— фх.

dxi

д х 2

Отсюда фх^нггСх, ф2 (*) =

с2— Cyt,

clt с2— постоянные.

Из

условия

max Я

имеем u (t) = sign (с2 — с,*).

Следовательно, оптимальное уп-

1Щ<1

равление

(если оно существует)

является

кусочно-постоянной

функцией,

принимающей значение ± 1

и имеющей не более одной

точки переключения tu при переходе через которую

u(t)

меняет

знак.

Нетрудно убедиться, что фазовая траектория, выходящая из

(1,0)

и соответствующая

управлениям

u(*)=s-|-l при t^ .0 или

«(*) =

— 1

при * ^ 0 , или

u ( t )

■1,

0 <

г < *х,

— 1,

t i < t ,

хх(Л = I ^ 0 - 5 ^ “, 0 С ^ С / х ,

д,2 / а _ |

0

t *х ,

1 0.5** —

+ / ? + ! ,

1 * — 2*х,

* > * х.

Из условия х 1( Т ) — х2(Т) = 0 находим

*i = l, 7 = 2 .

В качестве

ве­

ф о=0, ф != — 1; ф2^= t— 1. Можно доказать,

что найденные управ­

ление и траектория будут оптимальными (см. пример 5.2.2).

Упражнения. 1. С помощью принципа максимума решить за ­

дачу быстродействия

для системы

х 1= х 2,

х2= и

при условиях

x (*o )& S 0,

* ( 7 ) & S b

I и | < 1,'

где 5 0= { х 1= 0 ,

х2= 0 }

или

5 0= {| х Ч 2+ | х 2|2— 1 =

0 } , или S 0= { x ’— 1 = 0, * 2= 0 } , а 5i = {x‘ = 0}

или S ! =

{ |JC112-|-1jc2|2—4 = 0 } .

2. Сформулировать принцип максимума длязадачи (1.7— 10)

при условиях,

когда

f (х, и, t) = А (t)x + B (t) u-\-F(t),

А.— матрица

порядка « Х « ;

В — матрица

n X r ,

F —.«-мерный вектор, и,

кроме

того,

У ='{и:|«г'|г=£1, г=(Г, 2,

...,

г),

G ( t ) = E n, *0< * < '7 .

з

3.

Показать, что в задаче: найти минимум J (и) — Г (х2— и2) dt

§ 2]

Формулировка принципа максимума Л. С. Понтрягина

167

■-

1,

0 < / < 1 ,

ип (О

( - 1 ) *

при 1 + - £ - < * < 1

+ - Ш - , k — 0, 1,

. . . ,2 п — 1,

2п

2 п

+

1.

2 •</ •< 3

(на отрезке

имеем дело

с так называемым

скользящим

1

4. Найти минимум функционала

/ (и) = J sin udt при условиях

о

x = c o s и, л:(0) = 0 , я(1) = 1,

. Показать, что u*(t) = 0 —

5.

Применить принцип

максимума к задаче:

минимизировать

г

J (и) =

j* |х (t) |2 dt

при условиях х = и ,

а:(0) = 1,

х ( Т ) = 1, [ы |^1,

о

оптимальное управление не

Т> 0 задано. Показать, что при Т > 2

может быть однозначно определено из принципа максимума.

6.

Применить принцип

максимума

к задаче:

минимизировать

1

функционал J («) =

j x2dtпри условиях х = и ,' х ( 0) = 0 , |ы|<^1. По-

Uh (0 =

±

sig/г J^cos

^ r f ]

(п =

0, 1 . . . ) .

Убедиться

в том,

что ц *(£)= = 0— оптимальное'управление. Пока­

зать, что

последовательность

{ып( 0 }

является

минимизирующей.

7.

Показать,

что задача

минимизации

функционала

т

J (и) — J и2 {и — I)2 dt

о

при

условиях

х = и ,

х(0) = 0 , х(Т) = 1,

Г задано,

0.<С«-</, при Т=

1

имеет единственное оптимальное

решение, а

при

1

имеет

бесконечно

много решений.

Изменится ли этот

вывод,

если снять ограничения на «?