Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

или 1*N -с J* + е при

всех

N > Nv Следовательно,

lim /^ <

Г

+ е,

____

N —>oo

или в силу произвольности е > 0 :П т / # < / * .

N-*oo

С другой стороны, по определению I*N для любого е > -0

и

лю­

бого N > 1 найдется

такое дискретное управление [и?] из (6),

что

I n

I n ([*4]) •< I n + — ■.

По лемме 2 для управления

=

^ < ^ < ^ f+ h i = 0, 1, . . . , N — 1,

имеет место

J* <^.J (ueN(t)) •< I n ([uf]) + —

n +

e,

или J* <. I N 4- e

при всех N^>N2. Поэтому lim In > / ’ — e

или в силу прэизвольнос-

N-> оо

____

ти 8 > 0 : lirn Гм > /*. Выше было доказано,

что lim f N < 7 * . Срав-

JT ^ o

n -><*

un"e (t) = иf*f, t ^

t ^ + u

i =

0, . . .

,

1,

будем иметь

О < J {и6» (0) —

(иЕ/

{!)) -

I N«

4 * ] ) |+

+ |/л£---/*| +

8л£-»-0

(N-*-oo). а

более общего функционала

т

/ (« )= j7 ° ( * . и, t)dt +

<b(x(T))

io

при условиях (2), (3), если Ф.(х),

f°(x, и,

t) непрерывны,

\f°(x, и, t) — f°(x +

Ax, и +

А«, t) |]<L(| Ах| -|-| Ди|)

при любых |а: |< CL, |лг]+ Дх |< Съ и, и +

Д« 6 V, t0 < t < Т, а вмес­

то (4) берется

I n ([«г]) = £

А^ °

0

+ ф (xn)■

i

J(u) = J |x(s, Т, и) — y(s)\2ds

(1)

о

при условиях

4 г =

-ТГ«

( M ) 6 Q =

{ 0 < s < 7 ,

о < г < т } ,

(2)

ot

OS*

^ Ь Л

= о,

о < t < T -

x(s, 0) =

0, 0 < 4s <

I,

(3)

ds

J ± M L = = v [ u ( t ) - x ( l , . t ) \ , 0 < ; < 7 \

(4)

OS

u ( t) £ L 2[0,T], |ы(/)|<1 почти всюду на 0 < £ < 7 \

(5)

»

где I, Т, v — заданные положительные константы, у (s)

— заданная

непрерывная функция на отрезке O ^ s^ / .

введем

сетку точек (s,-,

tj), Si=ih, tj— jx, i= 0 ,

1, .... N;

/ = 0 ,

1,

M,

где h, т — шаги

сетки, N h = l , x M = T .

Интеграл

в i('l)

за­

ностными уравнениями по неявной схеме, производные

в (3),

OS

N—1

( Ы )

=

Y i h \-Хш— у (s‘)]2

(6)

при условиях

i=i

_

« , + , . ) ~

2« . . - ' « . - и

,

,

= 1,

. , ,

, N - l - , i =

1 .............М , ( 7 )

* 0/ =

*!/(/ =

] . 2, •••, М),

xi0 =

0,

i =

0,

1,

. . . ,N ,

(8)

=

v[u,—

xNj],

j = 1,

2, . . .

,М,

(9)

N

=

К , Щ,

■■•. им)>

|ЩI <

1,

i =

1, 2, . . . , М.

(10)

Пусть J* — нижняя грань

функционала

(1)

при

условиях

(2) — (5),

/л,т

— нижняя

грань функционала (6)

при

условиях

(7 )— (10),

пусть

[«£8]

представляет собой приближенное

решеиие

задачи

(6) — (10)

в следующем смысле:

Д,т

//ix([ыг]) Д,т -J- 8,

(11)

где е=е(/г, т)->-0 при h, т->-оо.

Т е о р е м а

1.

Имеет место равенство

lim//,iX =

J*.

Управления

u*(t), полученные кусочно-постоянным

продолжением

[и®]

из (11):

ue (t) = uBlt

1,

i =

0,

1,

. . .

, М —

1, минимизируют функцио­

нал J(u),

т. е.

Нш J ( u e (t)) = Л .

h,T-»0

Доказательство этой теоремы опирается на следующие две лем­

мы,

аналогичные леммам 1.1— 2.

Л е м м а

1.

Для любого управления u(t)

из

(5) и любого чис­

ла

6 > 0

существуют

/г (б),

т(6)

такие,

что при

всех

h, т,

0 < .h <

< .h { б),

0< С т< т(6)

можно указать дискретное управление [и,-] из

(10), для которого \J(u(t))—Ih,t ([и,-]) |< 6 .

Л е м м а 2.

Пусть [« ,]=

(щ, ..., им )

удовлетворяет условию (10)

и uT(t) — Ui,

1, i = 0,

1, ..., М— 1. Тогда для любого & > 0

задачи (6) — (10) могут быть использованы методы гл.

2 или §6.2.

Решение краевой задачи (7) — (9) при заданном [ыг] из

(10) удоб­

нее всего получить методом прогонки [20, 207].

и МФ, 1, № 3, 542—545, 1961.

3. А л ь б ер Я. И.

К задаче минимизации гладких функционалов градиентны­

ми методами. Ж ВМ и МФ, 11, № 3, 752—757, 1971.

4. А л ь б е р Я. И.

Непрерывные процессы Ньютоновского типа. «Дифференц.

уравнения», 7, №

Ц, 1931— 1945, 1971.

5.

А н о р о в В. П. Принцип максимума для процессов с ограничениями общего

вида,

I,

II.

«Автоматика и

телемеханика», № 3, 5— 15, 1967;

№ 4,

5— 17,

1967.

6. А р н е

Р. Дискретное динамическое программирование. М., «Мир»,

1969.

7.

А р к и н В. И.,

Л е в и н

В. Л.

Выпуклость значений векторных интегралов,

теоремы измеримого выбора и вариационные задачи. «Успехи матем. наук»,

27, вып. 3 (165), 21—77, 1972.

8. А т а н с

М.,

Ф а л б П.

Оптимальное управление. М., «Машиностроение»,

1968.

9.

Б а б и ч

М. Д.

Оценка

полной

погрешности при минимизации квадратич­

ного функционала

в шаре.

«Укр. матем. журн.», 22, № 3, 308—319, 1970.

10.

Б а б и ч

М. Д.,

И в а н о в

В. В.

Исследование полной погрешности в зада­

чах минимизации

функционалов

при наличии ограничений.

«Укр. матем.

журн.», 21, №

1, 3— 14, 1969.

12.

Б а к у ш и н е к и й

А. Б.

Регуляризующие

алгоритмы для решения некор­

ректных экстремальных задач. Сб. «Методы управления большими систе­

мами», т. 1. Иркутск, 1970, стр. 223—235.

13.

Б а х и т о Р. У.,

К р а п ч е т о в Н. И., К р о т о в В. Ф. Синтез приближенно­

оптимального управления для одного класса управляемых систем. «Авто­

матика и телемеханика», № 10, 33— 43, 1972.

- 14.

Б е л л м а н

Р.

Динамическое

программирование. М., ИЛ, 1960.

15.

Б е л л м а н

Р.,

Г л и к ' с б е р

И., Г р о с с

О.

Некоторые вопросы матема­

тической теории процессов управления. М., ИЛ,

1962.

16.

Б е л л м а н

Р.

Процессы

регулирования с

адаптацией. М., «Наука», 1964.

17.

Б е л л м а н Р.,

Д р е й ф у с С .

Прикладные задачи динамического програм­

мирования. М., «Наука», 1965.

у/’ 18.

Б е л л м а н

Р.,

К а л а б а

Р.

Динамическое программирование и современ­

ная теория управления. М.„«Наука», 1969.

19.

Б е р е з и н

И.

С.,

Ж и д к о в

Н. П. Методы

вычислений, т. I. М., «Нау­

ка», 1966.

20.

Б е р е з и н И. С.,

Ж и д к о в

Н. П. Методы вычислений, т. II. М., Физмат-

гиз, 1962.

;

хан., № 3, 43—51, 1972.

23.

Б о л т я н с к и й

В. Г.

Достаточные условия оптимальности и обоснование

метода динамического программирования. «Изв. АН СССР», сер. матем.,

28, № 3, 481—514, 1964.

24.

Б о л т я н с к и й

В. Г.

Математические методы оптимального управления.