Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

ное значение /в (и) с погрешностью |/(«)— Ув(«)|- Оказывается, если эту погрешность согласовать с регуляризатором £2(w), то и в этом случае задача минимизации J (и) на U может быть регуляризована {221]. А именно, пусть погрешность

при доказательстве теорем 2.1— 3, здесь следует заменить цепочкой неравенств

J (и*) < J (uk) < J (и*) + os* Q (и*) < 7 6ft (uk) + a k Q (ик) +

t . e. В силу слабой компактности S c из {uh} можно выб­ рать, подпоследовательность {Ukn), слабо в В сходящуюся к неко­

й (и*) < П т й (икт) < й (и*).

fe—>00

минимума в единственной точке, следует, что й* = и*. Это означа­ ет, что {itfc} имеет единственную слабую предельную точку и*, т. е. иът+и* слабо в В при k-+oo. Кроме того, из неравенства

й (uk) •< Й (и*) -{- 6А имеем П т й (uk) = й («*).

/е->оо

Далее из определения равномерно выпуклого функционала сле­ дует

Ч2 У

ЧТО возможно ТОЛЬКО при IIuk— Ы*||->0 (&->-.оо). ^

При определении последовательности {Д }, Д > / * , Д-*-/*, й->- ->-оо) можно воспользоваться любыми удобными методами мини­ мизации J (и) на U. Если задача определения {и*} из :(1) может быть решена достаточно просто, то метод регуляризации из теоре­ мы 1 позволяет эффективно строить минимизирующие последова­ тельности, сходящиеся к точке минимума в норме В.

§ 5] Усиленная регуляризация 353

О регуляризации некорректно поставленных зад'ач с помощью аппроксимации множеств см. в работах [36, 37, 98, 247— 250].

§ 5. УСИЛЕННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

Наконец, кратко остановимся на одной интересной возможно^ сти дополнительной регуляризации задач минимизации функцио­

Возникает вопрос, нельзя ли подправить, сгладить эту последова­ тельность {w *(9} так, чтобы новая сглаженная последовательность сходилась к u*(t) равномерно на любых замкнутых множествах из интервалов непрерывности u*(t)? Оказывается, можно. На эту возможность указывает

равномерно на любом замкнутом множестве, принадлежащем ин­ тервалу непрерывности u*(t). Доказательство этой теоремы см. в работе [31]. По поводу согласования метода регуляризации с ко­

354 РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ [Га. 8

нечно-разностными и другими аппроксимациями экстремальных за ­ дач см. работы [28, 30, 31, 33, 36, 37]; примеры конкретных при­ кладных экстремальных задач, решенных с помощью регуляриза­ ции, см., например, в работах (37, 143, 151, 222, 224, 226].

В заключение заметим, что метод регуляризации широко при­ меняется для решения самых различных классов некорректно по­ ставленных задач науки и техники, как, например, многих обрат­ ных задач математической физики, задачи численного дифференци­ рования, интегрального уравнения Фредгольма первого рода, вы­ рожденной системы линейных алгебраических уравнений, суммиро­

Можно ли в качестве регуляризатора этой задачи взять функцию Q(u) = |u— «0|2, где «о — заданный вектор из Ет? Как регуляризовать эту задачу, если вместо точных А и b известны лишь при­

ближенные Л и Ь, ||Л—Л||<^&, |b— 6| < б ?

2. Привести пример некорректно поставленной задачи линей­

3. Пусть требуется минимизировать функционал

Тт

J(u) = j ||K{s, t)u{s)ds — /(/) |2 dt при и — u(t) 6 L2[0, T],

оо

где K(s,t), f(t) — заданные функции при 0 < £ , s < 7 \

K ( s , t ) e L z(Q), Q = { ( s , t ) : 0 < s , t < T } , /(0<EM O, Т].

Привести примеры K{s, t), когда такая задача поставлена некор­ ректно. Можно ли здесь в качестве регуляризатора взять функцио­ налы Q(u) из примеров 2.2— 7?

4.Можно ли в задачах оптимального управления из §§ 6.5— 7

вкачестве регуляризатора взять функционалы Q(«) из примеров

2.2— 7?

5. С к азать методы определения элементов и* из (2.3) только что сформулированных упражнений 1---4.