Файл: Талыпов Г.Б. Сварочные деформации и напряжения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 156

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

нениях напряженного состояния упругого тела, при которых приращения внешних сил и соответствующие приращения ком­ понентов напряжения связаны уравнениями равновесия и усло­ виями на поверхности тела, сумма работ приращений всех внеш­ них сил на статически соответствующих этим силам перемещениях равна приращению потенциальной энергии тела, т. е.

2 (и8Х + v8Y + w8Z) = 8U,

(3.41)

где X, Y, Z — означают составляющие объемных

и поверхност­

ных сил. Из этого принципа вытекают теорема Кастильяно и теорема о наименьшей работе.

Начало взаимности. По этому началу, если рассматриваются два состояния упругого тела, работа сил первого состояния на соответствующих им перемещениях второго состояния равна работе сил второго состояния на соответствующих им перемеще­ ниях первого состояния. Методы применения этого начала к за­ дачам термоупругости разработаны в работе [62].

Эти основные энергетические методы широко применяются для решения изотермических и неизотермических задач строи­ тельной механики (стержни, стержневые системы, пластины и т. д.). Изложение этих методов и их применение можно найти в работах [8, 26, 62, 67, 91, 92].

Численные методы

Из численных методов наиболее приспособленным к машин­ ному счету является метод конечных разностей [47].

Методы плоской задачи

Наиболее эффективными методами решения плоской задачи термоупругости являются метод функции Эри и метод комплекс­ ных переменных. Изложение и применение этих методов можно найти в работах [8, 68, 92, 119].

16.ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Вусловиях плоской деформации будет находиться средняя часть призматического тела большой длины, свободного от внеш­ них сил и с одинаковым для всех его поперечных сечений неравно­

мерным распределением температуры Т (х, у) = Т (х, у) — Т0. Если ось oz совместим с геометрической осью этого тела, то в этом случае получим, что

и= и(х, у);

v =

v{x,

у);

 

dw

_

dw

Q_

(3.42)

дх

~

ду

'

 

dw

=

const = с;

 

~дг

 

 

 

 

4 Г. Б. Талыпов

49

При этом соотношения (3.7), если учесть (3.20), дадут:

ауу

=

°уу(х>

У)>

 

o2Z = li(oxx + oyy) +

2(\ + ii)Gla-a(T-T0));

\ (3.43)

хху

~

хху (*»

У)'і

 

ххг

~

xyz =

^.

 

Третье из уравнений равновесия (ЗЛО) удовлетворяется тожде­ ственно, а первые два принимают вид:

доххдх + д*худу = 0;

дъдхху + двууду = 0. (3.44)

Последнее из уравнений (3.11) обращается в тождество, а в первых двух необходимо положить

ди

.

dv

а,

(3.45)

дх

'

ду

 

и, следовательно, система уравнений Дюгамеля—Неймана в этом случае будет иметь вид:

Д И

1

де _

2а(1 + |х)

д

1 Т

_ _ т - , _ г ) .

 

1 — 2ц

дх

1 — 2ц

дх

 

 

'

 

(

 

AV +

1

де

2 а П + д )

д

,„

„ ч л

} (3.46)

1 — 2ц

д(/

1 - 2 | І

 

 

— ' о )

 

где е определено соотношением (3.45). Третье из уравнений (3.24) оказывается следствием двух первых, а второе и третье из урав­ нений (3.25) обращаются в тождество. Таким образом, из шести уравнений Бельтрами в этом случае остаются три:

 

і

 

1

д*о

'

2а(1 + ц)б д (

Т

т\Л-

\

 

 

1 + 1* дх2

Г = £

A t

y

7 0 - » +

I

 

 

 

+ 2 а О ^ г ( 7 ' - Г о ) = 0;

 

 

 

л «т

і

 

1

а«а

 

• 2а (1 + ц)0

 

 

 

(а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52

 

0;

 

 

 

 

 

 

+ 2 « G ~ ( 7 - - r 0 ) =

 

 

 

Л T W

+

 

1

 

° + 2 a G l ^ ( 7

' - 7 ,

o ) = 0.

 

1

+ ц

д 2

 

 

1

&с

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имея в виду (3.43), получим

а = ахх + а д а - f o e = (1 + |i) (а„ + оуу) +

+2 ( l + j i ) G I a - a ( r - 7 ' 0 ) J .

Подставив последнее в (а), будем иметь:

А

охх

+

-^(ахх

+

ат) + 2 " ( / +

^ °

Л ( Г -

Г0 ) =

0;

 

A

g w

+

- g -

+

gw ) + 2 а У_

^

° А (Т -

Г0 ) =

0;

(б)

В силу (3.44) третье из этих уравнений удовлетворяется тожде­ ственно. Складывая первые два, получим:

А (<т« + оуу) + 2а{}+^)°

А(Т-Т0)

= 0.

(3.47)

Если удовлетворено это уравнение, то, как нетрудно убедиться, каждое из первых двух уравнений (б) удовлетворяется в отдель­ ности в силу уравнений равновесия (3.44).

Уравнение (3.47) вместе с уравнением равновесия (3.44) пред­ ставляют полную систему уравнений температурной задачи теории упругости в напряжениях при плоской деформации. Та же пол­ ная система в компонентах перемещения дается уравнениями (3.46).

Получающиеся в результате решения составляющие переме­ щения или напряжения должны удовлетворять соответствующим условиям на поверхности. В частности, если поверхность тела свободна от усилий, то составляющие напряжения на этой по­ верхности должны удовлетворять условиям:

aJ

+

xxym

=

0; j

 

xxyl +

ayym = 0. J

w

Как показывает формула

(3.43),

a a

не зависит от z.

Поэтому

условие а2г = 0 на торцах z = ± -|- цилиндрического тела не

может быть выполнено. Но можно потребовать выполнения этого условия в среднем по поперечному сечению цилиндра

J J

a„dF = 0.

" я

Из последнего условия будет найден параметр а. Рассмотрим два метода решения задачи.

Первый метод

Плоскую температурную задачу теории упругости можно свести [59] к решению уравнения Пуассона и бигармонического уравнения. Как известно, решение обычной плоской за­ дачи теории упругости при отсутствии объемных сил сводится

4*

51

к нахождению функций напряжений Эри <р, через которую напряжения определяются по формулам:

д2ф ,

 

° х х

~

ду* '

 

"ху

дхду

 

В

плоской

температурной

задаче можно

ввести

функцию

U =

(фх — Тг),

 

предполагая,

что имеют

место

равенства:

 

 

 

_

дЮ .

Хху

 

 

(3.48)

 

° х х

~

ду* ' А У У ~

дх2 '

дх ду

 

 

 

Если

подставить

последние в

уравнение

равновесия

(3.44), то

они будут удовлетворены тождественно, а уравнение (3.47) при­ мет вид

Л Д Фх - А А А + 2 а ( 1 + ^ G А (Т-Т0) = 0.

Отсюда вытекает, что если функция Т1 удовлетворяет уравнению Пуассона

А Тх

=

2 a (

1 1 + [ ^ ) G (Т - Т0),

(3.49)

то функция фх должна

быть

бигармонической

 

 

 

А Афі = 0.

(3.50)

Если найдены функции

7\ и ф ь как решения уравнений

(3.49)

и (3.50), то напряжения

определяются по формулам (3.48). Эти

напряжения должны удовлетворять условиям на поверхности (в). Перемещения определяются интегрированием уравнений Коши.

Из соотношений

(3.42), используя

(3.20) и (3.43), для деформаций

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1£-

= ^G

[ А * Х

-

^ ° Х Х +

°УУ)

-

2

А ^

° +

2« (1 + ti) G (Т—

Т0)];

ду

=

[ауу

-

I* (<УХХ +

Оуу) -

2a\iG - f 2a (1 +

ц) G (Т -

Т0)\; (Г)

 

 

 

 

dv

.

ди

 

 

*ху

 

 

 

 

 

 

 

 

дх

~Т~~ду~'

 

G

 

 

 

 

Интегрирование

первых

двух

уравнений

дает:

 

 

 

 

" =

~~Ь 1[а*х

— Р (°хх

+ °УУ)

~~ 2аР°

+

 

 

 

 

+

2a (1 +

ц) G (Т -T0)]dx

+

h(y);

(3.51)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v =

4G\ {ауу ~ V- (G*X

+ А ^ "~ 2 A ^ G

+

 

 

 

 

+

2а(1 +• |І) G ( Г - 7 0 ) ] d y + /,(*)•

 

Подставив (3.51) в третье из уравнений (г) и интегрируя, получим

/і (У) =

Ау + В\

/2 (х) =

-Ах + С,

Смотрите также файлы