Файл: Талыпов Г.Б. Сварочные деформации и напряжения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 155

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где А, В, С — произвольные постоянные интегрирования. Отсюда следует, что члены /х (у) и /2 (х) учитывают лишь жесткое смеще­ ние всего тела и на относительные деформации не влияют. Таким образом, для определения деформации можно использовать фор­ мулы (3.51) без членов fx (у) и /2 (*)•

 

Если

введем

потенциалВторой метод

 

 

 

 

перемещений,

не зависящий

от z:

 

 

 

 

F (х, у) термоупругих

 

 

 

 

 

 

dFя и

 

 

ЯРdF

 

 

 

 

 

 

 

 

-

dFяс

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

(3.52)

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

ду

'

 

дг

'

 

 

то система

(3.46)

будет приведена

к одному

уравнению

 

 

 

 

Л

t

-

dx2

+

 

 

ду* -

a

1 — ц

'

1 *>•

 

(3.53)

 

 

 

 

 

 

 

В

случае,

когда

имеем

 

 

стационарное

температурное

поле и

Т — Т0

= Т (х, у)

удовлетворяет

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д2Т

+

д2Т

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2

dy2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

т. е. является гармонической функцией,

из (3.53)

получим, что

функция

F (х, у) должна

 

удовлетворять

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AAF

= 0,

 

 

 

 

 

(3.54)

или, что то же, уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d*F + 2

 

diF

 

 

d*F

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх*

 

 

 

дх2

ду2

 

ду*

 

 

 

 

 

 

т. е. она должна

быть

бигармонической

функцией. При этом

относительные деформации определятся

по формулам:

 

 

 

- _ d2F .

 

 

 

 

d2F

 

 

 

 

d2F

 

= 0;

 

 

 

 

 

ехх—

дХ2 >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дг2

 

 

 

(3.55)

 

 

 

d2F

 

-

_

о

 

 

d2F

= 0;

v„2

= 2

d2F

= 0.

 

Хху •

 

дх ду '

^кг ~

1

 

dxdz

ду dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из

(3.52)

и (3.55)

следует,

 

что плоскости, перпендикулярные

к оси z,

сохраняют

свои

 

начальные

положения.

 

 

 

 

Для соответствующих

напряжений соотношения

(3.28)

дадут:

 

 

 

 

ахх

—

2G

d2F .

-

=

-2G

d2F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

oyy

дх2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ozz =

 

 

 

 

 

 

-2aG±±±(T-T0);

 

 

(3.56)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

п

г

 

d2F .

 

"^хг — "^уг — 0-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

д

х ду >

 

 

 

 

Таким образом, если, найдена функция F как решение урав­ нения (3.53), то соответствующие смещения, деформации и на-

пряжения определяются по формулам (3.52), (3.55), (3.56). Полу­ ченное решение справедливо тогда, когда на боковой поверхности тела заданы компоненты напряжения ax°J, Oy°J, rx°J, которые совпадают со значениями напряжений (3.56) на этой поверхности. В общем случае значения напряжений на поверхности тела могут

не совпадать с их заданными значениями

охх, a{yJ,

хху.

Напри­

мер,

на практике чаще всего встречаются

задачи,

когда

боковая

поверхность тела

свободна

от внешних усилий,

т. е.

— О,

:(0)

— 0, хх°у = 0

всюду на

этой поверхности. В

таких

случаях

"УУ

оказывается необходимым найти такое решение уравнений теории

упругости,

которое

на

торцовых плоскостях

тела удовлетворяет

-»

->•

->

 

условиям w = О, тхг

=

%уг = О, на боковой

поверхности напря­

жения равны по величине и обратны по знаку тем, которые опре­ деляются формулами (3.56) на этой поверхности. Это обычная задача теории упругости и в данном случае она решается при помощи функции напряжений Эри, которая удовлетворяет диф­ ференциальному уравнению

д4ф 1 9 <5*Ф

дх2 ду* ^ ду*

и позволяет определить компоненты напряжения по формулам:

лд2<? •

х х ~

ду2

'

"да

~дх2~] 0 2 2

"

дх2

ду*

т-ху —

дхду

'

^хг

— ^уг —

Є г г —

Е

2 2 V- (ахх + О ] = о.

Если функция ф найдена, то напряжения, удовлетворяющие заданным условиям на боковой поверхности, определяются по формулам:

а.

 

 

 

 

 

ду<

 

 

 

 

О,

 

ayy

+

 

 

д*

 

 

 

 

 

уу —

д х

°yy=l^((i>-2GFY>

 

 

 

уу

 

 

 

г

2G7

 

);

 

a2Z

=

аи - f azz

=

 

д*

( - C P +

7

(3.57)

Л

 

Хху — Хху +

Хху —

д х д у

 

 

 

= И

 

+

о )

-

2aGftwp — 2GF) =Т ).

 

кх

т

 

 

 

±±£ (Т -

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения соответствующих деформаций используем фор­ мулы (3.7), из которых следует что

о = охх + ауу +

аа^Ц^±Л[е-За(Т-Т0)]

или

Подставив последнее выражение в формулы (3.7) и разрешая

относительно ехх,

 

еуу,

получим:

 

 

 

&хх

 

1

(^х-т^о)

 

+

а(Т-Т0);

 

— 2G

(°хх

-1 + ц

 

 

 

еуу ~

1

(°уу

а ) + а ( Г - 7 - 0 ) ;

 

2G

 

егг

=

 

( r - 7 ' o ) :

 

 

 

~2G~ ( ° - - T T V e ) + a

 

 

 

Уху

тху .

 

Хуг •

 

 

 

 

~~'

G '

 

 

 

Используя теперь (3.57) и имея

в виду, что

 

О" — QXx

~\~ Ъуу +

аг 2 =

(1 +• р,) Д

ф — 4G Д

F;

 

 

AF =

 

-\±^-a(T-T0),

 

получим:

 

 

 

 

 

 

d*F

 

е**=4ії

 

 

 

 

 

( - | ^ - - ^ Л ( Р ) +

дх* '

 

 

 

 

 

- 4 Г ( ^ Л Ф ) ;

(3.58)

Перемещения найдутся путем интегрирования дифференциальных

уравнений

Коши:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JEJL — />

•

J L

— *

•

_L _ v

/ Q r:q\

 

~~ х х

'

ду

~

ду

^~ дх ~Ух"'

{ 1 >

Рассмотрим

частный

случай. Если принять

 

 

 

 

 

 

Ф = 2GF

 

 

 

как функцию напряжений Эри, то соотношения (3.57) дают:

 

 

 

Охх

=

Оуу =

ТХу =

0,

 

 

o2 Z

= - 2 ( l - n ) G

A f = - 2 ( l +

ji)Ga(r — Т 0 ) ;

 

=

( 2 0 - ^ - 2 ( 1 0 A f ) + ^ - = ( l - ^ ) A f =

 

 

 

= ( 1 + [ х ) « ( Г - 7 ' 0 ) ;

 

 

 

 

e w = ( l + | i ) a ( 7 ' - 7 ' e ) ;

 

 

 

 

Єгг

=

0;

УХу =

0.

 

 

Таким образом, напряжения ахх,

ауу,

хху

в этом случае

равны

нулю везде, а в точках торцовых сечений возникают напряжения сжатия о„.

17.ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Вусловиях плоского напряженного состояния будет нахо­ диться тонкая пластинка под действием сил в ее серединной плоскости при условии, что ее поверхность свободна от внешних сил и распределение температуры не зависит от направления, нормального к ее серединной плоскости. Поместим координатную плоскость хоу в серединной плоскости пластины, а ось г направим

по нормали к этой плоскости. При принятых условиях а 2 = 0 и, используя выражения (3.7),

 

= 2G

dw .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

огг

дг

+

 

I*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е = ег

 

 

 

 

 

 

 

из условия

0^ =

О получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

е„

=

 

 

 

 

 

 

 

(^ХХ

Єуу),

(3.60)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - І *

++

еуу)-

(3.61)

При этом для компонентов напряжения (3.7) будем иметь:

 

 

 

 

2G

I***

+

-

0 +

Ю

<* (Г -

Т0

)1;

 

 

 

1

- І *

(3.62)

 

 

2G

 

+

И*** -

 

 

Jm

1 - І *

 

 

(1 +

f*)« ( Г - ^в)];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнениями

равновесия

 

' в

 

 

 

 

 

 

 

в силу

 

 

 

 

 

 

 

будут:

 

 

 

 

 

 

"yz •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дохх

_j_ дтХу

 

_ Q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ду

 

 

 

 

 

 

(3.63)

 

 

 

 

дх

да,га

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

дг/

 

 

 

 

 

 

 

Подставив в эти уравнения выражения компонентов напряжения

(3.62), получим уравнения

Дюгамеля—Неймана:

 

Д "

+

1 + p.

д

( ди

_ j _ до

 

1 — [л

дх

дх

^

ду)

 

_ 2

- | ± і і а - ^ ( Г - Т 0 ) = 0;

 

 

 

1 - І *

 

 

 

 

(3.64)

 

 

1 + 1*

 

du

 

до

 

 

 

 

 

 

 

1 — ц

д(/

дх

+

ду )

 

Компоненты перемещения, полученные решением этой системы, должны удовлетворять граничным условиям. Аналогично изло­ женному в предыдущем параграфе система уравнений Бельтрами в этом случае сведется к одному уравнению

А (Рхх + аУу) + 2а (1 + fi) G А (Т - Т0) = 0.

(3.65)

Последнее вместе с уравнениями равновесия (3.63) определяет составляющие напряжения, которые должны удовлетворять усло­

виям на поверхности:

 

 

/,

л і

( 3 - 6 6 >

если поверхность пластины свободна от внешних сил. Для реше­ ния конкретных задач здесь также можно использовать два метода:

Предположим,

что

Первый метод

функция

 

 

 

существует

такая

 

 

 

U = ф 1 —

7\,

 

 

 

что имеют место

равенства:

 

 

 

 

 

 

_J4J_.

_ _

J W .

 

 

_

d*U

n f i 7 ,

Qxx~

д у і »

"да—

дх2

'

тху—

 

д х д у •

(О.ОІ)

При этом уравнения

равновесия будут удовлетворены тожде­

ственно, а уравнение

(3.65) примет

вид

 

А Афі — А ІА 7\ — Еа

(Т — Т0)] = 0.

(3.68)

Отсюда имеем, что если функция 7\ удовлетворяет уравнению Пуассона

Д 7 \ = Еа

(Т - Т0),

(3.69)

то функция ф! должна быть бигармонической

 

ААФі

= 0.

(3.70)

Как только найдены функции 7\ и фх решением уравнений (3.69), (3.70), напряжения определятся по формулам (3.67). Эти напря­ жения должны удовлетворять условиям на поверхности (3.66). По формулам (3.62) для деформаций имеем:

дх = е** = 4 " \*хх — VByy + £ а (Г —

Т

)];

d U

0

 

•^f = eyy=lS

{°УУ — Vахх +

Еа(Т—

Т0)];

(3.71)

dv

,

ди

_

хху

 

 

 

дх

^

ду

~

G

'

 

 

Перемещения найдутся интегрированием уравнений Коши (3.71).

57

Смотрите также файлы