Файл: Талыпов Г.Б. Сварочные деформации и напряжения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 152

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

откуда

(3.20)

Продифференцируем уравнения (3.11) по х, у, z и сложим. Это даст

Ae = ^ ± f

А(Т-Т0).

(3.21)

1 [X

Из (3.19) имеем

А о" = 2 G , ( 1 + Г }

[ А е -

 

1 — 2ц

 

или, учитывая

(3.21), получим

ACT _

2G(l + Ю Г a O + j x )

 

1 — 2 ц

1 - ц

откуда

За А ( 7 - 7„)]

За А ( Г - Г 0 ) ,

А о = - 4 в < ; + ц Р » ° А ( Г - 7 - 0 ) .

(3.22)

Далее, имея в виду (3.19), из первого соотношения (3.7) получим

да

схх

JMJ

+

а(Т-Т0).

(3.23)

~дх~

2G"

2(1 + ц ) 0

Подставив в (3.18) выражения (3.20), (3.23) с учетом (3.22), полу­ чим первое уравнение Бельтрами—Митчеля. Аналогично получим еще два уравнения, которые в совокупности можно представить в виде:

д а

л

1

д*о

2ctG(l

+(х)

, т

г , .

А с*, +

утр^-^г +

—

—

А (V -

Г0 ) +

Л „

і

+ 2 a G - ^ ( 7 ' - 7 '

0 ) = 0;

т . .

1

d % .

2aG(l +

ц)

г

 

 

+ 2 а О ^ г - ( Г - Г 0

) = 0;

(3.24)

 

 

 

A a < z

+

1

д2а

 

 

 

 

 

1 + (А йг2 + ^ t " * А ( Г - Г 0 ) +

 

 

+ 2 а О - ^ ( Г - 7 0

) = 0.

 

Получим остальные три уравнения Бельтрами. Для этого сначала продифференцируем первое из уравнений (3.11) по у, а второе — по л; и сложим. При этом получим

2

д2е

4 а ( 1 + ц )

(Т-Т0)

= 0. .

1 — 2ц

дх ду

1 — 2щ дх ду

Аналогично получим еще два уравнения. Имея в виду (3.20) и последние три из соотношений (3.7), эти уравнения приведем к виду:

 

1

 

1

д2а

+

2aG дхду

(Т-Т0)

= 0;

 

 

1

1

+

дхду

 

А т , г

1

І

1

дхдг

 

 

а2

( Т - Г 0

) _ 0 ;

(3.25)

 

1

+

 

 

 

 

 

А т.

+ . 1

дудг

+

2aG

а2

( 7 - 7 0 ) _ 0 .

 

У*

'

l+ii

 

 

дудг

 

 

 

Кроме трех уравнений равновесия и условий на поверхности компоненты напряжения должны удовлетворять шести уравне­ ниям Бельтрами (3.24) и (3.25).

14. ПОТЕНЦИАЛ ТЕРМОУПРУГИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Предположим, что компоненты перемещения определяются как частные производные по соответствующим координатам не­ которой функции, т. е.

 

dF

dF .

 

dF

(3.26)

и =

дх

V = • ду '

W =

дг

При этом, имея в виду, что

A F; е= AF,

систему (3.11) можно привести к одному уравнению (3.14):

(3.27)

т. е. искомая функция F должна удовлетворять уравнению Пуас­ сона и называется потенциалом термоупругих перемещений. Если функция F найдена как решение уравнения Пуассона, то компоненты перемещения определяются по формулам (3.26), а для деформации и напряжений получим:

 

дгр

 

 

 

дгр

Qzp

 

Є х х

~ дх2

 

еуу~

 

й/2

»

 

 

 

d*F

 

_

0

d*F

' 7^ = 2

d2F

 

УхУ~2'дхду

'

У

х г ~

1

dx dz

дудг

 

 

— 2G (

d2F

. JPF_

— 2G

d2F

(3.28)

 

ду2

*~ dz2

д х д у

 

 

 

 

 

 

 

d*F

 

 

 

 

 

 

 

 

dx dz

 

 

 

 

 

 

 

d*F

 

^ = - 2 G ( ^

 

+ | ^ ) '

^ 2 G d y d z -

 

Так как на функцию F не наложено никаких других ограничений, то получающиеся таким образом напряжения в общем случае не будут удовлетворять условиям на поверхности.

15. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ

Общий интеграл уравнений Дюгамеля—Неймана

Решение обратной задачи термоупругости не вызывает особых трудностей: когда заданы напряжения или деформации, она сво­ дится лишь к интегрированию уравнений Коши. Решение прямой задачи термоупругости приводится к интегрированию сложной системы дифференциальных уравнений в напряжениях или в пере­ мещениях. В первом из двух последних случаев необходимо найти шесть неизвестных функций ахх, . . ., ххг из трех дифференциаль­ ных уравнений равновесия (3.10) и шести дифференциальных уравнений Бельтрами (3.24), (3.25), удовлетворяющих простым алгебраическим условиям на поверхности (3.12). Во втором из этих случаев необходимо найти три неизвестные функции и, v, w решением трех дифференциальных уравнений Дюгамеля— Неймана (3.11), удовлетворяющих граничным условиям в пере­ мещениях (3.15). Общий интеграл этих трех уравнений можно

выписать [91 j в виде: и — «о +

« ! + « 2 ;

 

v =

v0 +

vt + vi;

 

(3.29)

w = w0-\-w1-\-wz,

,

 

где при наличии объемных сил с составляющими X,

Y и Z:

 

 

1

р)

dW0

 

 

2

( 1 -

дх

 

А Т 2

 

1

дУ0

(3.30)

2

( 1 -

V)

ду

 

w0 = Л

 

1

 

дУ«

 

- 2 ( 1 - -ц)

дг

 

здесь Wly Ws — любые непрерывные, включительно до своих третьих производных, решения уравнений:

Д Д У ,

=

- • G

(3.31)

Д Д Ч г з =

-

Z

G

 

дх

+ Elду

+ дУдг3

 

 

 

 

4(1—ц)

dx

(жФі + ^

+

гФз +

Фо);

 

 

 

 

 

1

- ^ ( х Ф і + ^ +

гФз +

Фо);

(3.32)

 

° і - ф « — 4 ( 1 - | і )

ф

 

 

 

 

 

причем

Ф 1 ;

Ф 2 ,

Ф 3 — три независимых

общих интеграла

урав­

нения

Лапласа

 

 

АФ, =

0;

 

 

 

(3.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 —(X

дф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дф

 

 

 

(3.34)

 

 

 

 

 

1 —ц

ду

 

 

 

 

 

 

 

W9 =

1+(Х

дф

 

 

 

 

 

 

 

 

1 —Ц дг

 

 

 

 

а Ф — частное

непрерывное,

включительно

до

своих вторых

производных, решение

уравнения

Пуассона

 

 

 

 

 

 

 

АФ = аТ.

 

 

 

(3.35)

Можно

показать

[91], что при ц = 0,25

функция Ф 0 в выраже­

ниях (3.32)

является

лишней.

Найденные

перемещения

(3.29)

должны удовлетворять граничным условиям (3.13). Эти условия, связывающие функции Ф, с заданными напряжениями на поверх­ ности тела, значительно сложнее алгебраических равенств (3.12). Поэтому в некоторых случаях интегрирование уравнений (3.10), (3.24), (3.25) может оказаться проще, чем разыскание трех функ­ ций Ф,-, удовлетворяющих условиям (3.13). Нахождение трех гармонических функций Ф£ , удовлетворяющих уравнениям (3.13), остается основной трудностью на пути получения полного решения общей прямой задачи теории упругости. Учет влияния объемных сил требует нахождения частных решений уравнений (3.31), а учет влияния температуры — нахождения частного решения урав­ нения (3.35).

Полуобратный метод Сен-Венана

При этом методе часть решения рассматриваемой задачи задается (угадывается), а другая часть определяется так, чтобы была удовлетворена система основных уравнений термоупругости. Та часть решения, которая задается (угадывается), должна соот­ ветствовать рассматриваемой задаче и не должна быть в проти­ воречии с основными уравнениями термоупругости [8, 91 ] .

Потенциал термоупругих перемещений

Для получения частных решений статических, квазистатиче­ ских и динамических задач термоупругости можно использовать введенный в п. 15 потенциал термоупругих перемещений. Един-

ственным ограничением, наложенным на этот потенциал F, яв­ ляется то, что эта функция F — частное решение уравнения Пуассона (3.27). Поэтому найденные через эту функцию F напря­ жения не обязательно должны удовлетворять заданным условиям на поверхности тела. Если полученное решение не удовлетворяет заданным условиям на поверхности, то приходится решать до­ полнительную задачу (см. ниже п. 16, 17). Изложение и приме­ нение метода потенциала термоупругих перемещений можно найти в работах [67, 92].

Энергетические методы

Для решения практических задач термоупругости часто исполь­ зуют следующие энергетические методы.

Принцип Даламбера. В соответствии с этим принципом работа, совершенная внешними силами и силами инерции на возможном перемещении тела из некоторого мгновенного состояния, равна изменению энергии деформации, т. е.

bA-\P(^&u

 

 

+

^8v

+ ^-6w)d<*

= W,

(3.36)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

t/ = G J [

^ +

^

+

4 +

T ( v L + ^

+ vL) +

 

+

Т ^

е 2

-

 

1 Г = І

2 Г а ^ ] ^

 

(3.37)

и зависит от последовательности приложения нагрузки и измене­ ния температуры и не всегда идентична работе деформации. В случае статических и квазистатических задач принцип Далам­ бера переходит в принцип виртуальных перемещений

6Л

= Ш.

(3.38)

Принцип Гамильтона. В

соответствии

с этим принципом

в случае, когда внешние силы имеют потенциал, вариация инте­ грала по времени от разности суммарного потенциала внутрен­

них и внешних сил и кинетической энергии равна

нулю, т. е.

t

 

b\(n — K)dt = Q.

(3.39)

о

 

В случае, когда имеем статические и - квазистатические задачи этот принцип переходит в принцип минимума потенциальной энергии

ЬП = 0.

(3.40)

Принцип виртуальных изменений напряженного состояния.

В соответствии с этим принципом при всяких виртуальных изме-

Смотрите также файлы