Файл: Талыпов Г.Б. Сварочные деформации и напряжения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и нужно рассматривать не уравнения равновесия, а уравнения

движения:

+ д*худу

+

дххг

 

д2и

.

'

дахх

 

дх

дг

= Р d t 2

'

 

дххУ

dGyy

 

дХуг

= Р

d2v

.

(3.9)

дх

ду

 

дг

dt2

'

 

&*XZдх

+ dtyzду

+ дадггг

= Р ddtw2

'

 

 

 

 

 

 

2

 

 

где p —масса единицы объема тела. Но Дюгамелем [140] было показано, что изменение температуры во времени во многих слу­ чаях происходит с достаточно малой скоростью и влиянием инер­ ционных членов можно пренебречь, рассматривая движение как последовательность состояний равновесия (гипотеза Дюгамеля). Новые исследования [33, 34, 138] показали, что влияние инер­ ционных членов оказывается существенным только в массивных телах [33, 34], а в других случаях незначительно. Поэтому будем пренебрегать влиянием ускорений. Тогда при отсутствии объемных сил уравнения равновесия будут иметь вид:

дахх

і

дхху

+

дххг

=

0;

 

дх f

 

ду

дг

 

дт:ху

I

дауу

і

dxyz

=

0;

(3.10)

дх

1

ду

1

дг

 

дххг

1

dXyZ

+

dOzz

=

0.

 

дх

1

ду

дг

 

При упругих деформациях справедливы соотношения (3.7), которые дадут:

хх

 

2G

д2и .

ц

/ д2и _ j _

d2v

 

d2w

до

 

дх2

 

 

 

 

дх ду

+ дх дг

дх

 

 

1

- 2 ц

\дх2

 

 

 

 

а (1+1*)

д

(Т- Т0)};

 

 

 

 

 

 

 

1 — 2ц

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

дгху

_ п

( д ? ± ,

d2v \ .

 

 

 

 

 

 

ду

~

\ду2

"Т" дхду

) '

 

 

 

 

 

 

д^хг

_ г

( д 2

и

.

d2w

\

 

 

 

 

 

 

дг

 

\ дг2

*

дхдг

)'

 

 

Подставив последние в первое из

уравнений

(3.10), получим

д2и

, д2и . д2и

. д2и

.

d2v

,

d2w

+

дх

2

"т" ду

2

дг

"г*

дх

 

дхду

 

дх дг

 

 

 

2

1

22

 

 

 

 

 

• 2ц / д2и . дЧ

| d2w \

 

2а (1 + ц)

д

 

1 — 2ц \ дх*

 

дхду

+

дх дг

 

1 — 2ц

дх

(Т — Т0) = 0.

Аналогично можно получить еще два уравнения. Используя опе­ ратор Лапласа

дх2

дг* ( ) = Д ( ),

 

9

2

эти уравнения можно написать в виде:

Дн •

1

де

2а(1 + ц)

д

(Т-

Го) =

0;

 

 

I — 2ц

дх

1 — 2ц

 

 

 

 

 

 

 

Av-

1

де

2 « ( 1 + Ц)

a

{Т-

0

)

=

0;

(З.П)

1 — 2ц

д</

1 — 2ц

ду

Т

 

Aw-

1

да

2а(1 + ц)

д

(Т-

Т0)

=

0.

 

1 — 2ц

аг

1 — 2ц

дг

J

Последние впервые были получены почти одновременно Ней­ маном и Дюгамелем и называются уравнениями Дугамеля— Неймана. Они отличаются от обычных уравнений теории упру­ гости, например от уравнений Ляме, наличием членов, пропорцио­ нальных градиентам температуры. Таким образом, учет влияния неравномерного нагрева сводится к учету дополнительных массо­ вых сил, пропорциональных градиентам температуры.

 

 

12. ГРАНИЧНЫЕ

УСЛОВИЯ

При

наличии

внешних напряжений в точках поверхности

тела с

составляющими Xv, Yv, Z v

на этой' поверхности должны

быть выполнены

условия:

 

 

 

 

(3.12)

 

 

xxzl -j- xyzm -(- <jzzti = Zv,

где I, m, n — направляющие косинусы нормали v к поверхности тела в данной ее точке. Те же уравнения, если использовать (3.7), запишутся в виде:

( T V + *E-)'+(-S-+-S> +

( ^

ди+ i r

 

2 а ( 1 +Ц) (Т-Т0)1

 

 

 

1 — 2 ц

 

 

 

 

2ц

dv

+

 

) ' + ( b V +2

^ ) " I

(3.13)

dw

 

 

 

(~дг + дх

2а(1 + Ц) ( Т

 

 

 

. / 2ц

, п

dw \

rp\n

\ Z v

 

Сравнивая уравнения (3.11) и (3.13) с соответствующими уравне­ ниями теории упругости, видим, что температурная задача теории

упругости приводится к обычной ее задаче, если учесть дополни­ тельную объемную силу с компонентами:

2 а ( 1 + ц )

д

( Г - Г 0 ) ;

-

2ct (1+1-0

д

(Т-Т0);

1 — 2 ц

дх

 

 

1 — 2ц

ду

 

 

 

2 а ( 1 + ц ) д

(Т-Т0)

 

 

 

 

1 — 2ц

дг

 

 

 

и дополнительное поверхностное давление с интенсивностью

2а(1 +ц) , г

_ _ .

 

) .

1

2ц

(7- - Г

0

 

 

 

 

Компоненты дополнительной массовой силы, обусловленной неравномерностью нагрева, могут быть исключены из уравнений (3.11), если известно частное решение этих уравнений. Предста­ вим компоненты перемещения в виде:

и — иг + и 2, v = v1 + v2; w = wx + w2

(а)

и предположим, что имеют место равенства:

и, = дх '

dF .

 

6F

(б)

ду '

2

dz

Если подставим (а) и (б) в (3.11) и выберем функцию F так, чтобы она удовлетворяла уравнению Пуассона

A F

= a l ± i i ( T -

Т0),

(3.14)

 

 

1 - ц

 

 

 

 

то вместо системы (3.11) получим:

 

 

 

 

A " i

+

1

 

0;

 

 

1 — 2ц

 

4

.15)

Д УХ

+

1

дег

0;

(3

1 — 2ц

д#

Д o»i

+

1

аег

0.

 

1 — 2ц

дг

 

 

где

 

 

 

dwt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ду

дг

 

 

Граничные условия (3.13), если иметь в виду (3.14) и учесть, что

dF

. .

dF

dF

dF

дх

1

ду

dz

dv '

где v — нормаль к поверхности, примут вид:

(Т^.+^)'+(ТГ+ТЙГ)"1 +

\ду 1 дх

J -

1 V

2 , -

- - д у

) т +

і da>i ) п = 2 а т { ± і і ( Г - Г 0

) _ 2 - | 7 ^

 

 

 

1 - ц

 

a# av

5«x .

дал

 

 

 

(3.16)

 

V dz

 

 

 

Эх

і * 1

1

 

2ц.

 

 

1 - І * ( Г - Т 0 ) - 2 az av

2ц

 

 

Уравнения (3.15), (3.16) являются обычными в теории упругости при наличии поверхностных сил с компонентами:

9

1 + ц

- al(T —T0)-

2

a

af .

 

1 — Ц

 

 

ax

av

'

0

1 + ц

-am (T —•T0)-

2

a

af .

&

1 — ц

dy

av

'

 

 

 

о 1 + и

an (T —T0)-

2-

a dF

 

 

1 —(і

 

 

аг

dv

 

Функция F определяется по теореме Пуассона для объемного потенциала как решение уравнения (3.14)

,(3.17)

V(x-t)*

+ (y-r))* + (z-Q*

где

О - т 0 ,

г (6,'т), о = г (g, л,

интегрирование проводится по всему объему со тела и dco = db, dr\ dt,.

13. УРАВНЕНИЕ БЕЛЬТРАМИ-МИТЧЕЛЯ

Кроме уравнений равновесия и условий на поверхности должньї быть выполнены уравнения совместности деформаций (3.5). Последние, выписанные через компоненты напряжения, назы­ ваются уравнениями Бельтрами—Митчеля. Выведем эти уравне­ ния с учетом температурных членов в предположении, что дефор­ мации остаются упругими. Для этого продифференцируем первое из уравнений (3.11) по х:

л

д и Л.

 

1

 

 

д*е

2а(1 + ц.)

д* ,Т

т л _ о

/о і о\

А

— +

і _

9

„

 

д т

1 - 2 ц

~д^~^

°'

>

 

дх

1

— 2ц

дх%

 

 

 

 

и выразим все входящие сюда члены через компоненты напряже­ ния. Из соотношений (3.7) имеем:

 

 

1 + 1*

Зо(1 + ц )

(Т-Т0)

=

УУ

2G 1 — 2ц

1 — 2ц

 

20(1 +Ц)

[ в - З а

( Г - Г о ) ] ,

 

(3.19)

 

1 — 2 ц

 

 

 

 

Смотрите также файлы