ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 203
Скачиваний: 0
Второй метод
Введем потенциал термоупругих перемещений для рассматри
ваемого случая: |
|
|
dF |
|
= dF |
|
(3.72) |
|
и - |
V |
|
||||
|
|
|
дх |
|
ду |
|
|
Подставив последние в первое из уравнений (3.64), получим |
|||||||
|
^ |
д |
А „ |
Л |
і +1* „ |
3 |
Т0) = 0 |
|
|
дх |
|
|
1 — ц |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
дх |
" ж |
v* |
> г/ |
- |
d j B |
|
|
Интегрируя последнее, |
имеем |
|
|
|
|
||
|
= а (1 + |
и) (Г - |
Г„) + |
/х (г/). |
(а) |
||
Аналогичная операция |
со вторым из уравнений |
(3.64) даст |
|||||
AF |
= а (1 + |
ц) (7 - |
Г 0 ) + |
/, (*). |
(б) |
||
|
|||||||
Сравнивая (а) с (б), получим
/і 00 = /2 (*) = о
и, следовательно, функция F должна удовлетворять уравнению Пуассона
A F = а (1 + ц) (Т — Т 0 ) . |
(3.73) |
Если функция F найдена как решение уравнения (3.73), то де формации определяются по формулам:
d2F |
- |
d2F |
дх2 |
|
ду2 |
Уху — 2 |
d2F |
, |
(3.74) |
д х д у |
|
||
е„= Л / 7 = а ( 1 + ц ) ( Г - Г 0 |
) , |
||
а для напряжений формулы (3.62) дадут:
= — 2G |
d*F |
' |
|
|
|
|
ду* |
|
|
= — 2G d2F |
' |
|
||
*УУ— |
~ ~ |
дх2 |
(3.75) |
|
|
|
|
|
|
хху |
— ш д |
х д у » |
|
|
5 Я = о.
Так как на функцию F не наложено граничных условий, то в общем случае компоненты напряжения (3.75) не будут удовлетворять заданным условиям на поверхности. Например, если поверхность
пластины свободна от усилий, а формулы (3.75) для компонентов напряжения в точках поверхности дают значения:
"(О) |
-<0) |
"(О) |
vxx > |
'уу > |
*ху > |
то для той же пластины приходится решать обычную задачу теории упругости при заданных на поверхности компонентах напряжения:
— а ( 0 ) |
-<о> |
|
"(О) |
' |
|
|
Эта задача решается |
Vxx > |
>уу> |
|
*хуХ |
|
|
при помощи функции напряжений <р, удов |
||||||
летворяющей уравнению |
Л Ф = О, |
|
|
|
||
|
Л |
|
|
|
||
через которую компоненты напряжения |
определяются по форму |
|||||
лам: |
|
|
|
|
|
|
-* _ а2ф |
-* _ а2ф |
^ |
|
д2<р |
(3.76) |
|
ду* |
|
|
%х«~ |
дхду |
||
|
|
|
||||
При этом искомые составляющие напряжения определяются по формулам:
|
|
|
|
|
|
+ <Ъ* = |
д2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
*хх |
-дут (Ф — 2GF); |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
ауу |
+ от |
= |
д2 |
(Ф — |
2GF); |
(3.77) |
|||||||
|
|
|
"уу |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а для |
|
-ад • |
|
|
|
|
|
|
|
fo-2GF), |
|
|
|
|
||||
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
деформаций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
в |
- е |
л-е |
_ 1 / ^гФ _ ц |
^2Ф \ |
|
, |
d2F |
|
||||||||
|
|
кхх |
— ехх |
Т |
*хх— |
Е |
\ д у |
2 |
|
г |
дхг |
J |
-Г |
|
дх2 |
(3.78) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
-е |
л . * |
_ _ L / _ E ! 5 L _ „ ^ L W |
d*F |
||||||||||||
|
|
е |
|
|||||||||||||||
и |
в соответствии*уу — Vyyс-Т |
(3 |
— |
|
уд х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Суу.60) |
Е |
|
Р |
д у 2 |
) |
|
|
|
д у ; |
|
||||||||
|
|
е* = — -j^j (ехх + еуу) - — Л |
(4т |
Ф — F ) |
|
|||||||||||||
Если, в частности, |
примем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
то |
получим: |
|
|
|
|
Ф - 2GF, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
d2jF |
— Тед — |
°zz — |
0, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
лас — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
т і 2 0 |
* |
|
2 ,0 ^ |
|
+ £ |
|
|
" |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 + Ц д ^ = а ( Г - Г 0 ) ; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
'-да |
ea |
= |
a(T — T0), |
|
уху |
= |
0, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т. е. в этом случае имеет место нестесненное всестороннее темпе ратурное расширение. Рассмотрим пример.
Возьмем полосу большой длины, имеющую ширину h и тол щину 6, малую по сравнению с h. Пусть эта полоса свободна от внешних сил. Начало координат поместим в центре тяжести сред него по длине поперечного сечения. Ось ох совместим с геометри ческой осью полосы, а ось z — с направлением перпендикуляра к ее плоскости. Рассмотрим простейший случай, когда темпе ратура зависит лишь от у, т. е.
Т-Т0 = Т(у).
Полоса при этом будет находиться в условии плоского напряжен ного состояния. Функция Тх в этом случае не будет зависеть от х и для нее из (3.69) получим
= ЕаТ,
Іду*
или
Тг=Еа\йу\Т{у)йу. (3.79)
Функцию напряжения можно взять в виде |
|
||||
|
Ф = Сху3 |
+ |
С2у\ |
|
(3.80) |
Тогда формулы (3.67) |
дадут: |
|
|
|
|
о** = |
6СіУ + 2С2 - |
ЕаТ |
(у); J |
(3.81) |
|
|
Оуу = 0; |
%ху |
= 0. |
J |
|
|
|
||||
Постоянные интегрирования Сх и С 2 будут найдены из уравнений равновесия внутренних сил в поперечном сечении полосы. Так как полоса свободна от внешних сил, то эти уравнения напишутся в виде:
Л/2 А/2
f <yxxdy = 0; |
j |
axxydy-0, |
-Л/2 |
- A/2 |
|
отсюда, имея в виду (3.81), получим:
Л/2
—А/2
Л/2
Ci^-^P- |
j |
yT(y)dy |
|
|
-Л/2 |
|
|
и из (3.81) |
|
|
|
А/2 |
|
Л/2 |
|
"«--Т-Г-У J yT(y)dy+^- |
\ Т (у) dy-aET(у). |
(3.82) |
|
-Л/2 |
- Л/2 |
Для деформации по (3.78) будем иметь: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
еуу = |
1 |
ехх |
|
=-в-(6Сх г/ + 2С2 ); |
(і) Г; |
|
|||||||
|
|
-j |
( - |
^СгУ - |
2 f i Q |
+ а (1 + |
|
||||||||
|
|
|
— |
ГнайденыІ б С і У +путем2 С 2 - |
Е а |
|
|
|
|||||||
Перемещения е«будут= |
интегрирования(1 + ц)Г]. |
уравнений |
|||||||||||||
Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д и |
|
|
|
=±{6С1У+2С& |
|
|
|
||||
|
|
|
|
дх |
|
|
|
2fiC |
|
) + |
а (1 + |
|
|
|
|
|
|
-|- = ± (- 6рА |
|
2 |
ІІ) f |
(у); |
(3.83) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ди«/ - |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
dv |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
дх |
|
|
|
' |
|
|
|
При этом |
будем |
иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
« = -g-(6Ci y + |
2C,) + |
fi(0) + |
ai; |
|
|
||||||||
v = |
- |
(ЗС1У2 |
+ 2С,у) + |
f,(x) + |
|
a(l+ii)\f(y)dy |
|
+ Dt. |
|||||||
Третье из уравнений (3.83) примет вид |
|
|
|
||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f2{x) |
|
= |
Ax |
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(У) = |
-Ay |
|
|
+ |
D. |
по |
формулам: |
||
Таким |
образом, |
перемещения |
определяются |
||||||||||||
|
/і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a = -^r(3C1 y + C i ) - i f y + D 1 ; |
|
|
||||||||||
v = - |
-g- |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T(y)dy-\-D%. |
Отбрасывая члены, не влияющие на относительные деформации, |
||||
(ЗС^ + 2С у) + |
Л * - i % £ + |
а (1 - f И-) j" |
||
получим: |
|
|
|
|
|
|
2х |
+ С2); |
|
ы |
= |
- (ЗС1У |
||
|
|
|
|
(3.84) |
о = - JJ- (ЗСіУ> + |
2С,у)-^f- |
+ |
a(l+ii)\f(y)dy. |
|