ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 0
упруго-пластической деформации, сформулированным в следу
ющем |
пункте. |
|
|
3. |
Интенсивность касательных напряжений т,- является вполне |
||
определенной для данного материала функцией |
интенсивности |
||
деформаций |
сдвига yh не зависящей от характера |
напряженного |
|
состояния, |
т. е. |
|
|
|
|
т, = Ф(Ъ). |
(4.18) |
Эта кривая для данного материала может быть получена по |
|||
его диаграмме простого растяжения или кручения |
тонкостенной |
||
трубы. Имея соотношения (4.15), (4.18), можно составить урав нения упруго-пластического равновесия или в смещениях (ана логичные уравнениям Ламе) или в напряжениях (аналогичные уравнениям Бельтрами—Митчеля). Эти уравнения не выписы ваются ввиду их сложности. В конкретных случаях эти уравне ния могут быть составлены непосредственно. В силу нелинейности уравнений упруго-пластического равновесия к их решению не применимы общие методы, изложенные в п. 15 предыдущей главы. Для решения этих уравнений можно использовать или метод упругих решений А. А. Ильюшина [44] или численные методы.
Теория течения. Как показывает опыт, при сложном нагружении, когда путь нагружения в упруго-пластической области резко изменяет направление, соотношение (4.11) не описывает удовлетворительным образом зависимость между напряжениями и деформациями. Предложен ряд теорий пластичности при слож
ном нагружении. |
Краткое описание этих теорий можно найти |
в работе [117]. |
Рассмотрим простейшую из этих теорий для |
изотропного материала. Последняя базируется на следующих положениях.
1. |
Среднее относительное изменение объема пропорциональ |
|||
ности |
среднему нормальному |
напряжению |
|
|
или |
е = |
Ко, |
(4.19) |
|
de = |
Kdo. |
(4.20) |
||
|
||||
2. |
Полные приращения составляющих деформаций склады |
|||
ваются из приращений упругой и пластической деформации |
|
|||
|
deu = defi + depH. |
(4.21) |
||
3. Девиатор напряжений Da и девиатор приращений пласти ческой деформации подобны и коаксиальны:
D (deP) =Wa, |
(4.22) |
где К — подлежащая определению скалярная функция.
Из последнего соотношения в силу de?u = 0 следует, что
delj = К (оц — 6,-уог),
5* |
67 |
где символ Кронекера
ои = 1 |
при i — j ; |
(4.23) |
|
&ц — 0 |
при і ф |
||
|
При этом для полных приращений составляющих деформации получим:
^ х х = х |
I * 7 * |
HidOyy+doJ] + Л(ст^ — or); |
|
|
(4.24) |
xy = |
^-+2kxxy; |
|
Уравнения (4.24) при условии текучести Мизеса
(4.25)
были предложены Рейсом [109]. Эти уравнения обычно называют уравнениями теории течения. Исследования показали [49], что при простом нагружении уравнения теории течения и теории малых упруго-пластических деформаций дают одинаковые ре зультаты.
Найдем приращения работы пластической деформации
dAp = oxxde?xx Н Ь txyd-fxy + (4.26)
Подставив сюда значения приращений пластических деформаций по формулам (4.23), получим
dAp |
== 2Кх), |
(4.27) |
откуда |
d A P |
|
% |
(4.28) |
|
|
2т;.2 ' |
|
|
|
т. е. функция к пропорциональна приращению работы пласти ческой деформации и не может иметь отрицательное значение.
При развитых пластических деформациях в уравнениях (4.24) составляющими упругой деформации можно пренебречь и при этом получим уравнения теории Сен-Венана—Мизеса:
dexx = Цахх — а);.
(4.29)
dyxy = 2кхху,
которые обычно записываются в скоростях деформаций [46]
dk, ,
(4.30)
су dk
где
dk |
I |
dAn |
2т •(axx1\xx-\ |
)• (4.31) |
dt |
2-е |
dt |
Уравнения (4.24) содержат напряжения и их бесконечно малые приращения. Эти уравнения неразрешимы относительно напря жений. Поэтому в этом случае не удается составить уравнения равновесия в смещениях, аналогичные уравнениям Ламе. Системы уравнений в напряжениях, аналогичных уравнениям Бельтрами— Митчеля, могут быть составлены, но они кроме производных напряжений по координатам будут содержать производные по координатам от бесконечно малых приращений составляющих напряжения. Для решения этих уравнений могут быть исполь зованы только численные методы. Задача значительно упро щается, если составляющими упругой деформации можно пре небречь по сравнению с составляющими пластической деформации
ииспользовать уравнения (4.29).
19.НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ
ДЕФОРМАЦИИ
Области упругих и упруго-пластических деформаций
Опыты на простое растяжение и сдвиг изотропного металла при повышенных температурах показывают, что предел теку чести зависит от температуры os = as (Т). Для малоуглеродистой стали эта зависимость приведена на рис. 20. Отсюда следует, что при заданной повышенной температуре Т деформации при простом растяжении в пределах принятого допуска будут упругими, если °z < a s (Т) и они будут упруго-пластическими при аг 5s 0S (Т). Для случая плоского напряженного состояния, насколько из вестно, нет опубликованных работ, посвященных эксперимен тальному нахождению границы текучести при заданных значе ниях повышенной температуры. Обобщая результаты опытов на простое растяжение в случае плоского напряженного состояния, получим, что деформации в пределах принятого допуска будут упругими, если
<А-ахОг+<$<(£{Т), |
(4.32) |
упруго-пластическими, если |
|
0-1-0-10-2 + at ^ а 2 ( 7 ) . |
(4.33) |
Аналогично при сложном напряженном состоянии деформации в пределах принятого допуска будут упругими, если выполнено
условие |
|
|
|
|
|
|
|
(оп - |
а 2 ) 2 + |
(о2 - |
а 3 ) 2 + |
(аз - |
Сч)2 < |
2а2 (7), |
(4.34) |
упруго-пластическими, |
если |
|
|
|
|
|
|
(ai - |
a2 )2 + |
(a2 - |
ст3)2 + |
(a3 - |
ai)2 ^ |
2a2 (7) |
(4.35) |
rfa, (7) > 0 .
При этом на поверхности раздела областей упругих и упругопластических деформаций должны быть выполнены условия не прерывности напряжений и деформаций.
Связь между напряжениями и деформациями
Теория малых упруго-пластических деформаций. При деформа циях в условиях повышенных температур объемное расширение будет складываться из температурного объемного расширения и стесненной объемной деформации. Имея это в виду, можно сформулировать законы малых упруго-пластических деформаций для температурных задач деформируемого тела.
1. |
Среднее относительное изменение объема пропорционально |
|||
среднему нормальному напряжению и |
температуре |
|
||
|
3 {ег + Ч + еа) = Ко + |
a (7 - 70 ). |
(4.36) |
|
2. |
Направляющие тензоры |
напряжений и деформаций совпа |
||
дают |
|
|
|
|
|
(Do) = |
~r(De).. |
|
(4.37) |
|
|
г» |
|
|
Из последнего соотношения, если примем, что пластическое изменение объема отсутствует, а имеет место только температур ное изменение объема, вместо (4.17) получим:
&хх — 6G |
(2а,, — |
°УУ |
a ( 7 |
— |
||
еуу |
|
ч> |
— |
в*'- о |
+ a ( 7 |
— |
= |
6G |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
&ZZ |
|
6G |
(2сгг2 — ахх |
a ( 7 |
— |
|
To); Уху = G "У
To); |
Ууг |
= G |
УГ (4.38) |
T0); |
Vzx |
= ±x |
|
|
|
G |
z x |
При этом К и G при умеренных повышенных температурах мало зависят от температуры. В таких случаях их принимают постоян ными. В процессе нагрева и остывания при сварке характеристики
