Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
п
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.117) |
|
|
|
|
|
п |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
V |
|
У/ |
|
|
|
|
|
|
|
тх = г=1 |
ГПп = 1=1 |
|
|
|
||
|
Отметим, что величины /С* |
и D* могут быть выражены ту.., |
||||||||
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г/г* |
1—1 |
* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
Кху-------л------ >пхту ; |
|
(1.118) |
||||
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а, |
Рассмотрим |
пример построения линейной |
функции у = ср (х; |
|||||||
Ь) [9]. Пусть выборка уІУ полученная при |
13 измерениях, дала |
|||||||||
следующие результаты: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
і |
• |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
|
Ч |
|
41 |
50 |
81 |
104 |
|
120 |
139 |
154 |
|
Уі |
|
4 |
8 |
10 |
14 |
|
16 |
20 |
19 |
|
і |
|
|
8 |
9 |
10 |
|
11 |
12 |
13 |
|
Xi |
|
|
180 |
208 |
241 |
|
250 |
269 |
301 |
|
Уі |
|
|
23 |
26 |
30 |
|
31 |
36 |
37 |
|
Используя соотношения (1.112), получим т* |
= 164,4; т* == 21,1. |
||||||||
Перенесем5 начало отсчета в точку х 0 = |
150, у 0 = 20 и вычислим |
|||||||||
новые |
значения |
величин |
х' = |
х — х 0, |
у' = |
у — у 0: |
|
|||
|
t |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
|
*І |
|
— 109 |
— 100 |
—69 |
—46 |
—30 |
— 11 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УІ |
|
— 16 |
— 12 |
— 10 |
—6 |
—4 |
0 |
— 1 |
|
|
і |
|
|
8 |
9 |
10 |
|
11 |
12 |
13 |
|
Ч |
|
|
30 |
58 |
91 |
|
100 |
119 |
151 |
|
УІ |
|
|
3 |
6 |
10 |
|
11 |
16 |
17 |
5 Целесообразность подобного перенесения обусловлена тем, чтобы при исполь зовании формул (1.112)— (1.118) не вычислять разности близких чисел. Вели
чины х0 и у 0 выбираются близкими к математическим ожиданиям /и* и ту -
48
Находим моменты:
|
13 |
|
V X? |
al [^] |
^ 6889; |
|
13 |
а*, 1[x', tj'] = |
2 х'іу'с |
~ 842; |
D'X = 6869— (ml')2= 6 8 6 9 - (164,4 - 150)2 = 6662;
Kly = o l . , [x', y'] - ml-tny = 842 - (164,4 — 150) (21,1 —20) ~ 826. Искомое уравнение будет у — 0,124 (х— 164,4) + 21,1.
§ 3. Случай квадратичной функциональной зависимости
Определение коэффициентов а, b и с для функции вида у = ахг + + Ьх + с = ср по выборке {х, у) производится следующим образом:
(1.119)
|
% ) . - * ■ • ( Ч г ^ |
( Ч г 1- |
|
||||||
При этом уравнения (1.108) принимают вид: |
|
|
|||||||
|
|
П |
[Уі— (ах? + bxi + c)]x?'= 0; |
|
|||||
|
|
£ |
|
||||||
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
І У і |
— ( а х ? |
+ |
b X i + c ) ] x t = |
0 ; |
( 1. 120) |
|
|
|
{•=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
[г/і—(ах! |
+ 0 х £ + с)] = 0. |
|
|
|||
|
|
»—1 |
|
|
|
|
|
|
|
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
Х і |
|
|
|
2 |
|
t n x = |
a i |
[ X ] = |
t= 1 |
|
Ш у = |
(X i [г/]: |
і=і |
( 1. 121) |
|
|
S * ? |
|
|
|
2 |
4 |
2 |
4 |
|
«г [X] = |
<=1 |
|
а 3 М |
•; |
а 4 [х] = |
|
|||
|
2 |
ліУі |
|
|
|
2 |
х\ уі |
|
|
“ Т.1 [X,У\= ^-г— \ |
« 2, 1 [*, |
у]= |
----- |
|
|
||||
49
и учитывая, что |
|
|
«о М = 1; |
«о, I [х, у] = а\ \у], |
(1.122) |
получим следующую систему уравнений для определения коэффи
циентов |
а, 6 и |
с: |
|
|
|
|
|
|
|
«2 М а + а* [JC] 6 + аЦ [х] с = аЩ, і |
[JC, |
у]\ |
|
||||
|
al[x]a + a2 |
[x}b + a \\x ]c —a\*\[x, |
у]\ |
(1.123) |
||||
|
а I [X] а -I-аз [х] 6 + а’2 [х] с = а0, і |
[х, |
у]. |
|
||||
Рассмотрим пример. Пусть выборка значений |
(х;, у-), полученных |
|||||||
в эксперименте, |
имеет вид. [9]: |
|
|
|
|
|
||
і |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
7 |
Хі |
1,20 |
1,31 |
1,40 |
1,61 |
1,74 |
|
1,80 |
2,00 |
Уі |
0,540 |
0,590 |
0,670 |
0,760 |
0,850 |
0,970 |
1,070 |
|
і |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
X i |
2,14 |
2,19 |
2,41 |
2,50 |
2,68 |
2,81 |
3,00 |
|
Уі |
1,180 |
1,217 |
1,390 |
1,530 |
1,600 |
1,780 |
2,030 |
|
В соответствии с (1.121) находим: |
|
|
a t = 25,92; |
аз = |
10,60; |
а2= 4,535; |
a* = inx = 2,056; |
|
a j.i [x] = a t \y] =tny = 1,159; |
а1и |
[х, y] = 2,629; |
|
a2, l [x, |
y] = 6,287. |
Подстановка этих уравнений в (1.123) дает: |
||
25,92a + 10,606 + 4,536с = 6,287; |
||
10,60a + 4,5356 -f 2,056с = 2,629;
4,535a + 2,0566 + с = |
1,159, |
|
откуда получаем |
|
|
a 0,168; |
6 ~ 0,102; |
с ~ 0,187, |
т. е. |
|
|
у = 0,168х2 + 0,102л: + 0,187.
Таким образом, определен конкретный вид аппроксимирующей функции у (х).
Раздел второй
ТЕПЛОВЫЕ И ФОТОННЫЕ ШУМЫ В ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРАХ
Г л а в а 1
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ШУМОВЫХ |
ПАРАМЕТРОВ |
§ 1. Формула Найквиста для |
|
спектрального распределения теплового |
шума |
Вследствие хаотического движения электрических зарядов и не избежных тепловых флуктуаций электронной плотности , в любом проводнике всегда имеет место флуктуирующая разность потенци алов, которую обычно называют напряжением шума (Uк =Uң (/)).
Пустьимеются два идеальных сопротивления R 1 и R 2, которые находятся при температуре Т и соединены параллельно с помощью идеальной (т. е. не обладающей емкостью, индуктивностью и сопро тивлением) линией передачи. Поскольку оба сопротивления имеют одинаковую температуру и находятся в тепловом равновесии друг с другом, то, согласно второму началу термодинамики, средний по времени поток энергии от одного сопротивления к другому равен нулю. Это справедливо, в частности, для любой полосы частоты А/. В силу произвольности величины А/ мощность теплового шума для любого значения А/ не должна зависеть от частоты f и сопротивле ния R, так как в противном случае тепловое равновесие не могло бы иметь места.
Если обозначить среднеквадратичные значения напряжения теплового шума в полосе А/ на сопротивлениях R x n R 2 при разом кнутой цепи через [UNlAf]2 и [UN2Af]%, то для мощности WN теплового шума, выделяемой на R 1 и R 2, можно написать
(2.1)
(2 .2)
откуда в силу равенства WNl и WN2
[UNlAf]*R2= lU N,A n2Rv |
(2.3) |
5»
Поскольку энергия, приходящаяся на один тип колебаний элек тромагнитной волны в линии передачи, равна ІгТ, то при согласован
ной нагрузке, в частности, когда R t |
= Д 2 — R, |
можно написать |
WN= ± [ U NAf]2 |
= kTAf. |
(2,4) |
Для разомкнутойцепи мощность теплового шума, выделяемая на сопротивлении R, будет в 4 раза больше, т. е.
WN = 4kTAf. |
(2.5) |
Таким образом, в соответствии с (2.5) получим для среднеквад ратического значения напряжения шума в полосе Аf следующее выражение (формула Найквиста [12]):
|
|
U%=[U1TAf]2 = 4kTRAf |
|
(2.6) |
|||
для |
любогосопротивления |
R. |
|
|
|
|
|
При |
комнатной температуре величина UN = |
]f~Ü% Равна |
|||||
|
|
UN = 1,28• IO"10 [R (ом) ■А/ (гц)]1/шВ. |
|
(2.7) |
|||
Для |
двух последовательно соединенных |
сопротивлений |
R L и |
||||
Д 2, находящихся при температурах |
Т х и Т 2, можно написать |
||||||
|
|
U% = 4k iRjTi + RiTJ Аf |
|
|
(2.8) |
||
или, |
вводя «эквивалентную» шумовую температуру Тэ, получим |
||||||
|
|
U\i = 4kT□(R1+ R2) А/, |
|
|
(2.9) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'P _'г |
Ri |
T2 R1 + R2 |
|
( 2. 10) |
|
|
|
0 1 |
Ri + Ri |
|
|||
В случае двух параллельно соединенных сопротивлений спра |
|||||||
ведливо следующее выражение для |
величин |
U2N |
и Т3: |
|
|||
|
|
Ü l = 4kTaRAf = 4k |
( R ^ |
+ Яа7\) А/, |
(2.11) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
(2.12) |
|
|
R = R1RJ(R1 + R2). |
|
|
|||
Полученные формулы определяют среднеквадратические вели чины флуктуационной мощности (W2)'/- и флуктуационного напря
жения (U2)‘А для электрических цепей, содержащих только актив ные сопротивления.
б?
